1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Компоненты орбитального момента найдены в задаче II.1.10.Компонента ℓ не даёт вклада в (2.93), так что(ℓℓ · )ℓ = ( sin − cos )ℓ.(2.94)Производная ℓ / есть присоединённый полином Лежандра −ℓ1 , см.(II.1.139) (сферическая функция ℓ1 пропорциональна exp()ℓ1 ).Комбинация в скобках в (2.94) может быть выражена через единичныйвектор нормали к плоскости рассеяния, образованной начальным k = nи конечным k′ = n′ волновыми векторами. Вектор n направлен вдоль оси. Вектор n′ имеет полярный и азимутальный углы и . Поэтому=[n × n′ ][n × n′ ]== (− sin , cos , 0).|[n × n′ ]|sin (2.95)Тогда находим · )ℓ1 .(ℓℓ · )ℓ = ( sin − cos )(−ℓ1 ) = ((2.96)74Глава 2. Метод парциальных волнОкончательно амплитуда рассеяния (2.93) записывается в виде^(, ) = () + ()( · ),() =]︁(+)(−)1 ∑︁[︁(ℓ + 1)(2ℓ − 1) + ℓ(2ℓ − 1) ℓ (cos ),2(2.97)(2.98)ℓ() =]︁(−)1 ∑︁[︁ 2(+) − 2 ℓ1 ().2(2.99)ℓВид амплитуды (2.97) единственный, который допускается общими требованиями симметрии.
Действительно, из-за сохранения полного моментаи чётности ^ может зависеть только от скаляров (не псевдоскаляров)(n · n′ ) = cos и ( · ), так как есть единственный аксиальный вектор,построенный из полярных векторов n и n′ . Поскольку для спина 1/2 всестепени операторов спина сводятся к линейным функциям, мы приходим квыражению (2.97).Азимутальная асимметрия связана только с нормалью к плоскостирассеяния. Без спин-орбитальных сил рассеяние не зависит от взаимнойориентации ℓ и s. Тогда фазы для двух значений совпадают и ()исчезает вместе с азимутальной асимметрией.
Амплитуда () в выражении(2.98) сводится в этом случае к стандартному выражению (2.8).2.11. Поляризация и азимутальная асимметрияЧтобы найти наблюдаемые величины из операторной амплитуды (2.97),мы должны вычислить матричный элемент ′ = ⟨′ |^| ⟩, которыйдаёт амплитуду рассеяния в направлении n′ (, ) с изменением спиновойпроекции → ′ . Соответствующее дифференциальное сечение равно(︁ )︁→′= |′ |2 .(2.100)Если конечная поляризация не измеряется, сечение есть некогерентнаясумма по всем возможным ′(︁ )︁≡∑︁(︁ )︁′→′= (^† ^) ,(2.101)где последнее выражение получено для фиксированного начального .Таким образом, в этом случае мы должны вычислять среднее значениеоператора ^† ^ по начальному состоянию.2.11.
Поляризация и азимутальная асимметрия75Сумма по начальным и конечным спиновым состояниям в общем случаесводится к вычислению следа в соответствующем пространстве)︁ ∑︁∑︁∑︁(︁∑︁2*| | = =( † ) = Tr( † ).(2.102)Для неполяризованого состояния начальные значения равновероятны.Усредняя по ним, мы получаем, как и в (2.102),1 ∑︁(︁ )︁1== Tr(^† ^).2 2(2.103)Для нашего вида амплитуды (2.103) легко найти (следы матриц Паулиравны нулю), что(︁ )︁= |()|2 + |()|2 ,(2.104) unpolс отсутствием азимутальной асимметрии.Для начального пучка с различным числом частиц ± с проекцией ±мы имеем ненулевую поляризацию P, см. (2.87).
