1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Каждый возможный набор частиц вместе со всеми квантовыми числами, описывающимиих внутренние состояния (например, спин), образуют канал реакции. Ввышеприведённых обозначениях канал ≡ ( + ) — это входной канал,а канал ≡ ( + ) — выходной канал. Для каждого открытого (разрешённого по имеющейся энергии, см.
ниже) канала в принципе возможнапостановка экспериментов, в которых этот канал может быть как входным,так и выходным.Если входной канал и выходной канал совпадают, то мы говорим об упругом процессе, в противном случае реакция неупругая. Ранее мы учитывалисуществование различных неупругих каналов как поглощение, приводящее104Глава 4. Реакции, распады и резонансык уходу частиц из упругого канала. Конкретные неупругие каналы рассматривались только в рамках борновского приближения (теории возмущений).Здесь мы познакомимся несколько ближе с физикой реакций.
Конечно,реакции более сложные, чем бинарные, также возможны.Рассматривая все реакции в системе центра масс, мы можем записатьполную энергию в канале как сумму = + intr(4.2)кинетической энергии относительного движения = p2 /2 , где p естьотносительный импульс, = /( + ) приведённая масса в этомканале и intr — это внутренняя энергия частиц и . Мы не рассматриваемздесь обобщение на релятивистскую кинематику [18].
В реакции → сохраняется полная энергия : = + intr = + intr = ≡ .(4.3)Изменение кинетической энергии в процессе носит название тепловойэффект реакции или её -value = − = intr − intr .(4.4)Эта величина полностью определяется внутренней структурой реагентов.Реакции → с > 0 называются экзотермическими. Они энергетически возможны при любой начальной кинетической энергии (выигрышв кинетической энергии за счёт внутренней энергии). Эндотермическиереакции, < 0, сопровождаются потерей кинетической энергии. Онивозможны, только если + > 0, поскольку всегда должно быть > 0.Тогда необходимо, чтобы > − > 0.
Это значит, что существуетположительная пороговая энергияintrth− intr > 0→ = − = (4.5)и реакция → возможна только выше этого порога, когда > th→ .Величина полной энергии, при которой канал становится активным,intr = intr = th≡ th ,→ + (4.6)не зависит от канала и определяет абсолютный порог th для канала .Ниже этого порога канал закрыт.4.2. Матрица рассеяния для многоканальных реакций1054.2. Матрица рассеяния для многоканальных реакцийТеперь мы можем обобщить одноканальное описание на случай многихоткрытых каналов. Здесь мы также будем пользоваться стационарной формулировкой, оставаясь на энергетической поверхности при фиксированнойвеличине .В канале волновая функция системы ( + ) может быть представленакак произведение функции , описывающей относительное движение, ивнутренней волновой функции Φ частиц и :Ψ = Φ .(4.7)Полная волновая функция реакции содержит все возможные каналы:∑︁Ψ=Ψ .(4.8)В упругом канале → волновая функция относительного движения (r)имеет стандартный асимптотический вид ≈ + () ,(4.9)где ось взята в направлении падающего пучка, () — упругая амплитуда и — волновой вектор относительного движения в этом канале, = ~2 2 /2 .
Волновые функции неупругих каналов ̸= не имеют падающей волны. В асимптотической области функция ̸= содержит толькорасходящуюся сферическую волну с неупругой амплитудой . Удобнонормировать неупругие амплитуды таким образом, чтобы в асимптотике√︂ ≈ ().(4.10) С определением (4.10) радиальный поток, уходящий к детектору площади = 2 в канале , равен =| |2 2 . 2 (4.11)Здесь = ~ / — относительная скорость в канале . Разделив на падающий поток, найдём дифференциальное сечение реакции → : = | |2= | |2 . (4.12)106Глава 4.
Реакции, распады и резонансыОтношение волновых векторов связано с доступной плотностью конечныхсостояний, которая уже появлялась и в борновском приближении.Матрица рассеяния теперь является оператором в пространстве каналов. Обобщая одноканальное выражение, определим матричный элементэтого оператора для перехода → как√︀ ≡ (1 − ) = + 2 .(4.13)Эти определения матрицы перехода и амплитуды согласуются с (1.22)и (1.62). Матрицы , и всё ещё операторы по дополнительным квантовым числам состояний канала.
Сечение реакции (4.12) теперь может бытьпереписано как1| |2 = 2 | − |2 =.(4.14)442Если взаимодействие в некотором канале является центрально симметричным, то мы можем использовать для волновой функции в этом каналеразложение по парциальным волнам, см. гл. 2. Тогда , и диагональны по орбитальному моменту ℓ, так что уравнение (4.13) может бытьнаписано для каждой парциальной волны√︀(4.15)ℓ = − ℓ = + 2 ℓ .Это очевидное обобщение выражения (2.7), полученного для упругогорассеяния.Предполагая центральную симметрию, мы можем выразить парциальныеамплитуды рассеяния через соответствующие элементы матрицы рассеянияℓ =ℓ − 1,2ℓ = √ℓ.2 (4.16)Используя в (4.12) разложение по парциальным волнам и интегрируя поуглам подобно тому, как это было сделано в (2.10), мы получаемel ≡ = ∑︁(2ℓ + 1)|ℓ − 1|2 ,2(4.17) ∑︁(2ℓ + 1)|ℓ |2 .2(4.18)ℓ ̸= =ℓ4.3.
