1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 19
Текст из файла (страница 19)
[()2 + sin(2) + 2 sin2 ()]1/2(4.77)Перекрытие начального состояния с состоянием в момент времени выражается интегралом∫︁ ∞2⟨Ψ0 |Ψ()⟩ = 2 ()−~ /2 .(4.78)0Функция 2 () имеет бесконечное число полюсов в комплексной плоскости; они дают экспоненциально убывающие члены в функции перекрытия(4.78). После обсуждавшейся ранее начальной стадии полюс, ближайший кдействительной оси, будет определять «нормальный» экспоненциальныйраспад. Однако в пределе → ∞ экспонента в (4.78) быстро осциллирует,и основной вклад будет давать область малых волновых векторов ≪ 1.Поскольку тогда 2 () ∝ ()2 , этот предел определяется интегралом∫︁ ∞2 −~ /2 ()2 ∝ −3/2 ,(4.79)0который получается при введении новой переменной = вероятность выживания ведёт себя степенным образом: () ∝const.3√︀~/2.
Тогда(4.80)Как видно из решения, неэкспоненциальный распад в пределе большихвремён есть следствие существования нижней границы энергетическогоспектра, = 0 в этой модели. Рис. 4.3 показывает полную временную зависимость распада; = ~2 /22 . Сплошная линия обозначает вероятностьвыживания, а пунктирная линия обозначаетсвязанную с ней вероятность∫︀ 0нахождения частицы внутри ящика − |Ψ(, )|2 , которая ведёт себяпочти так же, но слегка превышает (), поскольку она включает вероятность возвращения в ящик, но в состояния, отличные от первоначального.4.8. Резонансное сечение12310.8 R10010–110–210–3P(T)10–410–510–610–710–810–910–1010–11510T152025Рис. 4.3. Зависимость от времени распада в модели задачи 4.2 [24]Figure 10.3 Time behavior of decay in the model of Problem 10.2 [37].4.8.
Резонансное сечение10.8Resonance Cross SectionНестабильное состояние может приближённо рассматриваться как принадлежащее дискретному спектру, если его время жизни достаточно великоAn unstablestateоченьcan узкая.be approximatelyconsideredили соответствующаяширинаДискретный спектрможет бытьas belongпрактическивыделен,еслиlifetimeнеопределённостьэнергииlongсостоянийменьше,spectrumif itsis sufficientlyor thecorrespondingчем среднее расстояние между уровнями , Δ ∼ ~/ < ; это значит,row.
The discrete spectrum can be resolved if the energy unceчто уровни не перекрываются:smaller than the average level spacing D, ∆E ! „/τ < D. ThΓ≡< 1.(4.81)levels do not overlap,Волновой пакет, временноΓ захваченный в дискретный спектр с расстоя!".ниеммежду уровнями ∼ <, 1можетбыть приближённо представлен как∑︀Dexp[(−2/~)].Он(такжеприближённо)воспроизводит себя спериодом возврата, или временем Вайскопфа ~/. Условие (4.81) означает,A wave packet temporarily captured by the discrete spectrumP! D can be approximately presented as n exp[(#2π i/„)nD t]ψimately) reproduces itself with a period of recurrence, or Weissko124Глава 4. Реакции, распады и резонансычто время жизни внутри системы превышает время возврата∼~~> ∼ .Γ(4.82)Значение ≈ 1 является границей между двумя физически различнымидинамическими режимами: слабая связь с континуумом, когда ≪ 1 испектр состоит из изолированных квазидискретных уровней, и сильнаясвязь, когда ≫ 1 и состояния перекрываются.
Долгоживущие состоянияво многих отношениях близки к истинно стационарным, и поэтому их частоназывают квазистационарными.Нестабильные состояния рождаются в различных реакциях и через некоторое время распадаются обратно в континуум. Они изучаются в процессахвозбуждения и снятия возбуждения. В экспериментах по рассеянию долгоживущие состояния видны как узкие резонансы в сечении, измеренномкак функция энергии. В режиме без перекрытия параметризация Брейта—Вигнера (4.58) может быть достаточно хорошим приближением. Однакотакое феноменологическое описание обычно не входит в детали внутреннейструктуры резонансных состояний.Рассмотрим область энергий, где в сечении доминируют изолированныерезонансы с комплексной энергией ℰ = − (/2)Γ .
Будем строить амплитуду для процесса → , идущего через изолированный резонанс , поаналогии с теорией возмущений. Здесь нам нужны процессы как минимумвторого порядка, → → . Описание такого двухступенчатого процессадолжно включать входную амплитуду ⟨||⟩, выходную амплитуду ⟨||⟩,которые пропорциональны соответствующим матричным элементам полного гамильтониана между состояниями канала и промежуточными состояниями (точное соответствие зависит от нормировки волновых функций вконтинууме), и энергетический знаменатель, разность между начальнойэнергией в канале (4.2) и энергией промежуточного состояния. Впротивоположность нормальной теории возмущений в дискретном спектре промежуточная энергия должна быть заменена комплексной энергией,потому что состояние нестабильно и не имеет определённой действительной энергии.