Среднее сечение (2.101)должно вычисляться с учётом этого факта:= ⟨^† ^⟩ = |()|2 + |()|2 + 2Re(* )( · P).(2.105)Такой эксперимент обнаруживает азимутальную асимметрию, определяемую начальной поляризацией, перпендикулярной к плоскости рассеяния.Стандартный способ представления этого результата — введение коэффициента асимметрии :(︁)︁ (︁ )︁=1 + ( · P) , unpol=2Re(* ).||2 + ||2(2.106)(2.107)Для конечного (рассеянного) пучка мы определяем поляризацию P′ так,чтобы, будучи умноженной на плотность рассеянной волны (^† ^) , онадавала бы средний спин рассеянной волны в единицах 1/2, как в (2.87), |(^ )⟩ = (^† ^) ,(^† ^) P′ = ⟨(^ )|(2.108)76Глава 2. Метод парциальных волнили, усредняя (черта сверху) по начальному пучку,P′ =(^† ^).(^† ^)(2.109)Поляризация из-за спин-орбитального взаимодействия возникает даже,если начальный пучок был неполяризован.
Единственный аксиальныйвектор в задаче это опять вектор нормали к плоскости рассеяния. Поэтомубез всяких вычислений мы знаем, что в этом случаеP′ = .(2.110)Простое вычисление среднего по ансамблю неполяризованных спинов в(2.109) определяет коэффициент :=2Re(* )= .||2 + ||2(2.111)Мы пришли к важному утверждению: поляризация начального неполяризованного пучка равна асимметрии (2.106,2.107) в рассеянии поляризованного пучка на той же мишени. Если начальная поляризация P такжеприсутствует, то результат будет более громоздким, но он также можетбыть выведен из (2.109).Задача 2.8Найти в терминах амплитуд и в (2.98) и (2.99) поляризацию P′ ,полученную в результате рассеяния частиц со спином 1/2 и начальнойполяризацией P на бесспиновой мишени.Решение.P′ =2 Re(* ) + (||2 − ||2 )P + 2||2 ( · P) − 2 Im(* )[ × P].||2 + ||2 + 2 Re(* )( · P)(2.112)Глядя на выражения для амплитуды (2.97 — 2.99) и коэффициенты асимметрии и поляризации , можно сделать следующее наблюдение: эффекты поляризации и азимутальной асимметрии неполяризованного пучкаисчезают в первом борновском приближении.
В этом случае фазы рассеяния малы. Используя разложение -матричных элементов exp(2) ≈ 1+2мы видим, что () есть действительная величина, а () — мнимая, такчто * является мнимым и = = 0. Этот результат связан с инвариант-2.11. Поляризация и азимутальная асимметрия77ностью относительно обращения времени и специфическими особенностямиборновского приближения.Для системы, инвариантной относительно обращения времени, вероятность процесса не меняется при перемене начального и конечного состоянийи изменении знаков всех импульсов и спинов (детальное равновесие, которое будет обсуждаться ниже).
Амплитуда (2.97) удовлетворяет этомуусловию. Линейный по ( · ) член, который появляется в сечении (2.105)как результат интерференции между нормальной и спин-флиповой амплитудами, инвариантен относительно отражения времени. Действительно, поляризация меняет знак, но и вектор нормали также меняет знак,потому что при отражении времени k ⇒ −k′ и k′ ⇒ −k: ∼ [k × k′ ] ⇒ [(−k′ ) × (−k)] ∼ − .(2.113)В борновском приближении амплитуда рассеяния мала и поэтому эрмитова.
Это следует из условия унитарности (1.61), где можно пренебречьквадратичным членом в правой части. Это видно также прямо из нашихвыражений (2.97 – 2.99): величина действительна при малых фазах, –эрмитовский, меняет знак при транспозиции n ↔ n′ , но знак восстанавливается при комплексном сопряжении в этом члене, поскольку величина мнима при малых фазах. Для эрмитовской амплитуды ^ вероятностьне меняется при простой перестановке начальных и конечных состоянийбез изменений знаков импульсов и спинов. Из этих двух инвариантныхопераций следует инвариантность относительно только изменения знаковимпульсов и спинов без перестановки начального и конечного состояний.Но из-за симметрии относительно инверсии и вращений P′ направленавдоль , см. (2.110).
