1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Успех, конечно, ввысшей степени зависит от усиленной работы студентов, которая, в своюочередь, инициируется их интересом к предмету.В течение этих лет я очень много полезного получил из дискуссий с замечательными учёными в разных странах. К сожалению, нет возможностиперечислить вклад каждого из них. Но я хотел бы выразить особую признательность ушедшему от нас Карлу Гооде, который постоянно поддерживали убеждал меня написать лекции в форме, пригодной для публикации.Я очень благодарен Роману Сенькову и Александру Воля за их полезное участие. Дружеское расположение и постоянная помощь издателей, вособенности Валери Мольер, Ани Щёртнер и Петры Мёвс, были неоценимы.15В таком внушительном тексте вряд ли возможно избежать недосказанностей и ошибок.
Я был бы особенно благодарен читателям за любойконструктивный отклик.Наконец, в течение тех лет, когда мои вечера были посвящены написаниюэтого курса, я постоянно получал большую поддержку со стороны сына,дочери и их семей. Я в бесконечном долгу перед моей женой Верой, чьёчудесное терпение сделало возможным выполнение этой работы.г. Ист–Лансинг, Мичиган, июнь 2010 г.Владимир ЗелевинскийОдним из наиболее фундаментальных инструментов физики, используемых для исследования атомных и субатомных явлений, является рассеяниеизвестных частиц на исследуемом образце.Р.Л.
Либов «Введение в квантовую механику»Глава 1Основы квантовой теории рассеяния1.1. Рассеяние и наблюдаемыеЛьвиная доля наших знаний о взаимодействии частиц с другими частицами, ядрами, атомами, молекулами и конденсированным веществомполучена из экспериментов по рассеянию. Теоретическая формулировказадачи рассеяния непосредственно приспособлена к типичной постановкеэксперимента.Схематически процесс рассеяния протекает следующим образом. Пучокчастиц в определенном начальном состоянии |⟩ получают из удалённогоисточника. Пучок характеризуется импульсом p частиц пучка, снарядов,или функцией распределения по импульсам, а также всеми внутреннимиквантовыми числами, такими как спин, которые также могут быть заданы вероятностным образом.
Частицы пучка считаются находящимися наэнергетической поверхности, или на массовой поверхности, то есть этореальные свободно движущиеся частицы с обычным соотношением междуэнергией и импульсом, в отличие от внемассовых виртуальных частиц, которые появляются в промежуточных короткоживущих состояниях, см.
разд.I.5.10. Строго говоря, мы никогда не имеем дело с плоской волной, имеющейопределенный импульс. Частицы пучка должны описываться волновымипакетами, имеющими разброс импульсов и координат в соответствии спринципом неопределенности. Но регистрирующий прибор имеет конечныеразмеры, и обычно неопределенность импульса перекрывается угловымразрешением детектора, хотя могут быть редкие ситуации, когда структурапакета имеет решающее значение. Во всяком случае, можно использоватьидеализированные плоские волны в качестве базиса, который позволяетвосстановить рассеяние пакета, пользуясь принципом суперпозиции.Исходный пучок вступает в взаимодействие с мишенью, которой, в частности, может быть еще один пучок (эксперименты на встречных пучках ).18Глава 1.
Основы квантовой теории рассеянияВзаимодействие происходит в микроскопической области, где мы не можем установить наши детекторы. После взаимодействия продукты сновасвободные частицы, может быть другого типа или в других внутреннихсостояниях. Регистрируется только набор характеристик свободных частиц в конечном состоянии | ⟩.
Для данного начального состояния |⟩задачей квантовой теории рассеяния является предсказание вероятностиразличных возможных конечных состояний. В конечном счёте, используяэмпирические данные, мы стараемся извлечь информацию о механизмевзаимодействия и структуре взаимодействующих частиц. Здесь мы ограничимся столкновениями двух тел, хотя в плотной среде одновременноевзаимодействие большего числа частиц может иметь важное значение; естьтакже многочастичные силы, которые не проявляются в парных взаимодействиях.
Количество конечных продуктов может быть произвольным, но мыв основном будем рассматривать типичные процессы с двумя начальнымии двумя конечными частицами.В гл. II.12 обсуждалось рассеяние как приложение зависящей от времени теории возмущений. На практике, особенно когда теория возмущенийнеприменима, проще использовать не зависящую от времени формулировку проблемы. Пусть имеется первоначальный пучок со стационарнойплотностью потока частиц (число частиц, проходящих через единицуплощади в единицу времени). Экспериментальный детектор регистрируетопределенное количество событий, соответствующих конечному состоянию| ⟩, со скоростью ˙ (количество событий в единицу времени). Отношение =˙ (1.1)измеряет вероятность рассматриваемого процесса → для одной падающей частицы.
