1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 13
Текст из файла (страница 13)
В этом случаемалые углы рассеяния полностью определяются квантово-механическойдифракцией. В чисто кулоновском случае рассеяния заряда на центрес зарядом угол рассеяния ∼ 2 /, и условие классичности (3.7)выполняется для всех при достаточно большой величине параметра Зоммерфельда:2=≫ 1.(3.8)~Обратное неравенство требуется для справедливости квантовомеханическойтеории возмущений (II.14.64).3.2. Квазиклассическая амплитудаКвазиклассическое приближение может работать, когда много парциальных волн дают заметный вклад в упругое сечение и дискретностьквантованного орбитального момента становится менее существенной. Этовозможно только при достаточно большой энергии. Для не слишком малыхуглов рассеяния можно ожидать, что квазиклассическое приближение будет3.2.
Квазиклассическая амплитуда81переходить в классическую теорию. Как обсуждалось выше, в (3.5), уголрассеяния должен превышать ~/() ∼ 1/ℓ, что эквивалентно требованиюℓ ≫ 1.(3.9)Поскольку полином Лежандра ℓ (cos ) имеет ℓ нулей, область углов в(3.9) должна превышать угловой размер ∼ 1/ℓ между нулями, что ведёт кклассическому усреднению. Квазиклассическое приближение может бытьсправедливо в широком интервале углов, а с некоторыми улучшениямиможет описать и дифракционные эффекты.Квазиклассические фазы могут быть найдены путем прямого сравненияволновых функций для данного рассеивающего потенциала и для свободного движения. Эти фазы в классически разрешенной области за точкойповорота ℓ , где классический импульс ℓ () равен нулю, были найдены в(II.2.58):∫︁1 Φℓ () = ℓ () + .(3.10)~ ℓ4Здесь√︂~2 (ℓ + 1/2)2(3.11)2и ℓ (ℓ ) = 0.
Квазиклассическая фаза Φ∘ℓ для свободного движения даётсятаким же выражением с = 0,∫︁1 ∘Φℓ () = ∘ℓ () + ,(3.12)~ ℓ∘4ℓ () =2[ − ()] −√︂~2 (ℓ + 1/2)2, ∘ℓ (ℓ∘ ) = 0.2Тогда парциальная фаза рассеяния равна(︁)︁ℓ = Φℓ − Φ∘ℓ.∘ℓ () =2 −→∞(3.13)(3.14)Фазы определяют амплитуду рассеяния () =1 ∑︁(2ℓ + 1)ℓ (cos )(2ℓ − 1).2(3.15)ℓДля углов ̸= 0 та часть в (3.15), которая не содержит exp(2ℓ ), исчезает(см. (II.1.146)), так что () =1 ∑︁(2ℓ + 1)ℓ (cos )2ℓ ,2ℓ ̸= 0.(3.16)82Глава 3.
Дополнительные вопросы теории рассеянияВ квазиклассической области (3.9) полиномы Лежандра также могут бытьпредставлены их квазиклассическим пределом (задача II.1.17):√︂2ℓ (cos ) ≈sin[(ℓ + 1/2) + /4].(3.17)ℓ sin Окончательно квазиклассическая амплитуда рассеяния имеет вид√︂∑︁ √12ℓ 2ℓ sin[(ℓ + 1/2) + /4].(3.18) () ≈ sin ℓ3.3. Квазиклассические фазыКак всегда, в предельном переходе от квантового к классическому режиму существенный вклад в сумму в (3.18) дают много парциальных волн сбольшими ℓ.
Эти вклады деструктивно интерферируют, имея быстро меняющиеся фазы. В этом случае классическая траектория выделена условиемстационарности фаз, см. разд. I.15.4: фазы должны слабо меняться междублизкими значениями ℓ.Соседние парциальные волны складываются конструктивно, еслиℓ[2ℓ ± (ℓ + 1/2)] = 2± = 0.ℓℓ(3.19)Точка поворота для свободного движения равна, в согласии с классическойкартиной,~(ℓ + 1/2)ℓ + 1/2ℓ∘ = √=,(3.20)2и прямым интегрированием мы находим из (3.12), что при ≫ ℓ∘ фазаравна точному результату (II.2.80) для свободного движения:Φ∘ℓ () = −ℓ.2(3.21)Правильный результат здесь обязан замене ℓ(ℓ + 1) → (ℓ + 1/2)2 , задачаII.2.4.Таким образом, парциальные фазы рассеяния в квазиклассическом приближении равны{︂ ∫︁ }︂ℓ1ℓ = lim.(3.22) ℓ () + − +→∞ ~ 42ℓ3.3. Квазиклассические фазы83Члены, расходящиеся при → ∞, очевидно, сокращаются.
