1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 9
Текст из файла (страница 9)
е. наиболее существенными являются вклады -волны и, возможно, несколькихдругих низших парциальных волн. В этом случае можно обрезать ряд попарциальным волнам на малых ℓ.Задача 2.2Найти сечение рассеяния частицы малой энергии на притягивающейпотенциальной яме глубиной 0 и радиусом (рис. 2.2).Решение.В случае низкой энергии длина волны велика по сравнению с размерами ямы: ≪ 1. Основной вклад в сечение даёт -волна. Уравнение2.5.
Рассеяние при низких энергиях: примеры55Шрёдингера для функции ∝ и для ℓ = 0 записывается как′′ + 2 = 0,2 =2,~2 > ;(2.22)2( + 0 ), < .(2.23)~2Решение, исчезающее в нуле и имеющее нужную асимптотику, очевидно:′′ + ′2 = 0, = sin ′ , ′2 = < ; = sin( + ), > .(2.24)Поскольку общая нормировка несущественна, мы имеем только один неизвестный коэффициент . Вместе с фазой рассеяния он должен бытьнайден из условия непрерывности волновой функции при = . Логарифмическая производная даёт(︂)︂−1′ = tantan( ) − .(2.25)′Парциальное сечение (2.14) равно0 =4sin2 .2(2.26)При очень низких энергиях → 0, ′2 → 02 =20.~2(2.27)Если 0 не слишком близко к /2, то при низких энергиях фаза рассеяниястремится к нулю линейно по ,]︂[︂tan(0 ) ≈ −1 .(2.28)0 При этом амплитуда рассеяния (2.12) и сечение (2.26) конечны.
Они традиционно выражаются через длину рассеяния = − lim .→0(2.29)56Глава 2. Метод парциальных волнВ нашем случае[︂]︂tan(0 ) = − lim = −−1 ,→0 0 (2.30)lim 0 = 42 .(2.31)→0В мелкой яме,0 ≪ 1,tan(0 ) ≈ 0 [1 + (0 )2 /3],(2.32)мы находим = −(0 )2,30 = 42(0 )416 2 02 6=,99~4(2.33)т. е. длина рассеяния много меньше радиуса ямы, а сечение рассеяниямного меньше геометрического сечения ямы. Этот результат можно такжеполучить, используя первое борновское приближение. Действительно, из(1.81) мы получаем при → 02 () = − 2~∫︁ 2 (−0 ) =023,0~23(2.34)что даёт то же самое сечение (2.33).
Большая длина волны перекрываетвсю область рассеяния и длина рассеяния определяется в этом пределеобъёмом ямы.Будем теперь углублять яму, сохраняя малым, но конечным. При0 = /2 мы приходим к резонансу. Величина1tan( ′ )≡′(2.35)мала по сравнению с .
Мы можем пренебречь членом − в (2.25) иполучить сечение вблизи резонанса: = tan−1,0 =24.+ 2(2.36)Для резонансной ямы при → 0 сечение растёт до бесконечности. Условиерезонанса указывает на появление связанного состояния в яме, см. разд.II.2.6. При малых положительных энергиях волновая функция внутри ямыслабо зависит от энергии и очень близка к волновой функции появившегося2.5. Рассеяние при низких энергиях: примеры57Рис. 2.3. Рассеяние на потенциальном барьересвязанного состояния. Увеличивая глубину ямы, мы увидим уменьшающееся сечение; резонансное условие (2.36) больше не выполняется, и мы можемснова вернуться к нерезонансной формуле, которая даёт ноль сечения (2.31)при tan(0 ) = 0 .
