1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Длина рассеянияМы знаем, что термин «низкие энергии» в задаче рассеяния обычнозначит, что длина волны 1/ = ~/ относительного движения велика посравнению с радиусом действия сил 0 :0 < 1.(2.58)Например, в нейтрон-протонном рассеянии это условие выполняетсявплоть до энергий относительного движения до ∼ 5 (∼10 МэВ в системепокоя протона). В области низких энергий только -волновое рассеяниеℓ = 0 может иметь заметную фазу рассеяния 0 и давать вклад в сечение.Благодаря дополнительному факту, что ядерные силы гораздо слабее впространственно нечётных состояниях, -волновое рассеяние подавлено,так что в действительности сечение − -рассеяния почти изотропно до ≈ 10 − 15 МэВ.2.7.
Длина рассеяния63Рассмотрим более детально -волновое рассеяние в короткодействующемпотенциале. Результаты оказываются универсальными в том смысле, чтоони могут быть описаны малым числом физических параметров, которыенечувствительны к деталям формы потенциала.Упругое сечение рассеяния для -волны (в этом разделе мы обсуждаемтолько -рассеяние и индекс ℓ = 0 будем опускать) может быть простовыражено через амплитуду рассеяния = sin , = 4| |2 =4sin2 .2(2.59)Наш парциально-волновой анализ был развит для центрального потенциала (). Для любой конкретной формы короткодействующего потенциаламы можем найти радиус такой, что при > потенциал исчезающемал и может быть опущен.
Вне потенциала решение () = ()/ задачирассеяния имеет универсальную форму для ℓ = 0() =sin( + ), > ,(2.60)где фаза рассеяния зависит от энергии или от . Условие сшивки внешнейфункции (2.60) с внутренней функцией из области потенциала можетбыть сформулировано, как и в проблеме связанных состояний, с помощьюлогарифмической производной внутренней волновой функции,(︂ ′ )︂≡ = cot( + ).(2.61) =−0Таким образом, фаза рассеяния определяется через единственный параметр . Для прямоугольной ямы или барьера точное решение изучалосьсоответственно в задачах 2.2 и 2.3.
Сразу же виден один частный случай:для очень сильного отталкивающего потенциала волновая функция близкак нулю на границе, в то время как её производная конечна, так что → ∞и фаза рассеяния есть = − ,(2.62)что подтверждает физический смысл фазы рассеяния: волна не проникаетвнутрь и соответственно набирает меньшую фазу.В общем случае фаза рассеяния при малых пропорциональна .
Этоимело место в вышеупомянутых задачах. Коэффициент пропорционально-64Глава 2. Метод парциальных волнРис. 2.5. Потенциал для задачи 2.6сти, взятый с обратным знаком, называется длиной рассеяния (2.29)lim→0()= − .(2.63)Согласно уравнению (2.59), связывающему фазу и амплитуду рассеяния , длина рассеяния — это предельное значение амплитуды при низкихэнергиях sin lim = lim= − .(2.64)→0→0Величина сечения (2.59) в этом пределе равнаlim = 42 .(2.65)→0Задача 2.6Вычислить длину рассеяния для потенциала (рис. 2.5) с твёрдой отталкивающей сердцевиной при = 0 и притягивающей ямой глубиной 0между = 0 и = 1 (грубая картина молекулярного потенциала типаВан-дер-Ваальса.)Решение.Решая уравнение Шрёдингера, мы находимtan[0 (1 − 0 )] = 1 −,0√︂0 =0.~2(2.66)2.8.
Резонансное рассеяние при низких энергиях65Без твёрдой сердцевины 0 = 0 результат совпадает с (2.39). Длина рассеяния опять имеет резонансы для притягивающей ямы при 0 (1 − 0 ) =( − 1/2) для целых > 1.Для непроницаемой стенки длина рассеяния совпадает с радиусом стенки. Однако в общем случае значение длины рассеяния может значительноотличаться от радиуса потенциала . Длина рассеяния может быть непосредственно определена по поведению внешней волновой функции (2.60),которую в пределе → 0 можно записать около границы как линейнуюфункцию() ≈ − .(2.67)Поэтому длина рассеяния задается величиной радиальной координаты вточке, где линейная экстраполяция волновой функции (2.67) обращается вноль.Для мелких ям, не имеющих связанных состояний, рис. 2.6, a, внутренняя волновая функция возрастает на границе, > 0, и экстраполяция(2.67) приводит к < 0.