Условие стационарности (3.19) даёт∫︁ ∞ ~(2ℓ + 1)+ ± = 0.(3.23)−2ℓ ()ℓ Вводя классические переменные — прицельный параметр и скорость набесконечности√︂~(ℓ + 1/2)2∘, =,(3.24) = ℓ =мы получаем из (3.23)∫︁ ∞1√︀−2± = 0.21 − ( ()/) − (/)2() (3.25)Это не что иное, как классическое уравнение [1, § 18], определяющее уголрассеяния как функцию прицельного параметра.Задача 3.1Найти квазиклассическую фазу предполагая, что потенциал () быстроубывает как функция расстояния так, что он мал вблизи точки поворотаданной парциальной волны.Решение.Разность фаз (3.14) может быть разложена до первого порядка по потенциалу∫︁ℓ ≈ −∞ ()ℓ∘1 ∘ () = − 2~ ℓ~∫︁∞ℓ∘ () √︀.2 − (ℓ + 1/2)2 /2(3.26)Поскольку сходимость разложения по парциальным волнам определяетсяволнами с ℓ ≫ 1, для короткодействующих потенциалов можно вычислятьфазы с помощью выражения (3.26). Можно показать [4, § 123], что фазы(3.26) конечны, если потенциал () убывает с расстоянием быстрее, чемкулоновский потенциал ∼ 1/; полное сечение конечно для потенциалов,спадающих быстрее, чем 1/2 ; амплитуда рассеяния вперёд конечна дляпотенциалов, спадающих быстрее, чем 1/3 .Согласно (3.26), при больших имеем по порядку величиныℓ ≈ − (ℓ∘ )ℓ∘≈ − 2 ().2~ ~(3.27)84Глава 3.
Дополнительные вопросы теории рассеянияРис. 3.1. Приближение прямолинейной траекторииЭта оценка может быть также переписана какℓ ≈ (),~(3.28)где ∼ / — типичное время соударения. Чтобы сделать эту оценку болееточной, заметим, что расстояние наибольшего сближения ℓ∘ при свободномдвижениисовпадает с прицельным параметром , и, используя координату√2 = − 2 движения вдоль невозмущённой классической траектории,получаем из (3.26)∫︁ ∞∫︁ ∞√︀ ()() ≈ − 2 √︀=− 2 ( 2 + 2 ).(3.29)~ ~ 1 − (/)2Это приближение прямолинейной траектории (сравни с (1.104)) подразумевалось при выводе (3.26).Теперь мы можем перейти к интегрированию по времени, полагая = 0в момент наибольшего сближения; тогда = = (~/), и∫︁∫︁ ∞√︀√︀1 ∞1() ≈ − ( 2 + 2 2 ) = − ( 2 + 2 2 ),(3.30)~ 02~ −∞в соответствии с оценкой (3.28).
В этом приближении полный сдвиг фазы2ℓ = 2(), = ( + 1/2)/, равен интегралу (делённому на ~) от взаимодействия вдоль невозмущённой прямолинейной траектории. Приближение(3.26) справедливо только для слабых потенциалов, т. е. для малых угловрассеяния ≪ 1 (прямая траектория), но достаточно больших ℓ, так чтоℓ > 1.Задача 3.2Вывести (3.26) из борновского приближения (3.55).3.4.
