1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Присутствие неупругих процессов, которыевыводят частицу из упругого канала, иногда может быть учтено феноменологически введением комплексного эффективного потенциала (r).1.7. Упругое рассеяние29Уравнение Шрёдингера с действительным потенциалом позволяет определить сохраняющийся ток, см. (I.7.55),j(r, ) =]︁~ [︁ * (∇) − (∇ * ) .2(1.41)Ток удовлетворяет уравнению непрерывности, см. (I.2.11), которое длястационарного состояния с определённой энергией превращается вdiv j = 0.(1.42)Эффективный комплексный потенциал нарушает эрмитовость гамильтониана, сохранение вероятности и инвариантность относительно отражениявремени. Даже в стационарном состоянии (постоянный падающий поток)частицы «исчезают», уходя в неупругие каналы.
Повторяя стандартныевычисления, мы находимdiv j(r) =2|(r)|2 Im (r).~(1.43)Мнимая часть потенциала, Im , которую мы также предполагаем короткодействующей, должна быть отрицательной, чтобы описывать исчезновениечастиц; противоположный знак отвечает рождению частиц.∮︀ через бесконечно удаВ отсутствие неупругих процессов поток j · лённую замкнутую поверхность равен нулю.
В присутствии неупругихпроцессов это уже не так, поток становится отрицательным. Его отношение к плотности падающего потока даёт сечение поглощения (полноенеупругое сечение или сечение реакции)∮︁∫︁11inel = −j · = −3 div j.(1.44) Полное сечение есть сумма упругой и неупругой частиtot = el + inel .(1.45)Обсудим теперь в деталях определение упругого сечения.1.7. Упругое рассеяниеУдалённый источник формирует начальный поток частиц, движущихсявдоль оси k с энергией . Поток описывается плоской волной (r) = (k·r) ,(1.46)30Глава 1. Основы квантовой теории рассеяниягде мы пользуемся нормировкой на единичную плотность.
Нормировка спомощью большого объёма, которая может быть удобной в борновскомприближении, записывается как1 (r) = √ (k·r) .(1.47)Детектор, расположенный далеко, на расстоянии ≫ , где естьхарактерный размер области взаимодействия, регистрирует упруго рассеянные частицы в телесном угле в направлении r = n(, ). Послевзаимодействия частицы движутся свободно, и в упругом рассеянии ониимеют волновой вектор k′ той же величины, что и k, но направленныйвдоль r:r(1.48)k′ = n = .Неупругие каналы в этом случае не регистрируются, но учитываютсяглобально в терминах поглощения (1.44).В асимптотической области больших волновая функция, искажённаярассеивателем, всё ещё является суперпозицией решений уравнения Шрёдингера для свободного движения.
Она может отличаться от начальнойволны только на расходящуюся сферическую волну ∼ exp()/, где знаменатель возникает из-за распределения тока по большой поверхности,как это обсуждалось в гл. II.2. Амплитуда расходящейся волны можетзависеть от угла рассеяния между векторами k′ и k. Таким образом,асимптотический вид волновой функции может быть записан как(r) ≈ (k·r) + (k′ , k),(1.49)где (k′ , k) есть амплитуда рассеяния, имеющая размерность длины. Граничное условие (1.49) иногда называют условием излучения Зоммерфельда.Для начальной волны с нормировкой (1.46) ток, обсуждавшийся в разд.I.7.6, равен j = ~k/ = v, как это и должно быть для j = v с единичнойплотностью . Уходящий поток определяется рассеянной волной в (1.49).Радиальная компонента тока (1.41) равнаscatt =[︁ − (︁ )︁]︁~Im *= 2 | |2 ; (1.50)угловые компоненты тока убывают быстрее, чем ∼ 1/2 . В данный моментмы не интересуемся интерференцией между падающей и рассеянной волна-1.8.
Унитарность и оптическая теорема31ми. Интерференцию возможно наблюдать только при положении детекторапочти точно в направлении k, внутри исчезающе малого угла ≃ /,где есть ширина коллиматора, формирующего пучок; — это дифракционный угол волны, дифрагировавшей на границах коллиматора. Для > можно пренебречь интерференционной частью асимптотическоготока. Интерференция в области взаимодействия, < , полностью учтенав амплитуде рассеяния .Выражение для сечения немедленно следует из тех же аргументов, чтои при выводе (II.12.5). Детектор с площадью = 2 на расстоянии будет регистрировать = scatt = scatt 2 = | |2 (1.51)частиц в секунду. Отношение скорости счёта к плотности падающего потокаопределяет дифференциальное сечение рассеяния== | |2 .
(1.52)Этот результат не зависит от нормировки волновой функции.1.8. Унитарность и оптическая теоремаУнитарность -матрицы (1.19), непосредственно связанная с сохранениемтока, налагает важные ограничения на амплитуду рассеяния. Рассмотримболее внимательно асимптотику волновой функции (1.49).Плоская волна в асимптотике выглядит как суперпозиция (II.2.109) уходящей волны в направлении k и падающей волны в направлении −k,(k·r) ≈]︁2 [︁ (nk − n) − − (nk + n) .(1.53)Вычислим опять ток вероятности (1.41), но теперь с учётом интерференционной части.
