1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Вспомним,что этот параметр определяет мелкую потенциальную яму, см. разд. I.3.5.Применимость борновского приближения улучшается при высокой энергии. Оно может быть справедливо в смысле критерия (1.86) даже длясильного взаимодействия. При возрастании энергии волновая функцияначинает быстро осциллировать внутри области интегрирования. Как ив обсуждении формфакторов в разд. II.12.3, интеграл, определяющийрассеянную волну в (1.73), становится мал из-за сокращения вкладов отразличных частей области интегрирования ′ < .
Для = 0 имеем из(1.85)⃒∫︁⃒⃒ ⃒⃒3 (r) [+(k·r)] ⃒ (1.87)⃒⃒ ≪ 1.22~1.11. Применимость борновского приближения41Рассматривая для простоты изотропный потенциал () и выполняя интегрирование по углам, как и в (1.81), получаем⃒∫︁⃒⃒ ⃒⃒ ∞2⃒ ≪ 1.()(−1)(1.88)⃒⃒~2 0При низких энергиях, 2 − 1 ≈ 2, и мы возвращаемся к оценке (1.86).Но при ≫ 1 осциллирующий член 2 даёт почти исчезающий вклад(гладкий потенциал не имеет таких высоких фурье-компонент). Тогда условие применимости борновского приближения становится намного слабее:¯ 1 ¯∼ ¯≪ 1.2~ (1.89)Таким образом, точность борновского приближения возрастает при высокихэнергиях (время взаимодействия мало, так что многократные процессыменее вероятны).Для кулоновского потенциала () = 2 / нельзя ввести определённыйрадиус действия сил.
Но, используя в (1.89) произвольный радиус и¯ как (), мы получаем эффективный критерий слабостиоценивая кулоновского взаимодействия в терминах параметра Зоммерфельда, см.(I.2.66):2=.(1.90)~Кулоновское взаимодействие может рассматриваться как возмущение, если 22== ≪ 1.~2 ~2(1.91)Задача 1.5Вычислить в борновском приближении сечение рассеяния быстрой частицы на потенциале Юкавы () = (/) exp(−).Решение.Борновское приближение применимо, если потенциал слабый, условие(1.86), или для быстрых частиц, условие (1.89).
Первое условие в этомслучае даёт /~2 ≪ 1, что совпадает с условием отсутствия связанныхсостояний, если потенциал притягивающий, задача I.1.8. Условие для быстрых частиц /~ ≪ 1 похоже на аналогичное условие для кулоновскогопотенциала (1.91).42Глава 1. Основы квантовой теории рассеянияАмплитуда рассеяния может быть легко вычислена из (1.81).
Дифференциальное сечение монотонно убывает с увеличением передаваемогоимпульса(︁ )︁21=4.(1.92)22~( + 2 )2Для → 0 результат совпадает с резерфордовским сечением (II.12.25).Полное сечение получается интегрированием по углам. Оно расходитсяпри → 0:(︂)︂ 21 = 16.(1.93)22~ 4 + 2При низких энергиях ≪ 1 рассеяние в борновском приближенииизотропно, как это уже обсуждалось в связи с формфакторами.
При возрастании энергии в рассеянии появляется пик вперёд, внутри конуса 6 1/.Качественно такие свойства рассеяния присутствуют и в классическоймеханике, задача 1.1. Но следует отметить, что невозможно в борновскомприближении получить точный результат для → 0. Борновская амплитуда (0) действительна, что противоречит оптической теореме (1.58). Полноесечение, а следовательно, и Im (0), являются величинами второго порядкапо отношению к потенциалу.
Такими вкладами мы пренебрегаем в низшемборновском приближении.1.12. Рассеяние при высоких энергияхБорновское приближение может быть подправлено так, чтобы выполнялась оптическая теорема и расширилась область применимости. Единственное условие применимости этого приближения прицельного параметра,или приближения эйконала, заключается в том, что энергия должна быть¯ / ≪ 1. Борновский параметр (1.89)велика по сравнению с потенциалом ¯ /)(1/)¯¯ /)() может быть при этом большим.(∼ (При высоких энергиях много парциальных волн дают вклад в сечениерассеяния. Их интерференция приводит к выделению области вблизи классической траектории с прицельным параметром , который определяетсясредним орбитальным моментом интерферирующих волн ∼ ℓ̄/. Траектория близка к прямой линии, и ось пучка определяет направление,в котором волновая функция осциллирует наиболее быстро.
Волновуюфункцию можно записать как(r) ≈ (r),(1.94)1.12. Рассеяние при высоких энергиях43где амплитудная функция (r) меняется медленнее, чем экспонента сбольшим .При подстановке волновой функции (1.94) в уравнение Шрёдингера мыможем пренебречь поперечными ( и ) производными, которые малы посравнению с главным членом ∼ 2(∇ )·(∇), содержащим градиент вдольтраектории.
