1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Определение (2.1) напоминает классическую картину отклоненнойтраектории, задача 1.1: половина сдвига фазы набирается до и столькоже после прохождения точки наибольшего сближения. Эта квазиклассиче-48Глава 2. Метод парциальных волнская картина полезна, когда в рассеянии участвуют много парциальныхволн. Она может быть обобщена на потенциалы, зависящие от спина, и наналичие неупругих каналов.Метод парциальных волн формулирует задачу рассеяния как задачувычисления фазовых сдвигов. Прежде всего мы должны в подходящихтерминах выразить наблюдаемые сечения рассеяния. Задача рассеяниядля бесспиновых частиц и центрально-симметричного потенциала являетсяаксиально-симметричной: только одно направление выделено постановкойэксперимента — направление k начального пучка.
Примем это направлениеза ось . Угол рассеяния – это полярный угол вектора k′ , уравнение (1.48).Благодаря аксиальной симметрии амплитуда рассеяния (k′ , k) не можетзависеть от азимутального угла вектора k′ . Она зависит только от иэнергии, которую мы не будем явно указывать.Асимптотика волновой функции (1.49) принимает вид(r) ≈ cos + ().(2.3)Амплитуда рассеяния () может быть разложена по полиномам Лежандра, что в точности совпадает с разложением по парциальным волнам сопределённым орбитальным моментом ℓ:∑︁ () =(2ℓ + 1)ℓ (cos )ℓ .(2.4)ℓЗадача 2.1Показать, что сферические функции ℓ (nk ) являются собственнымифункциями оператора ^, уравнение (1.60), и что парциальные амплитуды ℓ ,уравнение (2.4), это соответствующие собственные значения, вырожденныепо магнитному квантовому числу .Падающая плоская волна в (2.3) также может быть представлена суперпозицией парциальных волн.
Мы уже находили в (1.53) это разложение васимптотической области:1 ∑︁ cos ≈(2ℓ + 1)ℓ ()[ − (−)ℓ − ].(2.5)2ℓЗдесь мы использовали условие полноты для полиномов Лежандра, см.(I.16.146) и (I.16.148). Теперь собираем вместе входящую и уходящую волны2.2. Упругое и неупругое сечения49и получаем(r) ≈ ∑︁(2ℓ + 1)ℓ (cos )[(−)ℓ − − (1 + 2ℓ ) ].2(2.6)ℓВходящая компонента ∝ − не меняется рассеянием. В противоположность этому уходящая волна искажается. Её амплитуда не равна единице;она приобретает факторℓ = 1 + 2ℓ .(2.7)Величины ℓ в уравнении (2.7) – это элементы -матрицы, преобразующиепадающую волну (точнее, её уходящую часть) в рассеянную волну. Какмы уже обсуждали, для центрального поля -матрица должна быть диагональной в ℓ-представлении.
Амплитуда , рассматриваемая как оператор(1.60), также диагонализуется в этом представлении, и её матричнымиэлементами являются парциальные амплитуды . Парциальные волны ℓ(отдельные члены в (2.6)) являются собственными функциями оператора^ с соответствующими собственными значениями ℓ . Выражение (2.7) вточности совпадает с условием унитарности (1.62).Дифференциальное упругое сечение (1.52) есть произведение двух разложений, (2.4) и такого же для сопряжённой функции * . Оно не имеетпростого вида, поскольку все парциальные волны интерферируют на детекторе, расположенном под определённым углом. Интерференция исчезаетв полном сечении в силу ортогональности парциальных волн в интегралахпо углам.
Записывая амплитуду рассеяния (2.4) как () =1 ∑︁(2ℓ + 1)ℓ (cos )(ℓ − 1),2(2.8)ℓполучаем полное сечение в виде суммы парциальных сечений∫︁∑︁′*el =(2ℓ + 1)(2ℓ + 1)ℓ ℓ′ ℓ (cos )ℓ′ (cos )(2.9)ℓℓ′= 4∑︁ℓ(2ℓ + 1)|ℓ |2 = ∑︁(2ℓ + 1)|ℓ − 1|2 .2ℓ2.2. Упругое и неупругое сеченияС той же асимптотической волновой функцией (2.6) мы можем вычислитьнедостающий радиальный поток. Простая алгебра даёт сечение поглощения50Глава 2. Метод парциальных волнРис. 2.1.
