1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Их компоненты определяют амплитуды различных скрытых состояний, связанных свнутренней структурой. Соответствующие волновые уравнения описываютдинамику этих компонент и, следовательно, они более сложны, чем УКГ.Однако дисперсионное соотношение для частицы в целом по-прежнемузадается соотношением (5.13). Следовательно, даже в этом случае волноваяфункция свободного движения должна быть решением УКГ.
По построению, отыскивая решение (5.38) как собственное состояние оператора ^,Ψ() ≡ Ψ(, x) = const · −(·) = const · −(−p·x) ,(5.40)где = (, p) — собственное значение ^ , мы находим желаемое дисперсионное соотношение (5.13) между и p.Другие виды решений соответствуют полю, создаваемому источникомчастиц, которые описываются УКГ. Пусть, например, тяжелая точечнаячастица расположена в начале координат. В модели нуклона сильные взаимодействия создают пионное поле вокруг источника. Реальные пионы смассой удовлетворяют УКГ, но в поле, создаваемом нуклонами, квантывиртуальны.
Статическое сферически симметричное решение для пионного поля должно иметь сингулярность в центре, как в электростатическомслучае. Такое решение имеет вид(r) =1 −/,(5.41)5.7. Сохранение тока145где = 1/ , или ~/ в обычных единицах, есть комптоновская длинаволны пиона. Поле экспоненциально падает на расстоянии ∼ в соответствии с простейшими оценками (см. задачу I.5.15).
Пион как легчайшаячастица, участвующая в сильных взаимодействиях (адрон), определяетдиапазон ядерных сил (см. рис. I.5.12). На меньших расстояниях силыопределяются более тяжелыми мезонами с меньшей комптоновской длиной волны. В пределе, когда массой пиона можно пренебречь, потенциалЮкавы (5.41), см. задачу I.1.8, переходит в обычный кулоновский потенциал точечного заряда, когда силы переносятся безмассовыми частицами(фотоны в электродинамике).5.7. Сохранение токаСохранение вероятности является необходимым требованием к теории.Такие свойства, локальные законы сохранения, выражаются уравнениямитого же типа, что и уравнение непрерывности (I.2.11).
В релятивистскомслучае мы рассматриваем векторное поле тока () = ( 0 (), j()),(5.42)зависящее от координат = (, r), где 0 () = () — плотность сохраняющейся величины. В соответствии с уравнением (I.2.12) сохраняющаясяконстанта движения является объёмным интегралом временно́й компоненты тока по всему пространству:∫︁ = 3 0 .(5.43)Ток, удовлетворяющий уравнению непрерывности, называется сохраняющимся током. Электрический ток сохраняется, поскольку полный электрический заряд является точным интегралом движения.
Другие интегралыдвижения могут генерировать свои собственные сохраняющиеся токи.Вводя 4-вектор градиента (5.26), перепишем уравнение непрерывностикак 0 0 − (−∇ · j) = 0. Это не что иное, как инвариантное скалярноепроизведение (5.22) 4-градиента и 4-тока (5.42), или 4-дивергенция тока, ≡ = 0.(5.44)В более общих случаях возникают сохраняющиеся тензоры более высокихрангов, удовлетворяющие уравнению ······ = 0.(5.45)146Глава 5. На пути к релятивистской квантовой механике∫︀Тогда все компоненты объемного интеграла 3 ···0··· являются интегралами движения.
Сохранение нерелятивистского тока (разд. I.7.3) следует изуравнения Шрёдингера для свободного движения и для движения в любомдействительном внешнем потенциале (, r). Этот закон сохранения эквивалентен унитарности — сохранению полной вероятности всех возможныхэкспериментов, выполняемых с частицей. Однако переменные , уравнение(I.2.5), и j из уравнения (I.7.54), не образуют 4-вектор, так как описание,очевидно, не является Лоренц-ковариантным.Определим 4-ток для УКГ как релятивистское обобщение шрёдингеровского тока вероятности (I.7.54): () =[Ψ* ( Ψ) − ( Ψ* )Ψ].2(5.46)Легко проверить, что этот ток сохраняется. Уравнение (5.44) удовлетворяется, поскольку в выражении члены с произведением градиентоввзаимно уничтожаются, в то время как члены с 2 уничтожаются в силуУКГ для Ψ и Ψ* .Релятивистский ток (5.46) можно представить как 4-градиент фазы,также как в (I.7.61).
Он исчезает для вещественных полей Ψ = Ψ* , подобнотому, как это было в случае пространственных компонент тока j в нерелятивистской задаче. Однако временна́я компонента в (5.46), очевидно,ведет себя не так, как в нерелятивистском случае (I.2.5).
Чтобы понятьразницу, вычислим ток (5.46) для плоской волны (5.40). Это дает, в полнойаналогии с шрёдингеровским случаем, см. уравнения (I.2.27, I.2.33), = 2|Ψ| .(5.47)Временная компонента тока (5.46) равна0 = =|Ψ|2 .(5.48)Из (5.17) видно, что разница с нерелятивистским случаем обусловлена-фактором (5.7), = /. В системе отсчёта частицы → , и (5.48)сводится к (I.2.5). Это приближенно справедливо и для медленного движения вплоть до поправок ∼ 4 к кинетической энергии (5.18). В системеотсчёта, в которой частица движется со скоростью , имеет место лоренцевское сокращение длины вдоль направления движения на величину 1/.Чтобы сохранить значение сохраняющейся величины, плотность должна5.8. Частицы и античастицы147возрастать на множитель = /. Это то, что мы получили в уравнении(5.48).