В этом приближении для медленно меняющейся амплитудымы получаем(r)22= 2 (r)(r).(1.95)~Пренебрегая поперечными производными, мы не учитываем дифракционное уширение пучка, которое будет существенным на очень большихрасстояниях, как в дифракции Фраунгофера от удалённого источника света [3, §61].
Наша цель состоит в том, чтобы найти амплитуду рассеяния , которая, согласно точному выражению (1.74), определяется волновойфункцией в области взаимодействия.Решение уравнения (1.95) есть(r) = −(/~)∫︀ −∞ (r).(1.96)Интеграл в (1.96) определяет эйконал, изменение фазы вдоль прямой траектории,параллельной оси . Волновая функция в (1.96) взята в точке√r = 2 + b2 , где b — двумерный поперечный вектор. Здесь мы не предполагаем, что потенциальная фаза в (1.96) мала.В классическом пределефаза волновой функции связана с классиче∫︀ским действием = вдоль траектории, измеренным в единицах ~, ↔ /~. Изменение действия из-за присутствия рассеивающего потенциала равно(︃√︂)︃∫︁Δ2= 2 − 2 − .(1.97)~~При высоких энергиях ≫ мы можем сделать разложение, выделивчлен, линейный по потенциалу:∫︁Δ1≈− .(1.98)~~Это и есть сдвиг фазы в приближении эйконала (1.96).Теперь мы используем эйкональное выражение = ~ ,(1.99)44Глава 1.
Основы квантовой теории рассеяниякоторое следует из уравнения (1.95), в определении (1.74) амплитудырассеяния∫︁ −(k′ ·r)=3 .(1.100)2Показатель экспоненты равен − (k′ · r) = (k − k′ ) · r = −(q · r)(1.101)со стандартным определением передаваемого импульса q. Поскольку траектория близка к прямой линии и угол рассеяния мал, то q перпендикуляренк k. Поэтому (q · r) ≈ (q · b). Это позволяет проинтегрировать по в (1.100):∫︁∫︁=2 −(q·b) .(1.102)2Интеграл по в (1.102) даёт разность ( = ∞) и ( = −∞) = 1. Полныйфазовый интеграл (1.96) определяет квазиклассическое выражение для-матрицы при заданной величине прицельного параметра b:(b) = 2(b) .(1.103)Это соответствует фазе рассеяния1(b) = −2~∫︁+∞ (b, )(1.104)−∞в согласии с полуклассической интерпретацией (1.98).Окончательно амплитуда рассеяния (1.102) может быть записана как∫︁=2 [(b) − 1]−(q·b) .(1.105)2При достаточно высокой энергии, когда фаза рассеяния (b) мала, мыможем положить (b) − 1 ≈ 2(b).
В этом случае поперечный интеграл(1.105) объединяется с продольным интегралом в (1.104), так что амплитуда рассеяния совпадает с результатом борновского приближения (1.79).Иными словами, в эйкональном подходе сдвиг фазы вдоль траектории,вычисленный в борновском приближении, уходит в показатель экспоненты.Амплитуда рассеяния вперёд описывается уравнением (1.105) при q = 0:∫︁ (0) =2 [(b) − 1].(1.106)21.12. Рассеяние при высоких энергиях45Это комплексное (в отличие от борновского приближения) выражениеопределяет, согласно оптической теореме (1.58), полное сечение∫︁ = 2 2 Re[1 − (b)].(1.107)Дополнительная литература: [2], [4], [5], [6], [7].Тенденция современной физики — разложить всю материальную вселенную наволны, и чтобы не было ничего, кромеволн.Дж.
Х. Джинс. «ТаинственнаяВселенная»Глава 2Метод парциальных волн2.1. Анализ парциальных волнЕсли потенциал изотропный (r) = (), ситуация упрощается, и мыможем полностью использовать вращательную инвариантность и свойствауглового момента. В центральном поле сохраняется орбитальный момент ℓотносительного движения, и можно рассматривать рассеяние индивидуальных парциальных волн с определённым ℓ.Каждая парциальная волна рассеивается независимо, и -матрица диагональна в ℓ-представлении. Элементами унитарной -матрицы являютсякомплексные числаℓ = 2ℓ ,(2.1)которые могут зависеть только от энергии = ~2 2 /2 относительногодвижения.
В отсутствие поглощения упругая унитарность требует, чтобывсе собственные значения находились на единичной окружности|ℓ |2 = 1,(2.2)так что все фазы рассеяния ℓ действительны. Мы уже встречались с фазамирассеяния и обсуждали их происхождение в приближении высоких энергий,см. уравнения (1.103) и (1.104). Из физического смысла -матрицы (1.16)как оператора эволюции начального состояния можно понять, что упругоерассеяние приводит просто к появлению дополнительного сдвига фазы2ℓ парциальной волны при прохождении через область взаимодействия(разность между полной фазой и невозмущённой фазой свободного движения).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
