1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Изолированный резонанс; экспоненциальныйи неэкспоненциальный распадТипичную резонансную реакцию можно представлять как процесс, идущий через захват частицы мишенью с образованием промежуточногосостояния . Через некоторое время нестабильное состояние распадается на конечные продукты и , которые могут быть, в частности, темиже, что и во входном канале .
Чтобы избежать более сложных вопросовинтерференции между различными резонансами, мы будем сначала предполагать, что ширина Γ резонанса мала по сравнению с расстоянием додругих резонансов — резонансы не перекрываются.Напомним наше первоначальное обсуждение нестабильных состояний,разд.
I.5.8. Перекрытие вектора состояния |Ψ()⟩ с начальным состоянием|Ψ0 ⟩ убывает со временем предположительно экспоненциально () = |⟨Ψ0 |Ψ()⟩|2 ≈ −Γ/~ .(4.56)Перекрытие (4.56) есть вероятность выживания, см. разд. I.7.8. ШиринаΓ определяет среднее время жизни состояния |Ψ0 ⟩, = ~/Γ, и неопределённость его энергии Δ ∼ ~/ ∼ Γ.
Зависимость от времени (4.56) имеетместо, если волновой функции изменяется согласно|Ψ()⟩ = −(/~)ℰ |Ψ0 ⟩,(4.57)где мы ввели комплексную энергию ℰ = 0 − 2 Γ; её действительная часть0 характеризует собственно энергию, а мнимая часть даёт ширину — обратное время жизни. Все резонансные точки ℰ расположены в нижнейчасти комплексной плоскости энергии Γ > 0. Нормированное распределениевероятности действительной части энергии даётся распределением Лоренца (I.5.79), которое в теории реакций носит название формулы Брейта—Вигнера (1936), см.
рис. I.5.10,∫︁ ∞Γ1() =, () = 1.(4.58)2 ( − 0 )2 + Γ2 /4−∞116Глава 4. Реакции, распады и резонансыВажной особенностью распределения Брейта—Вигнераявляется бесконеч∫︀2ность её второго момента: интеграл ( − 0 ) () расходится из-заслишком медленного убывания далёких крыльев распределения Брейта—Вигнера. Но мы знаем (см. разд. I.5.8), что распределение Брейта—Вигнеране является полностью реалистичным для всех энергий.
Присутствие бесконечно низких энергий в (4.58) нефизично, потому что нет состояний вгильбертовом пространстве системы с энергиями ниже, чем энергия основного состояния. Поэтому нельзя утверждать, что экспоненциальноеубывание (4.56) справедливо в течение всего процесса распада.Реальное временное поведение распадающегося состояния заведомо должно отличаться от (4.56), по крайней мере на начальной стадии, как мывидели в разд.
I.7.8. На ранней стадии эволюции скорость распада определяется неопределённостью (флуктуацией) энергии ⟨(Δ)2 ⟩ в начальномнестационарном волновом пакете. Согласно уравнению (I.7.119), вероятность распада 1 − () растёт квадратично со временем (скорость распада−˙ возрастает линейно), в то время как для экспоненциального распадавероятность распада линейна, а скорость распада постоянна. Здесь уместновспомнить вывод в разд. II.11.1 золотого правила, которое предсказывает постоянную скорость перехода (II.11.6). Это имеет место только придостаточно большой длительности процесса, больше, чем время действиявозмущения.