Детальное равновесие107С другой стороны, полное неупругое сечение было найдено в (2.10) каксечение поглощения. В наших теперешних обозначениях ∑︁inel = 2(2ℓ + 1)(1 − |ℓ |2 ).(4.19)ℓПо определению поглощенияinel =∑︁ (4.20)̸=и из сравнения (4.18) и (4.19)1 − |ℓ |2 =∑︁|ℓ |2 .(4.21)̸=Это не что иное, как частная форма условия унитарности (1.19), т. е.сохранения вероятностей теперь в пространстве каналов∑︁† = 1 * = .(4.22)При = выражения (4.22) и (4.21) совпадают. В терминах матрицыперехода унитарность выражается как † − ( − † ) = 0.(4.23)4.3.
Детальное равновесиеВажные свойства многоканальной матрицы рассеяния следуют из инвариантности относительно обращения времени. В силу этой инвариант˜ности амплитуда процесса → должна быть равна амплитуде ˜ -обращённого процесса ˜ → ˜.Как мы знаем, обращение времени включает перестановку начальногои конечного состояний и обращение (обозначаемое тильдой) всех импульсов и угловых моментов.
Таким образом, инвариантность относительнообращения времени даёт связь между амплитудами прямых и обратныхреакций˜˜ = ˜ , = ˜ ;(4.24)108Глава 4. Реакции, распады и резонансыдля бесспиновых частиц мы бы имели соотношение взаимности = [8].Используя уравнение (4.24), получаем для дифференциального сечения(4.12) обратного процесса˜ ˜˜ ˜= | ˜ |2= | |2 ,˜˜(4.25)поскольку величина импульса не меняется при обращении времени.
Уравнения (4.12) и (4.25) позволяют сформулировать принцип детального равновесия как соотношение между сечениями прямых и обратных процессов˜ ˜ 2 2 = .˜ (4.26)Естественно, поскольку сравнение идёт при той же величине энергии всистеме центра масс, кинематики для этих двух процессов просто меняютсяместами.В борновском приближении инвариантность относительно обращениявремени ведёт к дополнительным симметриям, как уже обсуждалось вразд.
2.10. В многоканальной задаче это тоже имеет место. Элементы матрицы в борновском приближении пропорциональны соответствующимматричным элементам гамильтониана возмущения (1.38), ∝ ⟨| ′ |⟩.Поскольку гамильтониан эрмитовский | |2 = | |2 , и мы получаем соотношение, подобное (4.26), но для прямой → и обратной → реакцийбез обращения времени(︂ )︂(︂ )︂2 =2 .(4.27) Здесь нижний индекс обозначает борновское приближение.Комбинируя инвариантность относительно обращения времени →˜, → ˜, с борновской симметрией ↔ , мы заключаем, что имеетсяинвариантность по отношению к простому изменению знаков импульсови спинов без обращения времени → ˜, → ˜. В этом причина, по которой не появляется поляризация при рассеянии неполяризованных частицв борновском приближении, см.
разд. 2.10. Ненулевая поляризация возникает (задача 2.7) для комплексного потенциала, который имитируетсуществование неупругих каналов, но нарушает эрмитовость и инвариантность относительно обращения времени. Если вместо комплексногопотенциала мы бы описывали поглощение явно, с помощью неупругих ка-4.4.
Сечения для медленных частиц109налов, результат для упругого рассеяния выходил бы за рамки борновскогоприближения.Часто усреднённая форма принципа детального равновесия (4.26) бываетдовольно полезной. Пусть и соответственно спин частицы (полныйвнутренний угловой момент) и его проекция. Определим усреднённое сечение путём интегрирования по конечным углам , суммирования попроекциям спинов и конечных частиц, усреднения по проекциямспинов и начальных частиц и усреднения по направлениям kпадающей волны:(︃)︃ (︃)︃∑︁∑︁ ∑︁ ∑︁ ∫︁ ∫︁11 =. (4.28)2 + 1 2 + 1 4 Здесь вклады → и ˜ → ˜ входят на равных основаниях. Поэтому дляусреднённых сечений имеем = ˜˜ .(4.29)Если мы проведём ту же процедуру усреднения (4.28) для принципа детального равновесия (4.26), мы придём к его усреднённой версии(2 + 1)(2 + 1)2 = (2 + 1)(2 + 1)2 .(4.30)Выполнение соотношения (4.30) между сечениями прямых и обратных реакций — это простейшая проверка инвариантности относительно обращениявремени.4.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
