1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Ниже мыпопытаемся дать некоторые качественные оценки, основанные на нашемпрежнем опыте. Здесь мы используем обычные единицы.Интенсивность дипольного излучения электроном, движущимся с ускорением ,˙ можно оценить классической формулой∼¨22 2∼˙ .33(5.83)Для осциллятора частоты скорость эмиссии фотонов будет˙ ∼(︁ )︁222 2∼∼.~~3(5.84)В среднем один фотон излучается за (1/)(/)2 периодов ( ∼ 1/)колебаний. Следовательно, время жизни возбужденного осциллятора ∼(/)2 (1/), или для атома, где (/) ∼ , ~ ∼ 2 ()2 , = ,∼11~110−9 с∼∼. ()22 ()44(5.85)Отношение времени жизни к периоду колебаний / ∼ ∼ −1 ()−2 ≫1 определяет малость ширины уровня Γ = ~ в сравнении с его энергией:/Γ ∼ ~/~ ∼ ≫ 1 (высокая добротность атомного осциллятора).Предельная длина цуга световых волн (длина когерентности) оцениваетсякак ∼~110 см∼.4 ()4(5.86)Чтобы оценить процессы излучения для быстро движущейся частицы,мы можем снова использовать уравнение (5.83).
Если скорость электронаизменяется на Δ в течение времени Δ, интенсивность излучения может5.13. Оценки процессов в КЭД159быть оценена какΔ ∼23(︂ΔΔ)︂2Δ ∼2 (Δ)2.3 Δ(5.87)Взяв Δ в качестве характерного времени движения электрона, мы ожидаем, что спектр излучения содержит главным образом частоты ∼ 1/Δ(мы здесь не рассматриваем ультрарелятивистское движение с ≫ 2 ).Типичная энергия испущенного фотона ∼ ~ ∼ ~/Δ, а полная вероятность испусканияΔ2 (Δ)2 Δ21 ∼∼ 3∼ 3 (Δ)2 ∼ ~Δ ~~(︂Δ)︂2.(5.88)Последовательные акты испускания почти независимы, поэтому вероятность излучения двух фотонов по порядку величины есть квадрат вероятности излучения одного фотона:2 ∼12[︃ (︂)︂ ]︃2Δ 2≪ 1 .∼ (5.89)Даже для релятивистских частиц, когда Δ/ ∼ 1, излучение дополнительного фотона подавляется малым множителем ∼ .Подобным же образом можно оценить вероятность аннигиляции пары(+ , − ).
Аннигиляция пары (при свободном движении или в состояниипозитрония) в один реальный фотон запрещена законами сохранения.Однако этот процесс возможен как виртуальный. Например, связь с полемизлучения (часть радиационных поправок) дает возможность позитрониюна короткое время стать фотоном, a это приводит к наблюдаемому сдвигуэнергетических уровней позитрония.
Мы можем оценить этот сдвиг.Электрон не может быть локализован точнее, чем на размере его комптоновской длины волны , уравнение (I.5.85). Для аннигиляции позитрони электрон должны находиться внутри этого пространственного интервала.Если так, то вероятность перехода в однофотонное состояние может бытьоценена как 1 , уравнение (5.88), с Δ ∼ , т. е.
1 ∼ . Это означает, чтодля времени, проведённого партнерами на этом расстоянии 6 , долявремени может быть ассоциирована с виртуальным состоянием фотона. В основном состоянии позитрония партнеры находятся в среднем наотносительном расстоянии порядка боровского радиуса, ∼ /. Ониприближаются друг к другу на расстояние ∼ на долю времени, рав-160Глава 5. На пути к релятивистской квантовой механикеную отношению соответствующих объемов, ( /)3 ∼ 3 .
Таким образом,полная доля времени, которая может быть идентифицирована с однофотонным состоянием, есть · 3 = 4 . Эти соображения справедливы лишь для-состояния относительного движения, иначе вероятность тесного сближения становится слишком малой. -Состояние позитрония обладает сдвигомуровня, равным произведению этой вероятности 4 на изменение энергии∼ 2 при переходе в состояние фотона: ∼ 4 2 .(5.90)Отметим, что этот сдвиг того же порядка, что и тонкое или сверхтонкоерасщепление в позитронии (гл.