На очень коротких временах при замене синуса на его аргумент в уравнении (II.11.8) мы получаем результат, аналогичный (I.7.119),| ()|2 = |′ |22.~2(4.59)Такое же поведение, типичное для малого времени действия возмущенияΩ ≪ 1, можно увидеть в двухуровневой задаче, см. (II.5.56). В идеализированном случае Брейта—Вигнера неопределённость энергии ⟨(Δ)2 ⟩бесконечна и разложения, используемые в (I.7.117) и (I.7.118), неверны.Задача 4.1Доказать неравенство (I.7.127) для вероятности выживания при <~/2(Δ), где Δ — неопределённость энергии начального состояния,(︂)︂2 () > cos (Δ),(4.60)~4.7. Квантовый эффект Зенона117используя альтернативное представление вероятности выживания в терминах спектра стационарных состояний |⟩ () =∑︁| |2 | |2 cosгде |Ψ0 ⟩ =(︁ ( − ) )︁,~(4.61)∑︀ |⟩.4.7. Квантовый эффект ЗенонаПроблема экспоненциального или неэкспоненциального распада близкосвязана с возобновлением дискуссии по так называемым парадоксам Зенона.Оригиналы парадоксов, приписываемых древнему философу Зенону изИлеи (Зенон Илейский), обсуждались в «Физике» Аристотеля.Древние парадоксы имеют отношение к природе пространства и времени.Ахиллес никогда не догонит черепаху, потому что за любое конечное времяего движения черепаха продвинется чуть дальше; нельзя начать движение,потому что прежде чем пройти всю дистанцию, нужно пройти половинуеё и т.
д.; движение невозможно вообще, потому что в любой момент времени летящая стрела занимает определённое положение в пространстве икажется неподвижной — ваше наблюдение "замораживает"движение. Аналогию с парадоксом стрелы можно найти [20] в мысленном эксперименте сраспадающейся квантовой системой.Грубо парадокс можно описать следующим образом. Если начальноесостояние |Ψ0 ⟩ системы, приготовленное при = 0, нестационарно, топри > 0 оно эволюционирует как суперпозиция |Ψ0 ⟩ стационарных иортогональных состояний (продуктов распада). Однако если измерениеобнаружит систему всё ещё в первоначальном состоянии, то это можнорассматривать как новое приготовление системы, и начать отсчёт временисначала.
Производя измерения через очень короткие промежутки времени,представляется возможным полностью затормозить распад. Можно дажедумать, что отрицательный результат, ненаблюдение распада, долженуже сделать распад невозможным. Действительно, если наш детектор нерегистрирует никаких продуктов распада, то это эквивалентно измерениюотсутствия распада и, следовательно, утверждению, что система находитсяв начальном состоянии |Ψ0 ⟩; тогда можно снова начать отсчёт времени снуля.118Глава 4.
Реакции, распады и резонансыВернёмся к вероятности выживания (4.56) и предположим, что за короткий интервал времени эта вероятность убывает на () = 1 − () ,(4.62)где > 0 зависит от свойств начального состояния, а > 0 — некотораястепень, равная 1 для чисто экспоненциального распада. Повторим измерения начального состояния раз за конечный интервал времени = · .Тогда полная вероятность выживания даётся[︂(︂ )︂ ]︂ () = 1 − .(4.63)В пределе непрерывных измерений → 0, → ∞ при фиксированнойконечной величине [︁]︁ () → exp −()−1 .(4.64)Здесь видно различие между экспоненциальным = 1 и неэкспоненциальным распадом. При = 1 распад продолжается экспоненциально независимо от стратегии измерений.
В противоположность этому при > 1,как это имеет место в стандартной ситуации с = 2, вероятность распадаподавлена. При → 0 вероятность выживания стремится к 1.На самом деле нельзя делать непрерывные измерения. Любые такиепопытки в соответствии с соотношением неопределенности энергия-времябудут сильно искажать исследуемую систему. Тем не менее, наличие эффекта Зенона за конечные, но короткие интервалы между измерениями былоподтверждено экспериментами с атомами в ловушке под влиянием периодических лазерных импульсов [21]. Поскольку неэкспоненциальный этапохватывает лишь небольшую часть начальной истории распада, существуетхарактерное время (иногда называется временем Зенона , оно обычнотого же порядка, что и типичные периоды невозмущенного движения вквазистационарной системе), когда имеет место переход к нормальномуэкспоненциальному поведению.
