1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Число широких состояний равно числу̃︀ которое равно числу открыненулевых собственных значений матрицы ,тых каналов. В этом пределе решение динамической задачи аналогичнотому, как это делалось для эрмитовского факторизованного гамильтонианав разд.
I.10.8, но в данном случае коллективные состояния концентрируют распадную ширину, а не силу мультипольных переходов (сдвиг вдольмнимой оси в комплексной плоскости энергий). Контригра случайных эриксоновских флуктуаций против когерентной сверхизлучательной динамикииграет важную роль в процессах передачи сигналов через различные квантовые системы. Детальное обсуждение этих вопросов выходит за рамкикниги.4.10. Угловой момент и чётностьВ нашем рассмотрении мы не учитывали вырождение из-за возможностииметь различные проекции углового момента.
Полный угловой момент в системе центра масс сохраняется и поэтому равен угловому моменту128Глава 4. Реакции, распады и резонансыпромежуточного состояния («спину резонанса») = = = .(4.92)Проекция = полного углового момента на ось квантования такжесохраняется. Состояния с различными имеют одинаковую энергию, т.
е.мы фактически имеем (2 + 1) вырожденных резонансных состояний содинаковыми резонансными свойствами, которые не зависят от ориентациисистемы как целого.Квантовое число измеримо, так что процессы, соответствующие ортогональным состояниям с различными , не интерферируют.
В эксперименте без регистрации и поляризационных состояний начальных частиц (спин ) и (спин ), мы должны суммировать по и усреднятьнекогерентную сумму резонансных сечений для разных по начальнымпроекциям. Это даёт2 + 1= 2 (2 + 1)(2 + 1)⃒⃒2⃒⃒ *⃒⃒⃒ − + (/2)Γ ⃒ ,(4.93)где полный угловой момент указан отдельно, в дополнение к другимквантовым числам резонанса. Вводя парциальные ширины (4.89), получаемΓ Γ2 + 1 = 2.(4.94) (2 + 1)(2 + 1) ( − )2 + Γ2 /4Зависящий от спина статистический фактор здесь равен вероятности найтивеличину полного углового момента при векторном сложении J = J + J ,равную резонансному значению .Если мы не рассматриваем распады за счёт слабых взаимодействий,пространственная чётность Π также сохраняется.
Она определяется внутренними чётностями частиц и чётностью волновой функции относительногодвижения, т. е. орбитальным моментом относительного движения в данномканале:Π = Π Π (−)ℓ = Π = Π Π (−)ℓ .(4.95)4.11. Узкий резонанс как составная системаВ резонансе = сечения всех каналов выражаются простыми соотношениями, которые имеют очевидный вероятностный смысл: =Γ Γ42 + 1,2 (2 + 1)(2 + 1) Γ2(4.96)4.11. Узкий резонанс как составная система129будучи пропорциональными произведению вероятности захвата Γ /Γ ивероятности распада Γ /Γ .
Тогда входной и выходной каналы статистически независимы. Конечно, это было изначально заложено в приближенииизолированного резонанса (4.83).Идея статистической независимости является главной в теории составного ядра (Н. Бор, 1936) или составной промежуточной системы в общем случае. Физически мы ожидаем справедливости такой картины, если резонансдостаточно долгоживущий, чтобы составная система могла достичь состояния, близкого к тепловому равновесию, когда память о входном каналетеряется и распад в разные выходные каналы определяется статистически.Отметим, что в случае одноканального (упругого) рассеяния, парциальнаяи полная ширины совпадают и резонансное сечение не содержит никакойдинамической информации; оно определяется, за исключением спиновыхстатистических факторов, начальной длиной волны ∝ −1 .В окрестности изолированного резонанса все каналы → демонстрируют одинаковое брейт— вигнеровское поведение (4.94).