Введём для краткости обозначение для амплитуды перехода ≡ ⟨||⟩. Тогда амплитуда реакции при энергии = принимаетбрейт—вигнеровский вид () = 1* . − + (/2)Γ (4.83)4.9. Унитарность и сверхизлучение125С общим размерным фактором, как в (4.17-4.19), мы получаем эффективноесечение, пропорциональное квадрату модуля амплитуды (4.83):= 2⃒⃒2 *⃒⃒⃒⃒⃒ − + (/2)Γ ⃒ .(4.84)При такой нормировке амплитуды имеют размерность корня квадратного из энергии. В общем случае они зависят от энергии реакции, = ,через волновые функции в континууме; они должны исчезать на соответствующих порогах. Однако для узких резонансов и далеко от пороговсоответствующих каналов явная зависимость от энергии в энергетическомзнаменателе является наиболее значимой, потому что амплитуды и кинематические факторы (функции от и ) почти постоянны внутриэнергетических интервалов, меньших, чем расстояние между резонансамиили от резонанса до порога.Мы построили формулу Брейта— Вигнера «руками».
Главная её особенность — это резонансное поведение, как в (4.58) вокруг энергии .Энергетическая ширина наблюдаемого сечения Γ прямо связана с временем жизни промежуточного состояния. Отметим, что резонансное усилениенаблюдается при реальной энергии реакции, в то время как полюс амплитуды расположен в комплексной плоскости. Чем меньше ширина, тем ближерезонансный полюс к действительной оси, тем выше максимум сечения∝ Γ−2 в точке резонанса = .
Резонанс виден в любом канале , связанном с долгоживущим промежуточным состоянием ненулевой амплитудой .4.9. Унитарность и сверхизлучениеРезонансное поведение в нашем феноменологическом подходе определялось положением полюса ℰ в нижней части комплексной плоскостиэнергии и набором амплитуд для всех открытых каналов , связанных с резонансным внутренним состоянием. Однако эти параметры немогут принимать произвольных значений. Как мы видели в пороговой области, требование унитарности налагает ограничения на элементы матрицырассеяния.Проверим, выполняется ли это требование для используемой параметризации, которую можно представить как = * ,(4.85)126Глава 4.
Реакции, распады и резонансыгде пропагатор при данной действительной энергии () =11= − ℰ − + (/2)Γ(4.86)удовлетворяет очевидному тождествуIm ≡1Γ( − * ) = − * .22(4.87)Перемножая матрицы и † и учитывая (4.87), мы видим, что условиеунитарности (4.23)требует∑︁| |2 = Γ .(4.88)Ширина Γ , будучи обратно пропорциональна времени жизни резонанса,даёт полную скорость перехода из резонанса во все разрешённые каналыраспада.
Поэтому величины должны интерпретироваться как парциальные ширины резонанса по отношению к данной моде распада (канал):∑︁Γ = | |2 , Γ =Γ .(4.89)Если частица может быть испущена с оставлением ядра остатка в различных конечных состояниях , то каждому такому состоянию формальносоответствует конкретный канал ≡ ( + ). Тогда мы можем найти полную ширину испускания для частицы как сумму по всем возможнымсостояниям ядра остатка∑︁Γ () =Γ+.(4.90)С возрастанием энергии выше порога ширины нестабильных состоянийрастут вместе с доступным фазовым объёмом в континууме.
Соотношение(4.81) перестаёт выполняться, и резонансы начинают перекрываться. Вэтом режиме появляются новые явления: статистические (Эриксоновские)флуктуации сечений из-за хаотических фаз интерферирующих резонансови аналог оптического сверхизлучения, разд. II.11.9. Со связью квазистационарных состояний и континуума, выражаемой амплитудами , этисостояния приобретают новый динамический механизм, аналогичный взаимодействию через яркое состояние, см. разд.
I.10.7 и I.10.8. Это взаимодей-4.10. Угловой момент и чётность127ствие между состояниями и может быть описано неэрмитовой добавкойк внутреннему гамильтониану∑︁̃︀ = − (open)* .2 (4.91)Грубо говоря, система может виртуально распасться из состояния в канал и затем вернуться обратно в другое состояние , потому что ониперекрываются и их энергии не определены внутри ширин. Для изолированных резонансов важен только диагональный член = , и эффективныйгамильтониан (4.91) ведёт к комплексной энергии в знаменателе (4.86) сполной шириной одного резонанса (4.88).
Формальный вывод эффективногогамильтониана можно найти в книге [25].В пределе сильного перекрытия, когда параметр (4.81) велик > 1,антиэрмитовский член (4.91) играет ведущую роль в пропагаторе (4.86),и основное взаимодействие между внутренними состояниями происходитчерез континуум. Подобно сверхизлучению из-за связи кубитов через общееполе излучения, это взаимодействие приводит к реструктуризации ширин.В результате несколько состояний приобретают значительную часть полнойсуммарной ширины, а оставшиеся (захваченные) состояния возвращаютсяк режиму без перекрытия. В сечении реакции широкое состояние виднокак огибающая узких резонансов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