Здесь измерения могут действовать в противоположном направлении, ускоряя процессы распада. Этот антиэффектЗенона также был найден экспериментально [22]. Ситуацию может такжеосложнить вмешательство волны отдачи, идущей назад от измерительнойаппаратуры с примесями невозмущенных состояний, отличных от имеющихся в начальном состоянии. Эти помехи могут вносить колебания вовременном развитии вероятности выживания.4.7. Квантовый эффект Зенона119Все эти нетривиальные эффекты появляются только вследствие физического взаимодействия устройства детектирования и распадающейся иликолеблющейся системы. Для того чтобы разрушить суперпозицию состояний, соответствующую начавшемуся распаду, и вернуть систему в исходное^ взаимодействия с детектором не должен комсостояние, гамильтониан ^ ′ , ответственным за распад.мутировать с внутренним гамильтонианом (Мы еще вернемся к проблеме измерений в конце курса.) Если пассивныйдетектор просто ждёт прихода продуктов распада, но не взаимодействуетнепосредственно с системой, то он не может влиять на скорость распада —^ ′ .
Поэтому эксперимент с «отсутствиего гамильтониан коммутирует с ем результата» не производит никакого действия на систему, и такойпарадокс Зенона исключён [23].Нужно отметить, что неэкспоненциальный ход процесса распада имеетместо и в самой поздней стадии, которая трудна для измерения из-за оченьнебольшого количества оставшегося материала.
В некоторых ядерныхпроцессах экспоненциальное развитие прослеживалось в течение 40-50времён полураспада. Механизм отклонения от экспоненциального распадапри ≫ можно понять на простой модели [24].Задача 4.2Найти поведение в пределе больших времен вероятности выживания впотенциале рис.
4.2 с непроницаемой стенкой при = − и отталкивающимбарьером () при = 0, если вначале частица была приготовлена встационарном состоянии ящика − 6 6 0.Решение.Начальная волновая функция даётся как√︂(︁ )︁2Ψ0 () =sin, − 6 6 0,(4.65)и Ψ0 = 0 вне ящика. Развитие во времени определяется стационарнымисостояниями () фактического потенциала. Они нумеруются волновымвектором задачи рассеяния с энергией = ~2 2 /2. Условие регулярности при = − даёт{︂() sin[( + )],− 6 6 0, () =(4.66)() + ′ ()− , > 0.and Ψ0 D 0 outside the box.
The time development is destates ψ k (x) of the actual potential. They are labeled by120Глава4. Реакции,распадырезонансыThe reguscattering problem withenergyED„2 kи2 /2m.g δ(x)ψ0–a0xРис. 4.2. Потенциал и начальная волновая функция для задачи 4.2Figure 10.2 The potential and initial wave function for Problem 10Стандартные условия сшивки для потенциала, содержащего дельта-функцию,(задача I.9.11) дают′= (),= * (),(4.67)где[︂(︂)︂]︂12 () =1−sin() − cos() , =.(4.68)2~2Поэтому внешняя часть волновой функции (4.66) может быть записана как{︂}︂ ( > 0) = () sin[( + )] +sin() sin() .(4.69)4.7.
Квантовый эффект Зенона121Начальная функция есть суперпозиция стационарных состояний,∫︁ ∞Ψ0 () = () (),(4.70)0и решение задачи о зависимости от времени даётся выражением∫︁ ∞2Ψ(, ) = () ()−~ /2 .(4.71)0Для нахождения коэффициентов () воспользуемся ортогональностьюнабора функций (). Их удобно нормировать как∫︁ ∞ ′ () () = ( − ′ ).(4.72)−С этой нормировкой∫︁∞() = Ψ0 () ()(4.73)−или, используя явный вид (),√︀ /2sin(),() = ()()2 − ()2(4.74)c полюсами, соответствующими энергиям состояний, которые были бысвязанными в ящике (резонансы).
Вычисляя амплитуды (), соответствующие нормировке (4.72) функций (4.69), мы сталкиваемся в области > 0со следующими двумя сингулярными интегралами:∫︁ ∞(4.75) sin( ′ ) sin() = [( ′ − ) − ( ′ + )]20(здесь достаточно выразить подынтегральное выражение через экспоненты)и∫︁ ∞∫︁11 ∞′ cos() sin( )+ cos( ′ ) sin() = 2 ()( ′ ), (4.76)′ 0 0где правая часть, очевидно, должна иметь вид ()( − ′ ). Интегрируяобе части по ′ и пользуясь интегралом Френеля, находим () = 2 ().122Глава 4. Реакции, распады и резонансыИз этой алгебры√︂() =2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