Отношение сеченийдля различных каналов есть просто отношение парциальных ширинΓ = .Γ(4.97)Для данного входного канала отношение сечений тогда равно (полноенеупругое)/(упругое)∑︀∑︀Γ − Γinel̸= ̸= Γ==≡.(4.98)el ΓΓВ терминах полного сечения это может быть записано (опуская очевидныеиндексы) как отношение вероятностейel = totΓel,Γinel = totΓinel,ΓΓ = Γel + Γinel .(4.99)Одинаковое положение пика в сечениях в разных каналах свидетельствуето том, что мы имеем дело с одним изолированным резонансом.Этот подход может быть обобщён на учёт пороговых эффектов, важныхдля медленных частиц.
В этих случаях парциальные и полные ширины неконстанты, а плавные функции энергии или волнового вектора в соответствующем канале. Рассмотрим, например, реакцию при низкой энергии во входном канале. Тогда, как мы знаем, упругая ширина в ℓ-той парциаль-130Глава 4. Реакции, распады и резонансыℓ+1/2ной волне должна зависеть от энергии ∝ 2ℓ+1 ∝ . Поэтому можно;ℓопределить не зависящую от энергии приведённую ширину согласноΓ;ℓ=;ℓ(︂)︂ℓ+1/2,(4.100)где = − intr есть кинетическая энергия в резонансе.
Поскольку внашем подходе все каналы входят на равных основаниях, за исключениемразличия в плотности конечных состояний, которое эффективно учитыℓ+1/2вается фактором −2 ∝ −1 , подобная зависимость от энергии ∝ появляется и в парциальной ширине испускания медленных частиц в ℓ-тойпарциальной волне. Как мы помним из теории рассеяния, подавление высших парциальных волн идёт от центробежного барьера, и параметроммалости является , где характеризует радиус взаимодействия.4.12. Интерференция резонанса и потенциального рассеянияУзкий резонанс соответствует квазистационарному состоянию, котороеблизко к связанному благодаря взаимодействиям внутри составной системы. На практике резонансы в сечении наложены на плавный фон. Плавнаячасть сечения обязана процессам, которые не влекут образования долгоживущих внутренних состояний.
Слабая зависимость фона от энергии показывает, что соответствующие взаимодействия протекают на малых временныхмасштабах (прямые процессы). В более глубокой микроскопической теорииэто может рассматриваться как признак присутствия высокоэнергичных резонансов, от которых видны только низкоэнергетические хвосты, или оченьшироких (короткоживущих, таких как сверхизлучательных) возбуждённыхсостояний, которые теряют свой резонансный характер. Потенциальноерассеяние также может приводить к тем же конечным состояниям, что ираспад узкого резонанса, и все эти процессы интерферируют.Для простоты рассмотрим один -волновой резонанс.
Упругое рассеяниесостоит из резонансной части и «потенциальной» части, которая включает все вклады с плавной зависимостью от энергии. Эти части должныскладываться когерентно, на уровне амплитуд :el = res + pot .(4.101)4.12. Интерференция резонанса и потенциального рассеяния131Упругое сечение содержит интерференционный вкладel = 4|el |2 = 4|res + pot |2 .(4.102)Два вклада в (4.101) различимы по их энергетической зависимости; мыпредполагаем, что резонансная часть res может быть распознана по еёбрейт—вигнеровской форме (4.93).Разложение на резонансную и потенциальную части естественно возникает из феноменологического анализа -матрицы, если последняя имеет резонансный полюс в комплексной плоскости энергии.
Радиальная -волноваяфункция в асимптотической области > входного канала выражается,см. (2.16), с помощью матричного элемента ≡ 0 как() ∝ − − .(4.103)Зависящая от энергии величина определяет оба, упругое (4.17) и полноенеупругое (4.19), сечения. Полюса их аналитического продолжения намнимую ось = дают энергии возможных связанных состояний, см.разд. 4.4. Теперь мы ищем квазистационарные состояния, связанные сполюсами при комплексной энергии ℰ.Если бы мы могли создать в реальности состояние с этой комплекснойэнергией, то соответствующий волновой вектор был бы также комплексным. Для долгоживущего состояния Γ ≪ 0 :√︃√︂(︂)︂(︂)︂2Γ2 0=0 − Γ ≈ 0 1 − , 0 =.(4.104)~2240~2В полюсе мы можем пренебречь первым членом в (4.103), который даётпадающую волну.
