1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Таким образом, парциальное сечение (1.14) определяется длинойволны падающего пучка.Наша цель заключается в формулировке квантовой теории рассеяния инахождении связи эмпирических сечений с основными характеристикамивзаимодействия. Классическая картина будет являться частным случаемобщей теории.1.3. Матрица рассеянияКартина (рис. 1.1) подразумевает стационарную постановку рассеянияс постоянным падающим пучком, поставляющим новые частицы. Другойподход рассматривает временну́ю эволюцию начального квантового состояния, которое принадлежит сплошному энергетическому спектру. Состояниебыло приготовлено в далёком прошлом, → −∞, достаточно давно, чтобыопределить его энергию с хорошей точностью. Состояние |⟩ ≡ |; −∞⟩,как правило, волновой пакет, который удовлетворяет уравнению Шрё^ 0 невзаимодействующих частиц.
Будучи такдингера с гамильтонианом приготовленным, волновой пакет движется к области взаимодействия смишенью (мы предполагаем конечный радиус взаимодействия). Взаимодействие описывается динамическим уравнением с полным гамильтонианом^ системы «снаряд + мишень». Состояние |⟩ не является стационарным^ и может испытывать переходы как в снаряде, так и в мишесостоянием ни. Различные возможные конечные состояния соответствуют различнымканалам процесса. Развитие во времени управляется оператором эволю^ (, 0 ), который преобразует волновую функцию, заданную в моментции времени 0 , в волновую функцию в момент времени .В нашем случае состояние |; −∞⟩ порождает^ (, −∞)|; −∞⟩.|; ⟩ = (1.15)1.3. Матрица рассеяния23Покидая область взаимодействия, состояние (1.15) несет продукты процесса рассеяния (конечные свободные частицы), которые регистрируютсядетекторами в отдаленном будущем, → ∞.
Соответствующий операторполной эволюции называется матрицей рассеяния, или просто -матрицей^ (+∞, −∞).^ = (1.16)Аналогичная конструкция обсуждалась для одномерного движения в задаче 9.4, т. 1. Возможные конечные состояния | ⟩ опять регулируются^ 0 и могут быть представлены в виде суперпозиции стацигамильтонианом ^ 0 с энергией . Амплитуда вероятности нахожденияонарных состояний некоторого конечного собственного состояния | ⟩ в суперпозиции, появившейся после взаимодействия, есть, в соответствии с квантовыми правилами,проекция эволюционирующего состояния |; +∞⟩ на состояние | ⟩^ −∞⟩ ≡ ⟨ ||⟩^ ≡ .⟨ |; +∞⟩ = ⟨ ||;(1.17)Поэтому матричные элементы -матрицы на самом деле есть амплитудынаблюдаемых процессов, так что вероятность перехода → равна = | |2 .(1.18)Поскольку динамика (1.15) соответствует невозмущенной квантовой эво^ (, 0 ) для любых и 0 является унитарным. В частнолюции, оператор сти, -матрица также является унитарной^^† = ^† ^ = 1.(1.19)Унитарность необходима для того, чтобы гарантировать учёт всех физических каналов процесса.
Вставляя произвольный полный набор промежуточных состояний |⟩ в матричный элемент ⟨ | . . . |⟩ уравнения (1.19),получаем∑︁∑︁*( † ) = = ,(1.20)или для = ∑︁| |2 =∑︁ = 1,(1.21)что явно выражает сохранение вероятности.Будучи определяемой лежащей в основе динамикой, -матрица в некотором смысле величина более фундаментального характера, чем гамиль-24Глава 1. Основы квантовой теории рассеяниятониан. -матрица связывает наблюдаемые состояния и имеет смысл и втеориях, которые не используют гамильтонов формализм.
Единственнымнеобходимым условием является возможность определения асимптотических состояний невзаимодействующих частиц.1.4. Вероятность перехода в единицу времени-матрица знает все законы сохранения. Её матричные элементы какамплитуды реальных физических процессов исчезают, если состояние | ⟩имеет значение интеграла движения, которое отличается от значения такогоже интеграла в состоянии |⟩. Другими словами, -матрица диагональна вквантовых числах коммутирующих сохраняющихся операторов. Здесь мы^ 0 , и полный ^ имеют общие законы сохранения.предполагаем, что и С учетом сохранения энергии, отделяя возможный процесс вообще безрассеяния, запишем -матрицу через матрицу перехода ^, взятую наэнергетической поверхности = − 2( − ) .(1.22)Во втором члене введена -функция, которая учитывает сохранение энергиив непрерывном спектре, описывающем асимптотические состояния. Теперьмы должны понять правильный способ вычисления её квадрата, которыйпоявляется в вероятности переходов (1.18) = |2 ( − )|2 , ̸= .(1.23)Этот вопрос уже рассматривался в теории возмущений в разд.