При каждом рождении нового связанного состоянияесть резонанс, так что сечение быстро колеблется между малым и большимзначением в зависимости от глубины. Формула Вигнера для резонансного сечения (2.36) действительна вблизи критической глубины, когда еенебольшое изменение приводит к появлению или исчезновению дискретного уровня. Состояние с ℓ = 0, которое не связано, но стало бы связаннымпри небольшом углублении ямы, называется виртуальным уровнем.Задача 2.3Вычислить низко-энергетическое сечение рассеяния частицы на отталкивающем потенциальном барьере (высота 0 , радиус ), рис. 2.3.Решение.Решение во внутренней области под барьером < 0 есть = sinh ′ , ′2 =2(0 − ).~2Фаза рассеяния даётся (сравните с (2.25))(︂)︂−1′ = tantanh( ) − .′(2.37)(2.38)58Глава 2.
Метод парциальных волнПоскольку tanh меняется от −1 до 1, то резонансов нет, и в пределенизких энергий мы находим длину рассеяния:[︂]︂tanh(0 )20 = −− 1 > 0, 02 =;(2.39)0 ~2отметим, что знак длины рассеяния положителен. Сечение описываетсявыражением(︂)︂2tanh(0 )0 = 42−1 .(2.40)0 Для барьера бесконечной высоты, как следует из смысла фазы рассеяния,0 → ∞, → , → −;(2.41)сечение совпадает с площадью поверхности сферы,0 → 42 .(2.42)Это типичный волновой эффект: волна большой длины взаимодействует совсей поверхностью, в то время как классическая частица чувствует толькоплощадь 2 непроницаемого препятствия, см. (1.13). Для энергий вышебарьера > 0 может опять возникнуть резонансное поведение.Задача 2.4Найти явный вид углового распределения для потенциального рассеяния,учитывая только -волну, -волну и их интерференцию.Решение.Дифференциальное сечение равно | |2 , где амплитуда рассеяния даётсяразложением по парциальным волнам, которое в нашем случае имеет вид]︁1 [︁= 2 sin2 0 + 6 sin 0 sin 1 cos(0 − 1 ) cos + 9 sin2 1 cos2 .(2.43)Интерференция - и -волн противоположной чётности нарушает симметрию по отношению к замене → − .2.6.
Фазы и их зависимость от энергииДля того чтобы оценить зависимость фаз рассеяния от ℓ, выразим фазычерез точные радиальные функции ℓ ().2.6. Фазы и их зависимость от энергии59Вводя безразмерную переменную = , перепишем радиальное уравнение Шрёдингера в виде]︂[︂ℓ(ℓ + 1)′′ℓ = 0,(2.44)ℓ + 1 − −2где производная берётся по . В подобном уравнении для волновой функцииℓ свободного движения[︂]︂ℓ(ℓ + 1)′′ℓ + 1 −ℓ = 0,(2.45)2решение с правильной асимптотикой даётся, как мы знаем, в видеℓ () = ℓ ().(2.46)Удобно определить вронскианℓ () = ℓ′ ℓ − ℓ ′ℓ(2.47)функций ℓ и ℓ . В асимптотической области мы нормируем наши функциитак, чтобы(︂)︂(︂)︂ℓℓℓ ≈ sin −, ℓ ≈ sin −+ ℓ .(2.48)22Тогда вронскиан (2.47) является в асимптотической области константой,ℓ ( ≫ ) = sin ℓ .(2.49)Фаза может быть найдена из уравнения для вронскианаℓ′ +ℓ ℓ = 0,(2.50)которое легко получить, умножая (2.44) на ℓ , (2.45) на ℓ и вычитая одноиз другого.
Интегрируя уравнение (2.50) от = 0 до = , находим∫︁ℓ () = ℓ (0) −0 ()ℓ ()ℓ ().(2.51)Предположим, что вблизи начала координат потенциал () либо не имеетсингулярности, либо имеет сингулярность слабее центробежной энергии60Глава 2. Метод парциальных волнРис. 2.4. Эффективный потенциал с центробежным членом для момента ℓи точкой поворота ℓ > ∼ ℓ(ℓ + 1)/2 , так что можно пренебречь в уравнении (2.44). В этомслучае при → 0 регулярные решения обоих уравнений пропорциональныдруг другу и ℓ (0) = 0. В пределе → ∞, уравнения (2.49) и (2.51)определяют фазы рассеяния по модулю 2,∫︁ ∞ ()sin ℓ = −ℓ ()ℓ (),(2.52)0через решения ℓ ().Результат (2.52) является точным для «хороших» потенциалов.