Возможные пределы упругого сечения при заданном неупругом сечении(сечение реакций). Значения внутри заштрихованной области разрешены(1.44)inel1=−∫︁ 2 = ∑︁(2ℓ + 1)(1 − |ℓ |2 ).2(2.10)ℓТаким образом, -матрица определяет и упругое сечение, и сечение поглощения. Поглощение здесь входит только суммарно без выделения отдельныхканалов. Оно отсутствует, если выполняется условие |ℓ |2 = 1, уравнение(2.2). В присутствии поглощения |ℓ | < 1 и фазы ℓ становятся комплексными. Разложение по парциальным волнам имеет простую полуклассическуюинтерпретацию.
В классической механике ℓ-тая парциальная волна соответствует частицам, попадающим в площадь кольца между ℓ+1 и ℓ ,рис. 1.1. Площадь кольца, умноженная на вероятность захвата 1 − |ℓ |2 ,даёт неупругое сечение (2.10).2.3. Упругие фазы рассеяния51Важный момент заключается в том, что упругое рассеяние, |ℓ | = 1,может иметь место в отсутствие поглощения, в то время как обратнаяситуация чисто неупругого процесса невозможна. Любое поглощение всегдасопровождается упругим рассеянием.
Это так называемый эффект тени,типичное проявление волновых свойств. Поглощение искажает падающуюволну, вырезая часть волнового фронта. При этом в фурье-разложенииискажённой волны с необходимостью появляются новые (дифракционные)компоненты. Рис. 2.1 [8] показывает соотношение между возможнымивеличинами упругого и неупругого сечений.Полное сечение равно сумме упругого, уравнение (2.10), и неупругого,уравнение (2.10), вкладов:tot =2 ∑︁ ∑︁*)=(2ℓ+1)(2−−(2ℓ + 1)(1 − Reℓ ).ℓℓ22ℓ(2.11)ℓСравнивая (2.11) с (2.8), мы опять приходим к оптической теореме (1.58).2.3. Упругие фазы рассеянияЗдесь мы более подробно рассмотрим случай чисто упругого рассеяния,когда фазы рассеяния ℓ , определённые уравнением (2.1), действительны.Записывая ℓ − 1 как 2 exp(ℓ ) sin ℓ , выразим амплитуду рассеяния (2.8)в виде1 ∑︁ () =(2ℓ + 1)ℓ (cos )ℓ sin ℓ .(2.12)ℓАсимптотика волновой функции (2.6) становится(r) ≈=== ∑︁(−)ℓ (2ℓ + 1)ℓ (cos )[− − (−)ℓ ℓ ]2ℓ1 ∑︁ ℓ (2ℓ + 1)ℓ (cos )[(−)ℓ 2ℓ + − ℓ − ]2ℓ1 ∑︁ ℓ (2ℓ + 1)ℓ (cos )ℓ [(−ℓ/2+ℓ ) − −(−ℓ/2+ℓ ) ]2ℓ(︂)︂∑︁1ℓℓℓ (2ℓ + 1)ℓ (cos ) sin −+ ℓ .(2.13)2ℓИз последнего выражения видно, что ℓ есть сдвиг фазы ℓ-той парциальнойволны по сравнению с асимптотикой (II.2.80) входящей плоской волны.
Как52Глава 2. Метод парциальных волнмы уже отмечали, двойная фаза 2ℓ в набирается на пути к центру и отцентра.В терминах фаз рассеяния упругое сечение (2.10) выглядит следующимобразом:4 ∑︁el = 2(2ℓ + 1) sin2 ℓ .(2.14)ℓФаза рассеяния, равная ℓ = при некоторой энергии, отвечает отсутствию рассеяния в данной парциальной волне при данной энергии. Максимум рассеяния (резонанс) возникает при ℓ = /2.
