1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Это означает, чтофизический корень дисперсионного соотношения (5.13) есть√︀ p = + p2 + 2 .(5.14)5.5. Тензоры и обозначения139Исключительный случай нулевого 4-импульса, 2 = 0, соответствует безмассовым частицам. Такая частица в любой системе отсчета движется соскоростью света иp = |p|.(5.15)В заданной системе отсчета энергия (5.14) может рассматриваться какгамильтониан свободной классической частицы. Гамильтоново уравнениедвижения определяет скоростьv=rp== .p(5.16)В терминах скорости энергия и импульс частицы массы выражаютсякак = , p = v,(5.17)где релятивистский фактор был определен в (5.7).
В случае медленногодвижения ≪ 1 и энергия частицы (5.14) может быть представлена какее масса с нерелятивистской кинетической энергией и релятивистскимипоправками, см. уравнение (II.8.36):p ≈ +p2p4−+ ···2 83(5.18)В квантовой механике то же выражение (5.16) определяет групповуюскорость, разд. I.5.4, узкого волнового пакета, образованного плоскимиволнами,Ψp (r, ) = const −(p −pr)(5.19)и описывающего свободное движение этих частиц. Обычно групповая скорость может быть ассоциирована с распространением физического сигнала(за исключением областей аномальной дисперсии в средах).
Как видно из(5.14) и (5.16), |v| 6 1, равенство имеет место для безмассовых частиц.5.5. Тензоры и обозначенияПравило (5.8, 5.11) образования Лоренц-инвариантов может быть обобщено для тензоров высшего ранга с помощью метрического тензора впространстве Минковского. Это позволяет вводить весьма удобные тензорные обозначения. Заметим, что в нашей системе обозначений мы неиспользуем мнимые компоненты времени 4-векторов, как это делают многиеавторы.140Глава 5. На пути к релятивистской квантовой механикеОпределим метрический тензор как матрицу 4 × 4 (, = 0, 1, 2, 3),которая диагональна, и её ненулевые матричные элементы равны00 = 1,11 = 22 = 33 = −1.(5.20)Иногда говорят, что метрический тензор имеет сигнатуру (+, −, −, −).Для произвольного контравариантного 4-вектора = (0 , a) метрическийтензор (5.20) определяет его ковариантный аналог, маркируемый нижними,а не верхними индексами∑︁ = (5.21)таким образом, что 0 = 0 , = − .
Греческие индексы всегда пробегают значения 0,1,2,3 в то время, как латинские имеют значения 1,2,3. Сэтого момента мы будем опускать знак суммирования в выражениях типа(5.21), используя стандартное правило, что по повторяющимся индексам(один верхний, другой нижний) подразумевается суммирование. Например,вместо (5.21) мы будем писать = .С метрическим тензором (5.20) скалярное произведение двух 4-векторов и определяется как∑︁() ≡ · = 0 0 − = = = .(5.22)=1,2,3Ранее обсуждавшиеся величины 2 и 2 являются скалярными квадратами и соответственно. Очевидно, что любое скалярное произведение(5.22) является лоренцевым инвариантом.Контравариантные 4-тензоры ранга задаются наборами 4 компонент 1 2 ...
, которые при преобразовании Лоренца трансформируются какпроизведения контравариантных 4-векторов 1 2 . . . . Умножение на с суммированием по , где — один из 1, . . . , , образует смешанныйтензор с (контравариантными) верхними индексами { }, в которых отсутствует, и (ковариантным) нижним индексом .
Таким образом можнополучить тензоры, которые контравариантны по индексам из набора1, . . . , , и ковариантны по оставшимся − индексам, вплоть до полностьюковариантного тензора 1 2 ... .Для каждой пары контравариантных и ковариантных индексов возможна()операция свёртки, позволяющая преобразовать исходный тензор () ранга(−1) = + в новый тензор (−1) ранга − 2, который является суммой.............
Таким образом, для тензора второго ранга свёртка приводит к5.5. Тензоры и обозначения141скаляру (инвариантный тензор ранга 0) ⇒ = ⇒ .(5.23)Другими словами, свёртка выполняется перемножением = .Для самого метрического тензора определим контравариантный двойник как тензор, обратный к . Численно он совпадает с первоначальнымтензором (5.20), = .
Смешанный тензор в этом случае есть простоединичный символ Кронекера со всеми диагональными элементами,равными 1, и нулевыми недиагональными элементами: = .(5.24)Метрический тензор инвариантен по отношению к преобразованиям Лоренца.В качестве примера рассмотрим операторы градиента (/ и ∇). Стандартное соответствие между вектором энергии-импульса (5.10) и квантовыми операторами (отмеченными шляпкой при необходимости) — это:0 = ⇒ ^0 = ,^ = −∇.p⇒pТак как 0 и p образуют контравариантный вектор (5.10), то(︂)︂ ⇒ ^ = , −∇ ≡ ,(5.25)(5.26)что определяет контравариантный градиент =,(5.27)образуемый частными производными по отношению к ковариантным координатам = (, −r).