Важно, что плотность — это временна́я компонента 4-вектора, а нелоренцевский скаляр.5.8. Частицы и античастицыВследствие линейности УКГ (5.38) любая суперпозиция плоских волн(5.40) с правильным соотношением (5.13) между энергией и импульсомснова является решением УКГ. И наоборот, плоские волны образуют полный набор, так что любое решение УКГ может быть представлено ихсуперпозицией.Однако дисперсионное соотношение (5.13), выведенное из УКГ, квадратично и разрешает оба знака для , в противоположность «нормальному»физическому требованию положительности энергии (5.14).
С другой стороны, решения с < 0 не могут быть отвергнуты как нефизические, посколькуэто может разрушить полноту решений для плоских волн и нарушитьпринцип суперпозиции. Следует заключить, что такие решения допустимы,но < 0 не может интерпретироваться как энергия частицы.Отметим, что сохраняющаяся плотность (5.48) отрицательна для решений с отрицательной «энергией». Следовательно, невозможно интерпретировать эту плотность как плотность вероятности, как это было сделанов нерелятивистской квантовой механике. Но можно интерпретировать сохраняющуюся величину как некий заряд такой, что для решений в видеплоской волны знаки для положительной и отрицательной противоположны.Таким путём мы приходим к идее античастиц, которые описываютсясостояниями, удовлетворяющими тому же самому уравнению, но с <0.
Любой сохраняющийся заряд принимает противоположные значениядля частиц и античастиц. Для вещественного поля = 0; отсутствиесохраняющихся зарядов делает в этом случае частицы тождественными ихантичастицам (нейтральное поле).Для < 0 положительная величина − = || должна интерпретироватьсякак энергия античастицы. Иногда всё ещё удобно говорить о положительнойи отрицательной «энергиях», имея в виду различные решения УКГ. Для|| > в случае массивного поля, ̸= 0, эти классы решений разделеныэнергетической щелью Δ = 2 (верхний и нижний континуум). Существование античастиц в некотором смысле является следствием лоренцевскойинвариантности. Попытка обойти проблему знака энергии выполнениемквантования (5.25) в уравнении (5.14) вместо (5.13) привела бы к уравнению148Глава 5. На пути к релятивистской квантовой механикес производной по времени первого порядка, но с пространственными производными до бесконечного порядка, которые возникают из-за разложенияквадратного корня в (5.14).Интерпретация в терминах частиц и античастиц с положительнымиэнергиями, но c противоположными зарядами, получает бо́льшую ясность вквантовой теории поля.
После вторичного квантования, глава 11, поле Ψ()становится оператором в пространстве Фока. Это пространство объединяетвсе состояния гильбертовых пространств с произвольным числом частици античастиц. Ψ-оператор уничтожает частицы и создает античастицы,уменьшая в обоих случаях заряд системы. Соответствующие члены вразложении плоской волны Ψ-оператора имеют вид (5.40) с положительнойи отрицательной соответственно. Тогда в обоих случаях есть разностьэнергий − между начальным и конечным состояниями системыс числом частиц в конце = ∓ 1. Такая формулировка близка кквантованию электромагнитного поля (разд.
II.13.3).Для того чтобы увидеть, что понятия частицы и античастицы непротиворечивы в простейшем случае ненулевого заряда, а именно электрическогозаряда, мы должны обобщить УКГ, чтобы описать не только свободноедвижение, но и движение во внешнем электромагнитном поле.5.9. Электромагнитное полеВекторный потенциал A() и скалярный потенциал () ≡ 0 () образуют 4-вектор электромагнитного потенциала () = (0 (), A())(5.49)со стандартным поведением (см. уравнение (5.29)) при лоренцевских преобразованиях.Как уже обсуждалось в разд. I.13.2, электромагнитные потенциалы неопределяются единственным образом электромагнитными полями.
Сохраняя векторный характер A(, r), можно сделать калибровочное преобразование:A(, r) ⇒ A′ (, r) = A(, r) + ∇ (, r),(5.50)(5.51)с той же функцией (, r), как в (5.50). В ковариантных обозначенияхуравнения (5.26) калибровочное преобразование (5.50, 5.51) 4-векторного(, r) ⇒ ′ (, r) = (, r) −5.9. Электромагнитное поле149потенциала (5.49) имеет вид () ⇒ ′ () = () − ().(5.52)Используя два 4-вектора, градиент (5.26) и векторный потенциал (5.49),введем тензор поля = − .(5.53)По построению, этот тензор антисимметричный, = − , и, следовательно, имеет шесть независимых (недиагональных) компонент.
Прямоесравнение с (I.13.6) и (I.13.7) показывает, что (, = 1, 2, 3) 0 = − 0 = ℰ (5.54) = − ℬ (5.55)(электрическое поле) и(магнитное поле). Здесь — 3-мерный антисимметричный тензор. Такимобразом, «векторы» электромагнитного поля ℰ и ℬ в действительностиявляются компонентами антисимметричного тензора, а не векторами впространстве Минковского.Следующее тождество является формальным следствием определения(5.53): + + = 0.(5.56)Легко видеть, что эта комбинация антисимметрична по отношению ко всемтрем индексам и, следовательно, (5.56) содержит только (4 · 3 · 2)/3! = 4независимых уравнения, которые соответствуют первой паре уравненийМаксвелла, не содержащих зарядов и токов:div ℬ = 0,(5.57)ℬℬ.(5.58)Вторая пара демонстрирует, как поля генерируются зарядами и токами:curl ℰ = −div ℰ = 4ch ,curl ℬ =ℰℰ+ 4 jch .(5.59)(5.60)150Глава 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