Оставшаяся расходящаяся волна имеет растущую набольших расстояниях интенсивность2 ≈ 0 ( Γ/2~0 ).(4.105)Эта ненормируемая функция описывает волну частицы, испущенной изнестабильного состояния и движущейся из начала координат со скоростью = ~0 / . Действительно, восстановив зависящий от времени фактор(4.58), мы имеем в точке комплексного полюса() ∝ 0 −(/~)0 (Γ/2~)[(/)−]волновой пакет, движущийся наружу со скоростью .(4.106)132Глава 4. Реакции, распады и резонансыВ задаче рассеяния элементы -матрицы должны находиться при сшивке внешней волновой функции (4.103) с реальным решением уравненияШрёдингера при той же положительной энергии внутри области взаимодействия < .
Фактически мы должны знать только логарифмическуюпроизводную внутренней волновой функции на поверхности сшивки = .Удобно определить безразмерную логарифмическую производную(︂)︂1 .(4.107)() = =Предполагая эту функцию известной в точке = − 0, мы можем записатьусловие сшивки функции (4.103):() = −1 + 21 − 2 = −−2 − . + (4.108)Если бы не было неупругих каналов, () была бы действительной иуравнение (4.108) немедленно показало бы, что || = 1, как и должно бытьв упругом рассеянии (2.2). В общем многоканальном случае () естькомплексная функция, которую можно разделить на действительную имнимую части:() = 1 () − 2 () = −−2( − 2 ) − 1.( + 2 ) + 1(4.109)В присутствии поглощения (неупругие каналы) || < 1; легко видеть, что всилу этого неравенства 2 > 0. Используя (4.17) и (4.19), выразим упругоеи неупругое сечения как⃒⃒2⃒4 ⃒⃒ −2 2−el = 2 |1 − | = 2 ⃒−sin ⃒⃒ ,(4.110) − inel =)︀ 4 (︀21 − ||2 = 2.2 ( + 2 )2 + 21(4.111)Глядя на выражение (4.110), естественно сделать разложение (4.101,4.102),вводя амплитуду потенциального рассеяния, в согласии со стандартнымопределением (3.12),pot =1 0 sin 0 ,0 = −.(4.112)4.12.
Интерференция резонанса и потенциального рассеяния133Фаза рассеяния 0 была бы единственным эффектом рассеяния на непроницаемой сфере радиуса , см. (2.41). В нашем случае возможно проникновение в область взаимодействия, что и есть источник появленияквазистационарных состояний, скрытых в резонансной части амплитудырассеяния1res = 20.(4.113) − Заметим, что -матрица потенциального рассеяния, pot = 20 , входит врезонансную амплитуду как дополнительный фактор, потому что рассеяние на квазистационарном уровне с необходимостью включает свободноедвижение вне сферы взаимодействия, которое связано с фазой рассеяния0 = −.Для нахождения условий существования узкого резонанса рассмотримобласть низких энергий, ≪ 1, в которой доминирует -волновое рассеяние. Резонансная часть (4.113) может быть значительной, только есликомплексная величина тоже мала, || ∼ .
Мы бы имели точный резонанс (полюс амплитуды res ), если бы было 1 = 0, 2 = −. Как мыуже обсуждали, это соответствовало бы квазистационарному состоянию,достигаемому в упругом рассеянии. Однако это невозможно в физическойобласти в присутствии неупругих каналов, когда должно быть 2 > 0. Темне менее, для малых 2 > 0 мы всё ещё можем видеть узкий резонанс.Действительно, пусть 0 есть реальная часть энергии, где 1 (0 ) = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