Имея размерность площади, эта характеристика называетсяэффективным сечением. Будучи основными величинами, получаемыми вэкспериментах по рассеянию, сечения характеризуют элементарные актывзаимодействия, не зависящие от интенсивности пучка.1.2. Классическое рассеяниеНапомним задачу об упругом рассеянии в классической механике [1], § 18.В парном столкновении мы всегда используем систему центра масс, где сталкивающиеся частицы сближаются друг с другом и после взаимодействиярасходятся в противоположных направлениях под углом по отношению кпервоначальному движению.1.2. Классическое рассеяние19Рис.
1.1. Поперечное сечение и прицельный параметрКлассически угол рассеяния = () определяется прицельным параметром , связанным с орбитальным моментом ℓ как ~ℓ = , где относительная скорость вдали от рассеивателя и -приведенная масса снаряда и частицы мишени. Все частицы падающей волны, летящие в кольцемежду и + , рис.
1.1, будут отклоняться на угол между и + .Поэтому эффективное дифференциальное сечение есть площадь кольца⃒ ⃒⃒ ⃒ = 2 = 2 ⃒⃒ ⃒⃒ ;(1.2)символ абсолютного значения вставлен для того, чтобы всегда иметь положительные сечения. Конкретные свойства потенциалов скрыты в зависимости (). Полное сечение получается интегрированием дифференциальногосечения по всем прицельным параметрам или, эквивалентно, по телесномууглу рассеянных частиц.
Поперечное сечение зависит от характера взаимодействия между снарядом и мишенью и от энергии относительногодвижения.Задача 1.1Найти классические дифференциальное и полное сечения упругого рассеяния точечной частицы массы с кинетической энергией на сферическисимметричной потенциальной яме радиуса и глубины 0 .Решение.Начальное√︀ состояние определяется прицельным параметром и скоростью = 2/. Классическое рассеяние возможно только для < .Полное сечение рассеяния равно площади взаимодействия, перпендикуляр-20Глава 1. Основы квантовой теории рассеянияРис.
1.2. Геометрия рассеяния частицы на сферической потенциальной яменой траектории частицы, т.е. площади геометрического сечения мишени∫︁ = 2 = 2 .(1.3)0То же самое справедливо и для непроницаемой сферы (полное отражениечастицы).На границе сферы мы имеем скачок потенциала от нуля до отрицательного значения −0 . Только нормальная составляющая скорости частиц будетменяться (нет тангенциальной силы). Траектории, следовательно, будутпреломляться на поверхности. Пусть угол падения и угол преломленияравны, соответственно, 1 и 2 (рис. 1.2).
Тогда наружная и внутренняя ′ скорости связаны законом Снелла sin 1 = ′ sin 2 .(1.4)Угол падения определяется прицельным параметромsin 1 =.(1.5)Энергия частицы сохраняется= 2 ′2=− 0 ,22(1.6)1.2. Классическое рассеяние21внутри ямы частица движется быстрее, поэтому 2 < 1 ,√︂sin 2= ′ =sin 1 + 0(1.7)(обратная величина играет роль показателя преломления). Угол отклонения 2 − 1 удваивается в точке выхода, так что полный угол рассеяния = 2(2 − 1 ). Совместно с уравнением.
(1.7) это даёт√︂cos − cot 1 sin =.(1.8)22 + 0Исключая 1 с помощью уравнения (1.5), находим связь между прицельнымпараметром и углом рассеяния2 = 2( + 0 ) sin2 (/2)√︀.2 + 0 − 2 ( + 0 ) cos(/2)(1.9)Для центрального столкновения = 0, угол рассеяния = 0, в то времякак касательное столкновение → приводит к максимальному углурассеяния :√︂=.(1.10)2 + 0Дифференциальное сечение получается, в соответствии с определением(1.2), дифференцированием уравнения (1.9) по .
Результат может бытьпредставлен как2 ( − )(1 − ),(1.11) =21 + 2 − 2где ≡ cos , ≡ cos.(1.12)22Можно проверить, что, в соответствии с (1.3),∫︁=sin 0= 2 .(1.13)В пределе очень высоких энергий, ≫ 0 , конус (1.10) сужается, и рассеяние происходит по существу в направлении вперед. Здесь показательпреломления близок к 1, а препятствие не меняет траектории. При малой22Глава 1. Основы квантовой теории рассеянияэнергии показатель преломления велик и рассеяние становится все более иболее изотропным → .С учетом квазиклассического квантования орбитального момента можноввести парциальное сечение для данного ℓ (рис.1.1):ℓ = (2ℓ+1 − 2ℓ ) =(2ℓ + 1).2(1.14)Прицельный параметр ℓ-той парциальной волны в ℓ раз больше, чем длинаволны ∼ 1/; здесь и ниже = /~ есть волновой вектор относительногодвижения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
