1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Мы начнем с рассеяния плоской волныexp[(k · r)] на одном центре, расположенном в начале координат. Обратноефурье-преобразование выражения (1.74) определяет∫︁2~21′ (r)k (r) = −3 ′ (k′ , k)(k ·r) .(3.73)(2)3Отметим, что правая часть уравнения (3.73) содержит интегрирование повсем векторам k′ , в то время как амплитуда упругого рассеяния определена только на энергетической поверхности |k′ | = |k|. Поэтому (3.73) естьфактически определение амплитуды вне массовой поверхности, котораясовпадает с обычной упругой амплитудой на энергетической поверхности.Сравнение (3.73) с уравнением Шрёдингера даёт∫︁1′22(∇ + )k (r) = − 2 3 ′ (k′ , k) (k ·r) .(3.74)2Задача 3.6Вывести уравнение, аналогичное (3.74), для волновой функции k (r; r0 ),которая описывает рассеяние плоской волны с волновым вектором k центром, расположенным в точке r0 .96Глава 3.
Дополнительные вопросы теории рассеянияРешение.(k·r0 )(∇ + )k (r; r0 ) = −2 222∫︁′3 ′ (k′ , k)k ·(r−r0 ) .(3.75)Правая часть уравнения (3.75) описывает однократное действие оператора рассеяния, локализованного в точке r0 :′^(r0 ) ⇒ (k′ , k)(k−k )·r0 .(3.76)Переходя к системе рассеивателей, расположенных в точках r1 , r2 , ..., r ,мы должны найти конечную волновую функцию k (r; {r }) после многократного рассеяния падающей волны с волновым вектором k. Для данногорассеивателя в точке r , эффективной падающей волной, вместо плоской()волны в (3.76), является функция k (r; {r }), которая учитывает присутствие всех других рассеивателей. После суммирования волн, рассеянныхна всех центрах, мы получаем вместо (3.75) и (3.76),∫︁∑︁1′()22(∇ + )k (r; r1 , ..., r ) = − 2 3 ′ (k′ , k)(k−k )·r k′ (r; r1 , ..., r ).2(3.77)При наличии многих центров рассеивания влияние любого из них напроцесс рассеяния мало ∼ 1/ .
В сумме по в (3.77), в хорошем прибли()жении можно заменить функцию k на полную волновую функцию k .После этого мы можем усреднить (3.77) по всему хаотическому распределению центров в объёме с ограничением, что их средняя плотность = / фиксирована. В предположении короткодействующих сил рассеяние на данном центре не зависит от точного положения других центров, такчто в правой части (3.77) можно усреднять фазу экспоненты и волновуюфункцию независимо.
Усреднённая функция k (r) подчиняется тогдауравнению1 ∑︁ (k−k′ )·r(∇2 + 2 )k (r) = − 2k′ (r).(3.78)2 Суммирование по рассеивателям и усреднение по их положениям можетбыть заменено на интегрирование по объёму со средней плотностью:∫︁∑︁′(k−k′ )·r ⇒ 3 (k−k )·r = (2)3 (k − k′ ).(3.79)3.8. Многократное рассеяние в среде97Таким образом, для хаотически расположенных центров влияние средысводится к компенсации в среднем всех волн за исключением той, котораярассеивается вперёд, на нулевой угол. Тогда остаётся только амплитуда (0) = (k, k), мы возвращаемся опять на энергетическую поверхность инаходим(∇2 + 2 )k (r) = −4 (0) k (r).(3.80)Видно, что усреднённое действие неупорядоченной среды сводится кэффективному изменению волнового вектора волны 2 ⇒ 2 = 2 + 4 (0).Эффективный показатель преломления среды√︂4 (0)== 1+2(3.81)(3.82)определяется в этом приближении только плотностью среды и амплитудойрассеяния вперёд на одном центре. Детали структуры вещества несущественны.