Аналогично этому, ковариантный градиент(︂)︂ =,∇ ≡(5.28)образован производными по отношению к контравариантным координатам . Во всех уравнениях различные члены должны иметь одинаковую тензорную структуру и те же свободные индексы в тех же позициях (верхнихили нижних).142Глава 5. На пути к релятивистской квантовой механикеОбщее преобразование Лоренца (конкретный пример дан в (5.6)) являетсялинейным преобразованием Λ контравариантных координат 4-вектора, иможет быть записано в матричной форме: → ′ = Λ .(5.29)Здесь положения индексов определяются контравариантностью вектора .
В матрицах верхний индекс нумерует строку, а нижний индекс соответствует столбцу. Таким образом, для преобразования Лоренца вдольоси , уравнение (5.6), матрица преобразования имеет вид⎛⎞− 0 0(︂)︂⎜ −0 0 ⎟(1 − ) 0⎜⎟Λ =⎝=.(5.30)001 0 ⎠01000 1Второе представление использует матрицу 4 × 4, записанную с использованием блоков 2 × 2, которые формально выражаются через матрицыПаули.Преобразование ковариантных компонент видно из простой цепочкиравенств,′ = ′ = Λ = Λ = Λ .(5.31)Здесь используются правила поднятия и опускания компонент тензора.Матрицы в (5.31) и (5.30) отличаются знаком скорости:(︂)︂(1 + ) 0Λ =.(5.32)01Группа Лоренца является группой преобразований, сохраняющих нормувекторов в пространстве Минковского:(′ ′ ) = ′ ′ = Λ Λ = ();(5.33)это подразумевает, что матрицы группы должны удовлетворять соотношениюΛ Λ = .(5.34)Легко проверить, что, как мы уже отмечали, метрический тензор инвариантен относительно преобразования Лоренца.
В самом деле, тензоры5.6. Уравнение Клейна—Гордона143преобразуются как произведения векторов (5.29) → ′ = Λ Λ = Λ Λ ,(5.35)где на последнем шаге используется правило поднятия и опускания индексов. Опуская верхний индекс (см. (5.34)), получим ′ = Λ Λ = = .(5.36)Мы не будем изучать здесь общую структуру группы Лоренца, см.
[29].5.6. Уравнение Клейна—ГордонаНерелятивистское уравнение Шрёдингера для свободного движенияможет быть «выведено» подстановкой квантовых операторов (5.25) дляэнергии и импульса p в нерелятивистское дисперсионное соотношение = p2 /2. Плоские волны (5.19) образуют полный набор решений.
Произвольное решение может быть представлено суперпозицией плоских волнс амплитудами, определенными Фурье-разложением исходных функцийΨ(0, r).Соответствующий релятивистский аналог должен иметь решение дляплоской волны с определенными импульсом и энергией, связанными релятивистским законом дисперсии, (5.13), который включает массу покоя. Вотличие от уравнения Шрёдингера, производные по времени и пространству должны входить одинаковым образом, чтобы гарантировать Лоренцковариантность.
Этого можно достичь, если использовать операторнуюподстановку (5.25)(︂)︂2[︁]︁Ψ = (−∇)2 + 2 Ψ,(5.37)или, в явной Лоренц-инвариантной форме (сравните с неоператорнымвыражением (5.12)),^2 Ψ ≡ − 2 Ψ = 2 Ψ.(5.38)Здесь 4-вектор ^ = является 4-градиентом (5.26), а дифференциальныйоператор второго порядка в уравнении (5.38) — это оператор д’Аламбера2 ≡ =2− ∇2 .2(5.39)144Глава 5. На пути к релятивистской квантовой механикеЭтот оператор является скалярным квадратом (5.22) вектора , которыйдает Лоренц-инвариантное 4-мерное обобщение трехмерного оператораЛапласа. Заметим, что вследствие второго порядка Ψ и Ψ* являются решениями того же самого уравнения (инвариантность по отношению кобращению времени свободного релятивистского движения). Нужно такжеупомянуть, что из-за производных второго порядка по времени заданнаяначальная волновая функция Ψ(0 ) не полностью определяет будущуюэволюцию системы, для этого необходимо знать также начальное значениепроизводной Ψ̇(0 ).
Это связано с конкретной формой плотности вероятности, которая, вообще говоря, включает производную по времени волновойфункции, см. ниже уравнение (5.46).В (5.37) мы «вывели» уравнение Клейна—Гордона—Фока, или простоуравнение Клейна—Гордона (УКГ), которое является основным релятивистским волновым уравнением для любой свободной частицы. Это скалярноеуравнение для однокомпонентной волновой функции Ψ(). Для бесспиновых частиц это единственное волновое уравнение. Волновые функции длячастиц с ненулевым спином — многокомпонентные объекты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