II.11.1.Точное сохранение энергии соответствует бесконечной длительностипроцесса. Резкая -функция возникает после предельного перехода∫︁2~ ( − ) = lim+/2→∞ −/2′′ (/~)( − ) .(1.24)Если выразить одну -функцию в (1.23) как интеграл (1.24), наличие второй -функции позволяет положить = во всех членах, включаяинтеграл, который сводится тогда к длительности процесса . Таким образом, процессы с достаточно точным сохранением энергии при → ∞(легко оценить, что почти все реальные эксперименты удовлетворяют этомуусловию) имеют полную вероятность (1.23), пропорциональную времени.1.5. Борновское приближение25Тогда мы получаем вероятность перехода в единицу времени˙ = lim→∞ 2=| |2 ( − ).~(1.25)Можно показать, что стационарное и зависящее от времени описания втеории рассеянии эквивалентны [2].
Существуют математические тонкости,связанные с необходимостью рассматривать волновые пакеты вместо идеализированных плоских волн. Мы не будем обсуждать здесь такие вопросы,почти всегда можно использовать плоские волны в качестве полного базисадля разложения реальных волновых пакетов непрерывного спектра.Основное уравнение (1.25) называется золотым правилом в связи с егоособой важностью, хотя первоначальное золотое правило Ферми (разд.II.11.1) было написано в подобной форме только для случая, когда матрицаперехода определяется в теории возмущений.
Покажем теперь, какэтот пертурбативный подход следует из общей формулировки.1.5. Борновское приближениеСогласно идеологии предыдущего раздела, мы разделяем полный гамильтониан на части, соответствующие свободному движению невзаи^ 0 , и взаимодействие ^ ′:модействующих частиц ^ =^0 + ^ ′.(1.26)Обе части предполагаются не зависящими от времени, хотя мы можемрассматривать рассеяние как процесс, происходящий во времени.
Невоз^ 0 формирует асимптотические стационарныемущённый гамильтониан состояния |, ⟩ с определёнными энергиями , конечно с экспериментальными неопределённостями . В пределе малой неопределённостивременна́я эволюция тривиальна,|; ⟩ = −(/~) |⟩,(1.27)^ ′ несетгде вектор состояния |⟩ не зависит от времени. Взаимодействие ответственность за переходы между невозмущенными состояниями (1.27).Если вероятности переходов малы и всё рассеяние можно считать слабымвозмущением, мы можем сделать соответствующие упрощения, используяразложение в ряд Тейлора по отношению к эффектам взаимодействия.26Глава 1.
Основы квантовой теории рассеянияПолное уравнение Шрёдингера со взаимодействием есть~^0 + ^ ′ )|Ψ()⟩.|Ψ()⟩ = ((1.28)Будем решать это уравнение переходом к представлению взаимодействия,выделяя явную временну́ю зависимость (1.27), порождённую невозмущенным гамильтонианом; оставшаяся часть в присутствии возмущения все ещезависит от времени:^|Ψ()⟩ = −(/~)0 |Φ()⟩.(1.29)В отсутствие возмущения |Φ⟩ была бы не зависящей от времени волновойфункцией свободного движения, аналогично |⟩ в уравнении (1.27).
Вбесконечном прошлом мы стартуем с начального состояния |⟩ свободногодвижения, так что граничное условие к уравнению (1.29) есть → −∞ :|Φ()⟩ → |Φ(−∞)⟩ = |⟩.(1.30)|Φ()⟩ называется волновой функцией в представлении взаимодействия.Подставляя (1.29) в (1.28), мы видим, что вся временна́я зависимость в^ ′,|Φ()⟩ обязана взаимодействию ~′^ int|Φ()⟩ = ()|Φ()⟩,(1.31)^ ′ преобразован в представление взаимодействия согласгде гамильтониан но общим правилам преобразования операторов при унитарном преобразовании состояний (1.29),^ ′ () = (/~)^ 0 ^ ′ −(/~)^ 0 .int(1.32)Теперь возмущение явно зависит от времени.^ (, 0 ),Новое уравнение (1.31) позволяет определить оператор эволюции где в нашем случае 0 → −∞.