В присутствии нескольких ∑︀сортов рассеивателей усреднённаяамплитуда в (3.82) будет содержать (0). Во многих практическихслучаях отличие показателя преломления (3.82) от вакуумного значения = 1 мало, и можно пользоваться приближённым выражением≈1+2 (0).2(3.83)Согласно (3.81), среда эквивалентна потенциальной яме глубиной=~2 22~2( − 2 ) = − (0).2(3.84)Этот потенциал комплексный и содержит часть, отвечающую поглощению,2 ≡ Im = −2~2 Im (0),(3.85)которая, в силу оптической теоремы (1.58), может быть выражена черезполное сечение~2~2 = − = − .(3.86)22Этот результат согласуется с использованными выше элементарными оценками, основанными на длине свободного пробега Λ частицы в среде. Дей-98Глава 3.
Дополнительные вопросы теории рассеянияствительно, волновая функция в статистически однородной среде экспоненциально затухаетΨ ∝ −(/~)2 = −/2 ,(3.87)и мы получаем для интенсивности пучка|Ψ|2 ∝ − = −/ ,(3.88)где время свободного пробега равно=1Λ= ,Λ=1.(3.89)Если применимо борновское приближение (1.79), действительная частьоптического потенциала (3.84) описывается простым выражением∫︁∫︁2~2 (︁ )︁31 ≡ Re = − − (r) = 3 (r).(3.90)2~2Это∑︀ просто результат суммарного действия всех рассеивающих центров, (r − r ), усреднённый, как и в (3.79), по их пространственному распределению с данной плотностью = / .Задача 3.7Найти критический угол полного отражения медленных нейтронов отповерхности ферромагнетика с внутренним полем ℬ. Пренебречь поглощением и считать, что взаимодействие нейтронов с ядрами вещества слабоеи может характеризоваться положительной длиной рассеяния из (2.64).(Более простая версия вопроса предлагалась в задаче I.2.3.)Решение.Амплитуда рассеяния вперёд (0) = − < 0, так что среда менее плотнаядля нейтронов, чем вакуум, и показатель преломления меньше единицы:≈1−2.2(3.91)Даже для медленных нейтронов с ∼ 1 нм и ∼ 10−13 cм ∼ 10−6 нмотрицательный член в (3.91) мал, так что использование приближения (3.91)оправдано.
Ещё нужно добавить эффект магнитного взаимодействия спина±ℬ для двух спиновых состояний, где — магнитный момент нейтрона.3.9. Когерентное рассеяние на кристаллах99Как результат, появляется двойное лучепреломление нейтронного пучка(ℬ) ≈ 1 −1 (︁ )︁2±ℬ .2~2(3.92)Критический угол полного отражения определяется из = cos ≈ 1 −2.2(3.93)Из (3.92) мы получаем√︀1 = 2[1 − (ℬ)] =√︂4 ±2ℬ.~2(3.94)Этот угол меньше 1∘ для тепловых нейтронов с = 0, 025 эВ. Еслимагнитный член в (3.94) превышает ядерный, нейтроны с одной проекциейспина будут отражаться, и все отражённые нейтроны будут поляризованы;ср. с задачей I.2.3.3.9.
Когерентное рассеяние на кристаллахКак следует из уравнений (3.76) и (3.77), амплитуда рассеяния в средесущественно отличается от амплитуды рассеяния на одном центре наличиемструктурного формфактора:∑︁ (k′ , k) ⇒ (k′ , k) (q), (q) =−(q·r ) , q = k′ − k.(3.95)После пространственного усреднения (3.79) в неупорядоченной средеостаётся только рассеяние вперёд q = 0, когда все центры рассеивают вфазе. Конечная амплитуда пропорциональна числу центров; сечение вэтом случае пропорционально 2 . В кристаллах суммирование по регулярно расположенным узлам отбирает определённые ненулевые векторы q,которые отвечают когерентному рассеянию на многих атомах.