II.9). В отличие от энергии, угловой момент сохраняется в матричном элементе перехода. Поскольку спин фотонаравен 1, энергетический сдвиг (5.90) существует только для ортопозитрония (триплет, = = 1) и отсутствует для парапозитрония (синглет, = = 0).Для реального процесса двухфотонной аннигиляции электрон и позитрон должны приблизиться на относительное расстояние ∼ и испуститьдва фотона с энергией ~ ∼ 2 . В сравнении с однофотонным процессом с вероятностью ∼ 4 необходимо испустить еще один фотон в течение времени Δ существования однофотонного состояния. Соотношениенеопределенности Δ ∼ ~/2 определяет скорость испускания второгофотона /Δ ∼ 2 /~ и полную скорость двухфотонной аннигиляции˙ ∼ 4 · 2 /~ ∼ 5 2 /~.
Отсюда мы можем получить время жизнипарапозитрония~ 1пара ∼∼ 10−9 с.(5.91)2 5Сравнение (5.91) с (5.86) показывает, что для парапозитрония парциальные времена жизни возбужденных состояний по отношению к излучениюи основного состояния по отношению к двухфотонной аннигиляции имеютодинаковый порядок. Как видно из (5.91), ширина основного состоянияпарапозитрония Γпара ∼ ~/пара ∼ 2 5 , что в раз меньше, чеминтервалы тонкой структуры (5.90). При аннигиляции ортопозитрониядопустимы только три фотона (два фотона не имеют состояний с угловыммоментом, равным единице, как спин ортопозитрония).
Соответствующаявероятность содержит дополнительный множитель , поэтому время жизниорто больше на два порядка, ∼ 10−7 с.5.13. Оценки процессов в КЭД161Задача 5.3Рассмотреть эффект Зеемана в основном состоянии позитрония, предполагая величину магнитного поля такой, что этот эффект сравним срасщеплением между пара- и ортопозитронием; соответствующий гамильтониан может быть записан как^ ′ = (^s+ · ^s− ) − ℬ(^+ − ^− ).(5.92)Здесь s± относится к спину электрона и позитрона.Решение.Нужно диагонализовать гамильтониан (5.92) в 4×4 пространстве (синглетпарапозитрония и триплет ортопозитрония). Полная проекция спина сохраняется.
Триплетные состояния, = ±1, аналогично 2- и 2- уровнямводорода в случае линейного электрического поля (задача II.9.5) являютсяправильными линейными комбинациями в присутствии магнитного поля.Состояния синглета и триплета с = 0 смешаны, и секулярное уравнениедаёт⎡⎤√︃(︂)︂24 ℬ ⎦( = 0) = − ⎣1 ± 4 +.(5.93)4Состояние с более высокой энергией при ℬ = 0 отвечает ортопозитронию;при ℬ ̸= 0 оно является суперпозицией состояний синглета и триплета.Задача 5.4Из-за примеси синглета время жизни верхнего состояния (задача 5.3)уменьшается в присутствии магнитного поля (гашение ортопозитрония).Оценить поле ℬ, которое сокращает время жизни орто в 10 раз.Процессы с виртуальными парами вносят вклад также в рассеяние светазарядом (гл.
II.15). В дополнение к поглощению фотона с последующим испусканием и процессу в обратной последовательности (рис. II.15.4), которыеприводят к сечению ∼ 02 ∼ 10−25 см2 , падающий фотон может рождатьвиртуальную + − − -пару. Позитрон пары аннигилирует с исходным электроном в новый квант ′ . Чтобы оценить вероятность аннигиляции, нампонадобится произведение вероятности в единицу времени ˙ (1) для фотонабыть на нужном расстоянии ∼ от электрона, вероятности (2) родитьпару, и вероятности (3) аннигиляции с испусканием фотона ′ . Как иранее, (2) ∼ (3) ∼ .