Связь с приближением эйконала85Решение.Удобно использовать цилиндрическую систему координат с осью вдольвектора k′ + k, который ортогонален к q = k′ − k. Вектор r имеет компоненту вдоль оси и b в поперечной плоскости (), тогда 2 = 2 + 2 .Если = , то(q · r) = (q · b) = cos = 2 sincos ,2(3.31)и борновская амплитуда принимает вид∫︁ ∞∫︁ ∞∫︁ 2√︀(2 + 2 )−2 sin(/2) cos . () = −2~2 00−∞(3.32)Интеграл по даёт функцию Бесселя∫︁ 2 −2 sin(/2) cos = 20 (2 sin(/2)).(3.33)0Но для малых , как следует из сравнения уравнения (II.1.155) с уравнениемБесселя,0 ((ℓ + 1/2)) ≈ ℓ (cos ).(3.34)С той же точностью 2 sin(/2) ≈ и ℓ + 1/2 = . Вводя ℓ и в качественовых переменных интегрирования мы получаем∫︁∫︁ ∞2 ∞ ()ℓ ℓ √︀ℓ (cos ).(3.35) () ≈ − 2~ 02 − (ℓ + 1/2)2 / 2ℓ∘Это совпадает с точным парциально-волновым разложением, в которомфазы считаются малыми (sin ℓ ≈ ℓ ) и берутся из квазиклассики(3.26),а∫︀∑︀сумма по парциальным волнам заменена на интеграл, ℓ (2ℓ + 1) → 2 ℓ ℓ,поскольку в этом пределе много парциальных волн дают вклад.3.4.
Связь с приближением эйконалаПоследняя задача указывает путь к улучшению приближения для того,чтобы учесть дифракционные эффекты и обеспечить выполнение оптической теоремы.Как и раньше, мы предполагаем, что существенны вклады многих парци¯ , имеющимальных волн и что энергия велика по сравнению с потенциалом 86Глава 3. Дополнительные вопросы теории рассеяниятипичный радиус действия ,¯| ≪ =|~2 2~22¯= 2 2 ∼ ().222(3.36)Здесь условие применимости борновского приближения, разд. (1.11), может быть нарушено, но углы рассеяния малы, и мы можем использоватьприближение (3.34), так что () ≈1 ∑︁(2ℓ + 1)(2ℓ − 1)0 (2ℓ sin(/2)),2ℓ1ℓ = ℓ + .2(3.37)Переходя от суммирования по ℓ к интегрированию по прицельному параметру, находим∫︁ ∞(︁)︁ () = − 2() − 1 0 (2 sin(/2)).(3.38)0Если бы мы сделали разложение для малых фаз, exp[2()] ≈ 1 + 2(), ивзяли фазы вдоль прямой траектории (3.29), мы бы вернулись к борновскому приближению, (3.32-3.34).Эйкональное приближение (приближение прицельного параметра), введённое ранее в разд.
1.12 путём прямого решения волнового уравнения,использует выражение (3.38) без разложения в показателе экспоненты.Записывая функцию Бесселя в (3.38) как интеграл (3.33), мы получаемвыражение (1.100) () = −2∫︁2∫︁0∞(︁)︁ 2() − 1 −(q·b) ,b = ( cos , sin , 0).0(3.39)Здесь фазы () могут быть вычислены согласно (3.29).Задача 3.3Проверить, что амплитуда (3.39) удовлетворяет оптической теореме, см.разд. 1.8, для произвольных действительных фаз ().Решение.Действительно, полное упругое сечение после интегрирования | |2 по2 , которое даёт двумерную дельта-функцию (2) (b − b′ ), равно∫︁4Im (0).(3.40)el = 2 2[1 − cos(2())] =3.5.
Дифракционное рассеяние87Эти результаты будут служить отправной точкой для рассмотрениядифракционного рассеяния. Они также могут быть обобщены на нецентральное поле. Метод работает также и в присутствии неупругих каналов,но с комплексными фазами (), когда |ℓ | = | exp[2()]| < 1.3.5. Дифракционное рассеяниеНаличие неупругих процессов может быть первоначально обнаруженокак поглощение, влияющее на упругое рассеяние. Мы уже видели, см.разд. 1.2, что поглощение и упругое рассеяние определяются одними итеми же параметрами, элементами -матрицы.
Поглощение обрезает илиуменьшает некоторые части фронта волны. Тем самым упруго рассеяннаяволна неизбежно искажена. Искаженная волна теперь не плоская волна,она содержит Фурье-компоненты с волновыми векторами, отличными отволновых векторов падающего пучка.Дополнительное рассеяние с длиной волны , малой по сравнению срадиусом потенциала, аналогично дифракции света на препятствии.Квантовая теория дифракционного рассеяния практически совпадает сописанием дифракции параллельного коротковолнового пучка, идущего отудаленного источника (дифракция Фраунгофера, [3, §61]). Многие формулымогут быть непосредственно взяты из оптики.Одно из типичных приложений дифракционной картины можно найти взадаче рассеяния достаточно быстрых частиц на ядрах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