При изменении знаков спинов и импульсов P′ меняетзнак, в то время как не меняет, поэтому P′ = 0. Этот результат довольнообщий и не ограничивается частицами спина 1/2; всегда в борновскомприближении поляризация первоначально неполяризованного пучка невозникает.Поляризация может появиться даже в борновском приближении, если эффективный рассеивающий потенциал является комплексным. Спинорбитальный потенциал с мнимой частью, ответственной за поглощениечастиц в неупругие каналы, нарушает эрмитовость амплитуды рассеянияи допускает появление поляризации.Задача 2.9Нуклон рассеивается на ядре, которое порождает комплексный потенциал () = (1 + ) () (где константа и () действительны) и спин-78Глава 2.
Метод парциальных волнорбитальный потенциал, который по аналогии с атомной спин-орбитойII.8.1 имеет вид^ℓ = − 1 () (ℓ^ · ^s),(2.114) с константой , имеющей размерность квадрата длины. Вычислить в борновском приближении дифференциальное сечение рассеяния неполяризованного пучка и возникающую поляризацию P′ рассеянных частиц.Решение.Сечение даётся выражением(︂)︂1 4 2 222= | ()| 1 + + sin ,4(2.115)где () есть борновская амплитуда для потенциала ().
Поляризацияравна 2 sin .(2.116)P = , =1 + 2 + 4 2 sin2 /4Дополнительная литература: [2], [4], [5], [9], [11], [12], [13], [14], [15]Возможно, какая-то другая наука может оказаться более полезной, но никакая не имееттакой красоты и прелести в своей полезности,как оптика. Это цветок всей философии, итолько через нее можно познать другие науки.Р. Бэкон. «Большое сочинение»Глава 3Дополнительные вопросы теории рассеяния3.1. Классическое и квантовое рассеяниеКак следует из нашего первого обращения (разд. 1.1) к классическойкартине, полное классическое сечение рассеяния∫︁cl = 2(3.1)определяется интегрированием по всем прицельным параметрам , длякоторых рассеяние имеет место.
Если потенциал (r) не исчезает полностьюпри > max , как это было в задаче 1.1, то полное классическое сечение(3.1) бесконечно. Но квантовое упругое сечение∫︁el = | |2(3.2)оказывается конечным, если потенциал спадает на больших расстоянияхбыстрее, чем 1/2 .Классическое рассмотрение может стать несправедливым для большихприцельных параметров из-за того, что большим расстояниям соответствуют малые углы рассеяния .
А для того, чтобы использовать классическуюкартину, угол отклонения должен превышать квантовую неопределённость Δ направления траектории. В этом же смысле неопределённостьΔ прицельного параметра должна быть мала по сравнению с величиной .Малый классический угол отклонения можно оценить через компонентуимпульса ⊥ , перпендикулярную начальному направлению движения∼⊥⊥ Δ∼,(3.3)80Глава 3. Дополнительные вопросы теории рассеяниягде ⊥ ∼ (/) ∼ ()/ — поперечная сила, ответственная за искривление траектории, Δ ∼ / — характерное время взаимодействия и —относительная скорость. Отсюда∼ () () () Δ∼∼∼.
(3.4)С другой стороны, переходя на квантовый язык, неопределённость прицельного параметра Δ влечёт неопределённость поперечной компонентыимпульса Δ⊥ ∼ ~/Δ. Это эквивалентно неопределённости угла рассеянияΔ ∼Δ⊥~∼.(Δ)(3.5)УсловияΔ ≪ ,Δ ≪ (3.6)определяют пределы классического описания рассеяния: ≫ Δ ∼~~≫Δ ()~≫ .(3.7)Если потенциал () убывает на больших расстояниях быстрее, чем кулоновский (∼ 1/), неравенство (3.7) нарушается на больших .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
