1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Функция Грина35Рис. 1.3. Геометрический смысл разложения (1.71)Конечно, это всё ещё интегральное уравнение, уравнение Липпмана—Швингера.Под интегралом еще стоит неизвестная функция . Уравнение (1.68) удобнотем, что оно объединяет первоначальное уравнение Шрёдингера с граничным условием для ′ , которое выполняется благодаря тому, что функцияГрина в (1.68) удовлетворяет уравнению (1.67).Вспоминая решение уравнения Пуассона для точечного заряда,∇21= −4(r),(1.69)легко видеть, что решение уравнения (1.66) с желаемой асимптотикой (1.67)есть′|r−r |′.(1.70)(r, r ) =|r − r′ |Оператор ∇2 + 2 , действующий на (1.70), даёт ноль везде за исключениемсингулярной точки r = r′ , где он даёт -функцию, как в (1.69).
Граничноеусловие (1.67) также выполняется.При ≫ ′ мы имеем (рис. 1.3)|r − r′ | =√︀2 − 2(r′ · n) + ′2 ≈ − (r′ · n),rn= .(1.71)Поэтому показатель экспоненты в (1.70) приближённо равен − (n · r′ ) =−(k′ ·r′ ) с обычным определением (1.48) вектора k′ . Для асимптотическогоповедения мы получаем′′(r, r′ ) ≈ −(k ·r ),(1.72)что мы и хотели: расходящуюся сферическую волну (1.67), умноженную наамплитуду, которая зависит только от ориентации рассеянного волновоговектора k′ по отношению к вектору r′ — некоторой точки в области взаимо-36Глава 1. Основы квантовой теории рассеяниядействия; эта область в подынтегральном выражении (1.68) определяетсяпотенциалом (r′ ).Таким образом, мы пришли к интегральному уравнению, которое следуетиз (1.63,1.68) и (1.70),(r) = (k·r)−2~2∫︁′|r−r | (r′ )(r′ ).|r − r′ |3 ′(1.73)Так же, как в обсуждении формфакторов в разд.
II.12.3, это уравнение выражает принцип суперпозиции. Волновая функция в точке r формируетсяпервичной плоской волной, приходящей сюда без всякого взаимодействия,и вторичными сферическими волнами, излучёнными из точек r′ , где существует ненулевой потенциал. Вклад каждой внутренней точки r′ пропорционален потенциалу (r′ ) и полной амплитуде (r′ ) волновой функциив этой точке. Это уравнение самосогласованно, в отличие от борновскогоприближения.Беря в уравнении (1.73) точку r далеко от области взаимодействия, ≫ , и используя (1.72), мы получаем точное выражение для амплитудырассеяния как коэффициент (1.49) перед расходящейся сферической волной /,∫︁′ ′′3 ′ −(k ·r ) (r′ )(r′ ),(1.74) (k , k) = −22~где зависимость от k скрыта в функции в подынтегральном выражении.Задача 1.3a) Для потенциала, который падает на больших расстояниях как () ∝− , найти, какие значения допускают асимптотическое решение ввиде (1.74).b) Для потенциала, который становится пренебрежимо малым на расстояниях ∼ , найти, на каких расстояниях становится справедливымасимптотическое представление (1.49).Решение.a) Выражение для амплитуды рассеяния получено в предположении, чтоасимптотическую волновую функцию можно разложить на падающую ирассеянную волны.
Уравнение (1.74) должно обеспечивать сходящийсярезультат для обоих членов разложения (1.49) функции k . Первыйчлен даёт борновское приближение, которое содержит интеграл∫︁∫︁14 ∞ sin()3 (q·r) = −1 .(1.75)1.10. Борновский ряд37Интеграл сходится при > 1, в противном случае потенциал падаетслишком медленно и нет области, где падающая волна не была бы искажена; в частности, кулоновский случай не допускает строгого разложения волновой функции, хотя формально вычисленное резерфордовскоесечение правильно (но фаза амплитуды рассеяния потеряна).b) С правильным выбором функции Грина (1.72) интегральное уравнениедля рассеянной волновой функции принимает вид (1.73). В асимптотической области ≫ , где — радиус действия потенциала, всегда можнопренебречь ′ в знаменателе.
Но в числителе функции Грина важнопонимать, какую ошибку вносит такое приближение в фазу экспоненты.Аккуратное разложение, включая члены второго порядка, даёт[︂]︂√︀(r · r′ )1(r · r′ )2′′22′′2|r − r | = − 2(r · r ) + ≈ −+ −. (1.76)22Чтобы можно было пренебречь членами второго порядка в показателеэкспоненты, недостаточно иметь ≫ ; нужно, чтобы 2 / ≪ 1. Вслучае быстрых частиц ≫ 1, мы должны уходить на расстояния ≫ 2 ∼ () ≫ . Только на таких больших расстояниях функцияприобретает асимптотический вид. Оптические аналоги этого хорошоизвестны [3, §61].1.10. Борновский рядПростейшей попыткой решения интегрального уравнения (1.73) являетсярешение итерациями.