В областидостаточно больших ℓ можно заменить ℓ () в подынтегральном выражении на свободную функцию ℓ . Это было бы очевидно в классическомпределе, где большие ℓ соответствуют большим прицельным параметрамℓ ≃ / > , которые определяют траекторию, лежащую вне области взаимодействия. Но такое же заключение можно сделать и в квантовом случае.Центробежный потенциал ~2 ℓ(ℓ + 1)/22 сильно подавляет обе функцииℓ и ℓ под барьером, где они пропорциональны ℓ+1 . Точки поворота для2.6. Фазы и их зависимость от энергии61обеих функций почти совпадают (рис. 2.4), если они лежат дальше отначала координат, чем . В этом случае влияние потенциала везде мало,и можно ожидать также малость фаз рассеяния.Точки поворота = ℓ () находятся при ℓ > , если (ℓ ) ≪~2 ℓ(ℓ + 1)~2 ℓ(ℓ + 1).≈<222ℓ2(2.53)Это выполняется приℓ(ℓ + 1) >2 2 = ()2 ,~2(2.54)что фактически совпадает с приведённой выше классической оценкой.Если это условие выполняется, то фаза рассеяния ℓ мала, sin ℓ ≈ ℓ , и мыполучаем из (2.52)∫︁ ∞ () 2ℓ ≈ −ℓ ().(2.55)0Это выражение имеет простой смысл: присутствие потенциала, действующего на невозмущённую волновую функцию, меняет фазу её осцилляцийна среднюю величину потенциала, измеренную в естественных временны́хединицах ∼ 1/.При достаточно низких энергиях ≪ 1 условие (2.54) справедливодля всех ℓ ̸= 0.
Отсюда следует важное практическое заключение, чтов рассеянии при низких энергиях только -волна может иметь заметнуюфазу рассеяния. С увеличением энергии начинают давать вклад и высшие парциальные волны. Подынтегральное выражение в (2.55) ограниченорадиусом действия потенциала . В пределе низких энергий поведение волновых функций здесь определяется центробежным членом ℓ () ≈ ℓ ℓ+1с константой ℓ из(II.2.80). Тогда (2.55) непосредственно даёт низкоэнергетическое поведение фаз рассеяния (ℓ ̸= 0),∫︁ℓ ≈ −∞0 2ℓ+3 () 2 2ℓ+2ℓ = − ℓ2∫︁∞ ()2ℓ+2 .(2.56)0Фазы рассеяния убывают с ℓ,ℓ ∝ 2ℓ+1 ∝ ℓ+1/2 .(2.57)Мы пришли к выводу, что при низких энергиях (2.53) можно ограничитьсянизшими парциальными волнами.
По этой причине разложение по парци-62Глава 2. Метод парциальных волнальным волнам, будучи эффективным при низких энергиях, дополняетборновское приближение. Для дальнодействующих потенциалов, которыеспадают степенным образом, ∝ 1/ , требуются отдельные, более аккуратные оценки, см. [4, §132].Отметим, что в притягивающем потенциале < 0 фазы рассеяния (2.56)положительны, в то время как для отталкивающего потенциала > 0они отрицательны. Это легко понять из сравнения реального решения сосвободным: частица в области притяжения проводит больше времени, см.рис.
2.2 и 2.3 (предполагается, что притягивающий потенциал не имеетсвязанных состояний).Задача 2.5a) Для изотропного потенциала () проверить, что (1.74) в точностисовпадает с амплитудой (2.12), найденной методом парциальных волн.b) Показать, что борновское приближение эквивалентно результату, полученному разложением по парциальным волнам, если фазы рассеяниямалы и могут быть вычислены согласно (2.55).Решение.Для доказательства нужно воспользоваться разложением точного решения и плоской волны по парциальным волнам и точным выражением (2.52)для фаз рассеяния.2.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