Последняя была несущественна для вычисления сечения, заисключением исчезающе малых углов, но в сохранении вероятностей онаиграет важную роль. Как и раньше, на больших расстояниях мы должныдифференцировать только экспоненты. Прямое вычисление с волновойфункцией (1.49) даёт{︁)︁}︁| |2 nk + n (︁ −(k·r)+j = nk + n 2 ++ * (k·r)− .2(1.54)32Глава 1. Основы квантовой теории рассеянияВ уравнениях (1.53) и (1.54), как и ранее, nk и n — это единичные векторавдоль k и r (или k′ соответственно, см. уравнение (1.48)).В (1.54) мы имеем падающий и рассеянный потоки и их интерференцию.Подставляя в интерференционный член асимптотики (1.53) плоских волни замечая, что из-за вектора nk + n члены с (nk + n) не дают вклада(напоминаем, что () = 0), мы приходим к току следующего вида:{︁}︁| |24j = nk + n 2 − n 2 (n − nk ) Im (0) .(1.55)Как уже упоминалось, интерференция возможна только в направлениивперёд, n = nk ; соответствующая упругая амплитуда есть (0) ≡ (k, k).Окружим область взаимодействия большой сферой ( → ∞) и вычислимполный поток через эту сферу.
Начальная волна проходит сквозь сферубез изменений, так что полный поток от неё равен нулю. Рассеянный потоки интерференционный член дают∮︁∫︁| |24⃗ · j = 2 2 − Im (0).(1.56)Интеграл в правой части уравнения (1.56) есть упругое сечение, проинтегрированное по всем углам:∫︁∫︁el = = | |2 .(1.57)Интеграл по бесконечно большой сфере в левой части (1.56) может бытьотличен от нуля только при наличии неупругих процессов, когда ток «утекает» из упругого канала, демонстрируя кажущееся нарушение уравнениянепрерывности.
Этот интеграл определяет сечение поглощения (1.44).Возвращаясь к уравнению (1.56), мы получаем (сравните уравнения(II.15.45,II.15.93) для рассеяния света) оптическую теорему, которая связывает мнимую часть упругой амплитуды рассеяния вперёд с полнымсечением всех процессов, упругих и неупругих:tot = el + inel =4Im (0).(1.58)Фактически эта теорема говорит только о сохранении полного числа частиц.Исчезновение частиц из начального пучка возникает из-за интерференциипадающего потока с потоком, рассеянным в направлении вперёд. Этичастицы вновь появляются в упругом и неупругих каналах.1.8. Унитарность и оптическая теорема33Задача 1.2Показать, что для чисто упругого рассеяния (нет поглощения) оптическая теорема (1.58) есть частный случай с tot = el упругого условияунитарности:∫︁]︁1 [︁′*′n′′ * (k′′ , k′ ) (k′′ , k),(1.59) (k , k) − (k, k ) =24где интегрирование идёт по углам вектора k′′ = n′′ , имеющего ту жевеличину, что и k и k′ .Решение.Вывод делается непосредственно из уравнения Шрёдингера: запишитеуравнение Шрёдингера для волновых функций k и k* ′ с волновыми векторами k и k′ равной длины; умножьте уравнения на k* ′ и k соответственно,вычтите одно из другого и проинтегрируйте по большому объёму, используя асимптотики (1.49) и разложение плоской волны (1.53).
При k = k′уравнение (1.59) даёт снова оптическую теорему (1.58) с inel = 0.Рассмотрим (k′ , k) как матричный элемент ⟨k′ |^|k⟩ оператора ^, определённого на энергетической поверхности |k′ | = |k| = , который преобразуетначальную падающую волну в упруго рассеянную согласно правилу∫︁n′ ′ ^^⟨k | |k⟩k′ .(1.60) k =4Тогда условие упругой унитарности (1.59) можно записать в операторномвиде^ − ^† = 2 ^† ^.(1.61)По физическому смыслу, амплитуда рассеяния на энергетической поверхности эквивалентна общему оператору рассеяния в уравнении (1.22). Ихнормировка немного различна, ↔ −2 .
Вводя -матрицу как операторна энергетической поверхности,^ = 1 + 2 ^,(1.62)мы видим, что уравнение (1.61) эквивалентно условию унитарности (1.19).34Глава 1. Основы квантовой теории рассеяния1.9. Функция ГринаПо-видимому, наиболее общим подходом в теории рассеяния являетсяметод функций Грина. Будучи в принципе точным, он позволяет делатьмножество приближений в зависимости от конкретных физических ситуаций. Кроме того, он непосредственно обобщается на непотенциальныезадачи.Нам нужно решить уравнение Шрёдингера с граничным условием излучения (1.49) в асимптотической области.
Будем искать решение в виде(r) = (k·r) + ′ (r),(1.63)где рассеянная волна ′ (r) ведёт себя на асимптотически больших расстояниях как exp()/. Плоская волна удовлетворяет уравнению(∇2 + 2 ) (k·r) = 0,(1.64)так что второй член в (1.63) должен быть решением неоднородного уравнения2(∇2 + 2 ) ′ (r) = 2 (r)(r)(1.65)~с полной функцией , уравнение (1.63), в правой части.Функция Грина (r, r′ ) определяется как решение свободного волновогоуравнения (по отношению к координате r), индуцированное единичнымисточником, расположенным в точке r′ ,(∇2 + 2 )(r, r′ ) = −4(r − r′ ).(1.66)Это уравнение не определяет однозначно функцию Грина. Действительно, всегда можно получить другое решение (1.66), прибавляя решениеоднородного уравнения (1.64) с произвольным коэффициентом. ФункцияГрина должна быть доопределена граничным условием. В нашей задачемы потребуем, чтобы в асимптотике была расходящаяся волна(r, r′ ) ∝, ≫ ′ .(1.67)Тогда принцип суперпозиции даёт формальное решение уравнения Шрёдингера (1.65) в виде∫︁3 ′ (r, r′ ) (r′ )(r′ ).(1.68) ′ (r) = −2~21.9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