Это происходит, когда q = K — одному из векторов обратной решётки, см. разд.I.8.52. Для любого из них все вклады в сумму (q) равны 1. При упругомрассеянии |k| = |k′ |, когдаk′ − k = K ;(3.96)это называется условием Брэгга. Этот результат согласуется с фактом,установленным в гл. I.8: регулярная решётка создаёт потенциал, имеющий100Глава 3.
Дополнительные вопросы теории рассеянияРис. 3.5. Геометрия брэгговского рассеянияненулевые фурье-компоненты только при импульсах, совпадающих с векторами обратной решётки. По этой причине плоская волна не являетсястационарным состоянием внутри кристалла. Рассеяние на периодическомпотенциале добавляет компоненты с импульсами, отличающимися от начального на один из векторов K .Смысл условий Брэгга ясен из геометрических соображений; это оченьпохоже на рассеяние рентгеновских лучей, обсуждавшееся в разд. II.15.12.Эти условия выглядят так: ′2 = 2 ,K2 = −2(k · K).(3.97)Данные уравнения определяют (для различных K) плоскости в k-пространстве.В терминах угла рассеяния 2 = 4 2 sin2.2(3.98)Если {r } — множество пространственных точек, удовлетворяющих условию(K · r ) = 2, = integer,(3.99)то эти точки определяют для различных семейство параллельных плоскостей.
Согласно определению обратной решётки (I.8.52), эти плоскостипроходят через узлы прямой решётки. Пусть расстояние между соседнимиплоскостями (3.99) равно . Тогда длина вектора K, который определяетэто семейство, может быть записана как = 2/, и из (3.98) мы находим3.9. Когерентное рассеяние на кристаллах101(ср. с аналогичным условием (30.95) для рентгеновских лучей) =2 = 2 sin ,2(3.100)где — длина волны частицы.
Это обычная форма записи условия Брэгга, которое определяет направления интерференционных максимумов вкогерентном отражении волны от системы кристаллических плоскостей.Только векторы обратной решётки, удовлетворяющие условию < /,или, для длин волн, 6 2, могут давать вклад в брэгговское рассеяние.Нейтроны с > 2 проходят кристалл без заметного рассеяния.Задача 3.8Рассмотрим молекулу, состоящую из регулярно расположенных одинаковых тяжёлых атомов.
Предполагая применимость борновского приближения, найти сечение упругого рассеяния частицы массы на молекуле,если известна амплитуда рассеяния (q) на одном атоме. Укажите условия когерентного рассеяния, когда сечение усиливается фактором 2 посравнению с рассеянием на одном атоме. Рассмотрите.) два атома на расстоянии ;.) четыре атома по углам квадрата;.) линейную цепочку атомов, расположенных вдоль оси в точках, 2, ..., . Здесь полезна формула суммирования геометрическойпрогрессии∑︁1 − +1.(3.101) =1−=0Дополнительная литература: [3], [4], [12], [13], [16], [17]....
летящая стрела находится в покое, чтоследует из предположения, что времясостоит из мгновений (третий парадоксЗенона Элейского)Аристотель. «Физика»Глава 4Реакции, распады и резонансы4.1. Каналы реакцииБинарная реакция+→+(4.1)есть обобщение процесса рассеяния на случай, когда конечные частицымогут отличаться от начальных. В ядерных реакциях используется такжеобозначение (, ), где — ядро мишени, — ядро продукта реакции,а и — налетающая и вылетающая частицы. Обычно подразумевается,что ядро мишени покоится, а частицы формируют падающий пучок.Частицы в середине обозначения, (, ), это те, которые регистрируютсядетекторами. В современных экспериментах с короткоживущими ядрами может использоваться обратная кинематика, когда эти ядра образуютначальный пучок.Мы характеризуем реакцию, указывая, какие частицы находятся в свободном движении до и после взаимодействия (в асимптотических квантовыхсостояниях) и могут быть зарегистрированы детекторами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