Скорость ˙ (1) определяется отношением объематрубки (с сечением 2 и длиной, равной скорости фотона ) к полному объему , ˙ (1) ∼ (~/)2 (/ ). Тогда сечение определяется этой скоростью,162Глава 5. На пути к релятивистской квантовой механикеделенной на падающий поток / :˙ (1) (2) (3)∼∼/(︂~)︂21···∼/(︂~)︂22 ∼ 02 ,(5.94)будучи того же порядка, что и обычное томсоновское сечение (II.15.83)рассеяния свободными электронами. При точных вычислениях оба типарассеяния должны вычисляться сложением их амплитуд, а не вероятностей.Следует также учитывать виртуальные пары при рассеянии заряженныхчастиц, в особенности при высоких энергиях и для больших углов рассеяния (малый прицельный параметр).
Хотя рождаться могут пары любыхзаряженных частиц, для фотонов с энергией ~ только образование виртуальных пар частиц с массами , не превышающими существенно ~/2 ,даёт заметный вклад.Дополнительная литература: [7], [30], [32], [33], [34].Знаменитый математик Марк Кац однажды поделилгениев на два класса. Он сказал: существуют обычныегении, чьим достижениям могут подражать разумныелюди, проделав исключительно тяжелую работу и поймав удачу. Затем приходят волшебники, изобретениякоторых так поразительны, так противоположны интуиции их коллег, что трудно представить, как человекможет вообразить их. Дирак был волшебником.Г.
Сегрэ. «Фауст в Копенгагене»Глава 6Уравнение Дирака: формализм6.1. Введение уравнения ДиракаЗдесь мы введем уравнение, которое рассматривается многими физикамикак наиболее важное и элегантное уравнение всей современной физики.Уравнение Дирака описывает частицы со спином 1/2, которые являютсяглавными компонентами материи, — электроны, нейтрино, кварки и нуклоны. Внешнее электромагнитное поле также может быть добавлено дляэлектрона с помощью принципа минимальности (разд. 5.10), хотя ситуациядля нуклона является более сложной из-за сильных взаимодействий.Обращаясь к релятивистски ковариантному описанию частицы со спином1/2, мы должны помнить, что волновая функция должна быть многокомпонентной: нам нужно описать два возможных состояния спина и состоянияс отрицательной энергией, которые позже будут интерпретированы в терминах античастиц — позитронов, антинейтрино, антикварков и антинуклонов.Таким образом, мы ожидаем, что минимальное число компонент волновойфункции будет равно четырем.
Такая функция называется биспинором, имы можем представить её как столбец Ψ с четырьмя компонентами Ψ1,2,3,4 .Все операторы, действующие на такие функции, должны быть матрицами4 × 4. Чтобы иметь стандартную форму гамильтонианаΨ^= Ψ(6.1)и, следовательно, развить обычную вероятностную интерпретацию, совме^ = −∇ должен входить встимую с релятивизмом, оператор импульса p164Глава 6. Уравнение Дирака: формализм^ линейно, поскольку уравнение (6.1) линейно по отношегамильтониан нию к производным по времени. Для свободного движения координатыи время не могут входить в уравнение явно, если мы предполагаем однородность пространства и времени.
Последнее связано, как в классическоймеханике и нерелятивистской квантовой механике, с сохранением энергииимпульса. Поэтому компоненты импульса ^ могут появляться только спостоянными коэффициентами, которые, однако, должны быть матрицами в пространстве биспиноров. Общая линейная форма в компонентахимпульса (~ = = 1, как было принято ранее)^ = 1 ^1 + 2 ^2 + 3 ^3 + ≡ (⃗ · p) + .(6.2)Здесь и — безразмерные постоянные эрмитовы матрицы 4 × 4, и — константа размерности энергии, которая, естественно, должна бытьидентифицирована с массой частицы, поскольку для покоящейся частицыдолжно быть = .Вследствие принципа суперпозиции каждая компонента биспинора представляет возможное состояние свободной частицы с релятивистскимзаконом дисперсии (5.13).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