Имея в виду начальное условие (1.30), ищемрешение уравнения (1.31) в виде^ (, −∞)|⟩.|Φ()⟩ = (1.33)Как следует из (1.30) и (1.31), оператор эволюции должен удовлетворятьоператорному уравнению движения~ ^^ ′ () ^ (, 0 ) (, 0 ) = int(1.34)1.5. Борновское приближение27вместе с очевидным начальным условием, справедливым для любого 0 ,^ (0 , 0 ) = 1.(1.35)Уравнения (1.34) и (1.35) можно скомбинировать в интегральное уравнение^ (, −∞) = 1 − ~∫︁^ int (′ )^ (′ , −∞).′ (1.36)−∞Уравнение (1.36) эквивалентно первоначальному уравнению Шрёдингера(1.28) плюс начальное условие.
Но его удобнее использовать для решенияитерациями, которые соответствуют упоминавшемуся выше тейлоровскомуразложению. Здесь мы рассмотрим низший порядок, так называемое первоеборновское приближение.Предполагая, что эффекты взаимодействия являются в некотором смысле слабыми (позднее мы уточним это утверждение), мы можем заменить^ в подынтегральном выражении на его невозмущённое значениеоператор 1. Переходя затем к пределу → +∞, мы получаем явное выражение для-матрицы (1.16) в первом порядке∫︁ +∞ ′ ^^ ≈1− int (′ ).(1.37)~ −∞^ -матрицы (1.37) между невозмущённымиБеря матричный элемент ⟨ ||⟩^0 ссостояниями, ̸= , которые являются собственными состояниями собственными значениями соответственно и и используя выражение^ ′ (), получаем(1.32) для int = − ′ ~∫︁+∞−∞(/~)( − ) = −2′ ( − ).(1.38)Сохранение энергии возникает, как и в (1.24), в результате предельногоперехода к бесконечной длительности процесса.
Сравнение с точным выражением (1.22) показывает, что амплитуда перехода в первом борновскомприближении даётся просто недиагональным матричным элементом гамильтониана взаимодействия ′ . Наконец, золотое правило (1.25) даётвероятность перехода в единицу времени в борновском приближении,˙ =2|′ |2 ( − ),~(1.39)28Глава 1. Основы квантовой теории рассеяниякоторое совпадает с золотым правилом (II.11.6).
С правильной плотностью конечных состояний (разд. II.11.3) мы получаем дифференциальноесечение, совпадающее с (II.12.6).В первом борновском приближении возмущение действует только одинраз (однократный процесс). Амплитуда (1.37) интегрируется по всем возможным временам взаимодействия, и вероятность (1.18) полностью учитывает интерференцию взаимодействий, которые происходят в разныемоменты времени.
Следующие итерации уравнения (1.36) отвечают вкладам многократного рассеяния. Можно найти формальное точное решениеполного интегрального уравнения (1.36), но в большинстве случаев оно бесполезно. Простые задачи рассеяния одной частицы на внешнем потенциалемогут быть решены численно, в то время как многочастичные задачи вбольшинстве случаев требуют дополнительных физических приближений.Часто уже борновское приближение даёт разумную качественную и дажеколичественную картину.1.6. Уравнение непрерывностиЭлементы -матрицы и сечение могут быть рассчитаны в важном случае потенциального рассеяния, описываемого уравнением Шрёдингера сфиксированной энергией = {︁}︁2∇2 + 2 − 2 (r) (r) = 0,~2 =2.~2(1.40)Здесь мишень моделируется фиксированным потенциалом (r) без внутренних степеней свободы.
Такой подход позволяет разработать точныеметоды и найти соответствующие приближения для конкретных ситуаций.Фактически некоторые результаты будут иметь гораздо более широкуюобласть применимости к более сложным случаям, в том числе к неупругимпроцессам.На этой стадии мы будем интересоваться только упругим каналом, детектируя рассеянную начальную частицу. Потенциал предполагается имеющимконечный радиус действия , будучи в остальном достаточно произвольным(необязательно изотропным).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