В резонансе парциальноесечение определяется не геометрическими параметрами системы, а длинойволны = 2/,4(2ℓ + 1)2ℓ + 1 2ℓmax == .(2.15)2Этот предел волновой механики в четыре раза больше, чем классическаяплощадь кольца (1.14).Чтобы найти фазы рассеяния, нужно решить радиальное уравнениеШрёдингера для данной парциальной волны и найти решение ℓ (), которое регулярно в нуле и имеет нужную асимптотику ∼ sin( − ℓ/2 + ℓ ).Этот асимптотический вид определяет фазу рассеяния ℓ . Полная волноваяфункция (r) может быть найдена как суперпозиция парциальных волнс коэффициентами ℓ exp(ℓ ), см. последнюю строку в асимптотическомпредставлении (r) (2.13).
На практике может быть удобнее найти пару(±)взаимно комплексно сопряжённых решений ℓ с асимптотическим поведением ∼ exp(±). Эти функции образуют полный набор функций вконтинууме. Их поведение в начале координат определяется асимптотикойи не является регулярным. Нужно найти их суперпозицию[︁]︁(−)(+)ℓ () = ℓ ℓ () − (−)ℓ ℓ ℓ () ,(2.16)которая была бы регулярна в начале координат (сравните с (2.6)). Этотребование определяет ℓ .2.4. Аналитичность-матрица, рассматриваемая как функция волнового вектора , можетбыть продолжена на комплексные значения этой величины, которая играет2.4. Аналитичность53роль параметра в уравнении Шрёдингера. Здесь мы приводим толькократкую идею этого весьма продуктивного подхода.Радиальная функция ℓ () имеет для действительных вид (2.16) ссоответствующей асимптотикой. Продолжим эту функцию на комплексные значения .
Фаза рассеяния ℓ зависит от и перестаёт быть действительной для комплексных . Предположим, что при каком-то значении = −, > 0, т. е. на отрицательной мнимой полуоси фазаℓ (−) → ∞. Это значит, что -матрица обращается в нуль в этой точке:ℓ (−) = 2ℓ (−) = 0.(2.17)(−)В этом случае только первый член, порождаемый ℓ , выживает в асимптотике этой парциальной волны (2.16)ℓ () ∼ −(−) = − .(2.18)Но это асимптотика волновой функции связанного состояния при отрицательной энергии = (~2 /2)(−)2 = −~2 2 /2.(2.19)Можно заключить, что связанным состояниям с орбитальным моментомℓ соответствуют нули матричного элемента ℓ () на отрицательной мнимой полуоси.
Обратное утверждение, вообще говоря, неверно, посколькуимеющиеся связанные состояния не исчерпывают всех нулей ℓ ().Заметим теперь, что в уравнение Шрёдингера входит 2 , а не . Формальная замена → − должна давать то же решение ℓ () с точностьюдо не зависящего от координат фактора. Но при такой замене[− − (−)ℓ ℓ () ] → [ − (−)ℓ ℓ (−)− ]=ℓ−(−) ℓ (−)[−−(2.20)(−)ℓ ℓ−1 (−) ].Отсюда находим, чтоℓ−1 (−) = ℓ (),(2.21)т.
е. нулям на нижней мнимой полуоси = − соответствуют полюса ℓ ()на верхней мнимой полуоси = +. Таким образом, знание -матрицы надействительной оси и её аналитических свойств даёт также информациюо связанных состояниях без явного использования гамильтониана иливолновой функции.54Глава 2. Метод парциальных волнРис. 2.2. Рассеяние на потенциальной яме2.5.
Рассеяние при низких энергиях: примерыМы получили формальное решение задачи рассеяния в центральномполе конечного радиуса действия. Все наблюдаемые величины выражаютсячерез бесконечный набор фаз рассеяния ℓ . Разложение по парциальнымволнам особенно удобно при низких энергиях, когда фазы убывают с ростомℓ и несколько первых членов разложения по парциальным волнам хорошоаппроксимируют полное решение.Как упоминалось ранее, область низких энергий определяется отношением характерного размера потенциала к длине волны относительногодвижения. Когда отношение / ∝ мало, различие в фазах междуволнами, идущими в разных направлениях, невелико и ось падающегопучка не выделена. Это значит, что рассеяние почти изотропно, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