Углубляя яму больше и больше, мы увеличиваем внутренний волновой вектор и сдвигаем точку пересечения влево.В конце концов абсолютное значение длины рассеяния превышает радиуссил . При критической глубине, соответствующей появлению связанного состояния, длина рассеяния идет в −∞, рис. 2.6, b, так называемыйунитарный предел. Если яма имеет связанное состояние, предельное поведение фазового сдвига при нулевой энергии должно быть определенокак lim→0 = − .
Если яма становится еще более глубокой, связанноесостояние опускается вниз по энергии. Тогда внутренняя волновая функцияимеет отрицательную производную на границе, < 0, а длина рассеяниявозвращается к действительной оси от +∞, рис. 2.6, c. С углублениемпотенциальной ямы мы наблюдаем периодически появление новых связанных состояний, и фазовый сдвиг каждый раз проходит через . Так какпри очень высокой энергии (формально при → ∞) движение становитсясвободным, разница между ( → 0) и ( → ∞) равна , где равночислу связанных состояний в яме (теорема Левинсона).2.8. Резонансное рассеяние при низких энергияхБольшое отрицательное значение длины рассеяния показывает, что потенциальная яма почти готова приобрести связанное -волновое состояние.В таком случае говорят, что есть виртуальный уровень, сравните с задачей 2.2. Для характеристики энергетической зависимости амплитуды66Глава 2.
Метод парциальных волнРис. 2.6. Радиальные волновые функции для отрицательной (a), почти бесконечной (b) и положительной (c) длины рассеяниярассеяния и сечения за рамками предела → 0, особенно в случае слабосвязанного или виртуального состояния, мы включим следующий членнизкоэнергетического разложения (Л.Ландау, Я.
Смородинский, 1944 ).Для упругого рассеяния в центральном поле отсутствие поглощенияпозволяет преобразовать выражение (1.61) для парциальных амплитуд ℓ(собственные значения ^) в уравнениеImℓ = |ℓ |2 ,or Im(︁ 1 )︁ℓ= −.(2.68)Поэтому общее выражение для амплитуды ℓ , совместимое с условиемунитарности, имеет вид 1/ℓ = ℓ − илиℓ =1,ℓ − (2.69)2.8. Резонансное рассеяние при низких энергиях67где ℓ (для действительной энергии) является действительной функцией с размерностью обратной длины. Простая алгебра с использованиемсоотношения ℓ = exp(ℓ ) sin ℓ / определяет функцию ℓ () какℓ = cot ℓ .(2.70)Будучи действительной при действительной энергии, ℓ может рассматриваться как функция , т.
е. 2 . При низких энергиях, как мы видели в(2.57), ℓ ∝ 2ℓ+1 . Поэтому ℓ ∝ 2ℓ и разложение ℓ начинается с члена∼ 1/ 2ℓ . Для -волнового рассеяния функция 0 () начинается с константы,0 → в пределе низких энергий. Сравнивая (2.69) с определением длинырассеяния, мы можем идентифицировать10 (0) = = − .(2.71)В этом приближении мы можем учесть следующий член в знаменателе(2.69), который мнимый и линеен по , и получить0 = −11≡−.(1/) + + (2.72)Это даёт сечение за предельным значением (2.65),=442=, 2 + 21 + 2 2(2.73)а также его зависимость от энергии (сравните с (2.36)).В нашем кратком обсуждении аналитичности, разд.
2.4, мы отмечали, что аналитическое продолжение -матрицы в комплексную плоскостьэнергий имеет полюса в точках, соответствующих энергиям связанныхсостояний. Полюс (2.69) на верхней мнимой оси соответствует → , где эквивалентна энергии связи = ~2 2 /2. Если есть решение уравнения = −0 () для малых , < 1, мы имеем слабо связанное состояние, и(2.71) показывает, что ≈ 1/ = −. В этой ситуации сечение (2.73) приположительной энергии = ~2 2 /2 однозначно определяется малойэнергией связи слабо связанного состояния (E.Вигнер, 1933 ):() =2~2 1. +(2.74)68Глава 2. Метод парциальных волнЭто так называемое резонансное рассеяние.
Сечение было бы бесконечным,если бы было возможным создать падающий пучок с отрицательнойэнергией = −. Поскольку энергия связи мала, то пучок с малой энергиейнаходится почти «в резонансе». Но фаза рассеяния 0 здесь близка к , вотличие от истинного резонанса, где ≈ /2, как уже отмечалось в связис задачей 2.2.Выражение (2.73) фактически носит более общий характер, будучи справедливым, даже если нет связанных уровней. В этом случае 2 ≡ 2||/~2определяет энергию || виртуального уровня, который стал бы реальнымсвязанным состоянием, если бы яма была немного глубже. С заменой → || резонансная формула (2.74) приложима к обоим случаям.