Подставим полное выражение (1.73) в последнийчлен. Это даёт∫︁′(k·r)(r) = −3 ′ (r, r′ ) (r′ )(k·r )(1.77)22~∫︁(︁ )︁2+−3 ′ 3 ′′ (r, r′ ) (r′ )(r′ , r′′ ) (r′′ )(r′′ ).2~2Эта процедура может быть продолжена, давая бесконечный борновскийряд (в теории интегральных уравнений он называется рядом Неймана).Мы начинаем с плоской волны (нет рассеяния). Следующий член содержит эффект однократного рассеяния падающей волны в точке r′ и последующего свободного распространения до точки наблюдения r.
Интегралпо всем точкам взаимодействия r′ учитывает квантовую интерференциювсех возможных амплитуд. Свободное движение r′ → r от «источника» в38Глава 1. Основы квантовой теории рассеянияРис. 1.4. Борновский ряд в диаграммахРис. 1.5. Интегральное уравнение для волновой функции рассеянияточке r′ описывается функцией Грина (r, r′ ), которая по этой причиненазывается пропагатором свободных частиц.
Третий член борновскогоряда описывает двукратное рассеяние с распространением между рассеяниями и после них, и т.д. Структура всего ряда регулярна и соответствуеткартине многократного рассеяния. Будучи просто аналитическим выражением принципа суперпозиции, этот ряд близко связан с формулировкойФейнмана квантовой механики как функционального интеграла по всемвозможным путям, см.
разд. I.7.11.Борновский ряд может быть изображён диаграммами (рис. 1.4), которыепозволяют немедленно написать аналитическое выражение для члена произвольно высокого порядка. Поскольку графическое выражение справа отпервой функции Грина и первой вершины взаимодействия являетсятем же самым бесконечным рядом, мы можем записать символическое уравнение (рис. 1.5), которое есть не что иное, как первоначальное уравнение(1.73).Точное аналитическое решение интегрального уравнения (1.73) или суммирование всего ряда обычно невозможно.
Более того, даже численноерешение встречает серьёзные трудности, если потенциал не имеет симметрии и переменные не разделяются. Однако сама структура ряда открываетпути для различных приближённых методов.Простейшее приближение заключается в обрывании ряда на каком тошаге.
Это можно формально обосновать, если потенциал слабый, посколькукаждый следующий шаг даёт дополнительную степень . Первое борнов-1.10. Борновский ряд39ское приближение учитывает только однократные процессы:∫︁′(1)(k·r) (r) = −3 ′ (r, r′ ) (r′ )(k·r ) .22~(1.78)Из (1.78) и (1.72) мы находим амплитуду рассеяния в борновском приближении:∫︁′ ′′′3 ′ −(k ·r ) (r′ )(k·r ) ≡ −q ,(1.79) (k , k) = −22~2~2где мы ввели фурье-компоненту потенциала q для переданного импульсаq, уравнение (II.12.14).Дифференциальное сечение в этом приближении (︁ )︁2=|q |22~2(1.80)совпадает с тем, что было найдено в теории возмущений (упругий пределв уравнении (II.12.12)).
В этом порядке вся зависимость от энергии иугла рассеяния проявляется только через передаваемый импульс q. Дляизотропного потенциала () интегрирование по углам r′ в (1.79) (есливзять q за полярную ось) даёт∫︁2 ∞ sin() 2 () = − 2 ().(1.81)~ 0Задача 1.4Для произвольного центрального потенциала () показать, что еслиборновское приближение справедливо, произведение (), где () естьполное сечение рассеяния при энергии , является монотонно растущейфункцией .Решение.Из борновского приближения для сечения∫︁∫︁ = = 2sin | ()|2 ,0(1.82)преобразованного с помощью подстановки = 2, = 2 2 sin ,(1.83)40Глава 1. Основы квантовой теории рассеяниякак=2∫︁042| |2 =~22∫︁8/~2 | |2 ,(1.84)0следует, что () есть возрастающая функция энергии.1.11. Применимость борновского приближенияОбрывание борновского ряда может быть обосновано, если отброшенныечлены малы по сравнению с удержанными.
Каждый следующий члендаёт дополнительный интеграл от произведения потенциала и пропагатора.Условие малости -го члена по сравнению с − 1-м может быть записанокак⃒⃒⃒ ∫︁⃒|r−r′ |⃒3 ′′ (k·r′ ) ⃒ (r )(1.85)⃒⃒ ≪ |(k·r) | = 1.⃒ 2~2⃒|r − r′ |Наиболее опасной областью для нарушения условия (1.85) являетсяобласть малых . Предполагая гладкость потенциала и отсутствие существенных сингулярностей, получаем для = 0 и низких энергий ≪ 1⃒⃒∫︁′ ⃒¯|⃒ 2 ¯|3 ′ (r ) ⃒⃒(1.86)∼4| | ∼ ¯ ≪ 1,⃒ 2~2⃒′24~¯ .
Это значит, что средняягде мы ввели среднее значение потенциала ¯ должна быть мала по сравнению со среднейпотенциальная энергия ¯кинетической энергией ∼ ~2 /2 , обязанной локализации частицы вобласти взаимодействия, в силу соотношения неопределённостей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
