1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 24
Текст из файла (страница 24)
На пути к релятивистской квантовой механикеЭти уравнения, выраженные в терминах тензора (5.53) и вектора тока, какв (5.42), явно Лоренц-ковариантны: = 4ch.(5.61)Уравнение (5.56) может быть выражено в другой форме, используяполностью антисимметричный 4-тензор , подобный 3-тензору (I.4.38),но имеющий 6! = 24 независимых компонент, равных ±1. Свертка с нимтензора поля (5.53) даёт так называемый дуальный тензор1˜ = .2(5.62)Этот новый тензор также является антисимметричным, но в нём поменялись местами электрические и магнитные поля:0 = ℬ , = − ℰ .(5.63)Теперь мы можем записать уравнение (5.56) в форме = 0,(5.64)где очевидно, что существуют только четыре независимых уравнения.5.10.
Принцип минимальности электромагнитной связиСистема уравнений Максвелла достаточна, чтобы определить поля, заданные распределением зарядов и токов во времени и пространстве. Втораяпара (5.59, 5.60) накладывает ограничения на эти распределения. Поскольку div curl≡ 0, эти уравнения совместны, только если плотность зарядаи плотность тока удовлетворяют уравнению непрерывности. Это следуетнемедленно из ковариантной формы (5.44), (5.61): из-за антисимметриитензора поля, ≡ 0. Таким образом, электромагнитное поле взаимодействует с сохраняющимся током.
Характер взаимодействия может бытьзафиксирован требованием калибровочной инвариантности.Мы знаем, что калибровочная инвариантность эквивалентна фазовомупреобразованию (I.13.26) волновой функции заряженной частицы; в нашихединицахΨ → Ψ () ,(5.65)5.10. Принцип минимальности электромагнитной связи151где — электрический заряд частицы, а () — произвольная регулярнаякалибровочная функция координат и времени. При этом преобразовании(︁)︁ Ψ → ( Ψ) + ( )Ψ .(5.66)Уравнения, содержащие оператор 4-импульса (5.26), будут изменяться всоответствии с(︁)︁^ Ψ → (^ Ψ) − ( )Ψ .(5.67)Изменение калибровки (5.65) волновой функции будет компенсироваться,если заряд взаимодействует с векторным полем с помощью «удлинённойпроизводной» → ≡ + .(5.68)Поле, возникающее таким образом, должно иметь свое калибровочноепреобразование (5.52) с той же функцией (), как в (5.65), чтобы уравненияне зависели от калибровки.
На этом языке электромагнитное поле являетсякалибровочным векторным полем, и мы приходим к рецепту введениявзаимодействия заряженной частицы с электромагнитным полем путемподстановки^ → ^ − ,(5.69)использованной ранее (см. главу I.13) по аналогии с классической теорией. Это так называемая минимальная связь.
Процедура является болеесложной для частиц с нетривиальной внутренней структурой.УКГ (5.38) для заряженной частицы, взаимодействующей с электромагнитным полем (, A), принимает вид{︃(︂}︃)︂222(^ − ) Ψ ≡− − (^p − A) Ψ = 2 Ψ.(5.70)Например, для отрицательного пиона заряд −, в статическом кулоновскомполе ядра с зарядом мы приходим к аналогу уравнения Шрёдингерадля водородоподобного атома:{︃(︂}︃)︂222^ Ψ = 2 Ψ.+−p(5.71)Это уравнение можно применить к пионным (или каонным с отрицательным каоном вместо пиона) атомам для состояний, которые не проникают152Глава 5.
На пути к релятивистской квантовой механикевглубь ядер, где ядерные силы, игнорируемые в уравнении (5.71), становятся доминирующими. Даже на атомных орбитах, далеких от ядер, эти силывсе еще важны, становясь ответственными за возможный ядерный захватпиона или каона, эффект, который вместе с электромагнитным (обычнорентгеновским) излучением делает все мезоатомные орбиты, включая основное состояние, квазистационарными. Пренебрегая захватом, мы можемопределить водородоподобные спектры таких мезоатомов.Задача 5.1Используйте нерелятивистское уравнение Шрёдингера для атома водорода в качестве реперной точки, чтобы найти спектр связанных состояний,предсказываемых уравнением (5.71).Решение.Стационарные состояния с энергией являются решениями задачи насобственные значения{︃(︂)︂2 }︃222^ + − +p(r) = 0.(5.72)Со стандартной процедурой отделения угловых переменных уравнениеможет быть переписано для радиальной функции ℓ () = ℓ ()/ ℓ-тойпарциальной волны как}︂{︂2ℓ(ℓ + 1) − 2 4 22− 2+−ℓ = ( 2 − 2 )ℓ .(5.73)2Это согласуется с уравнением (I.18.2) для атома водорода с очевиднымсоответствием:ℓ(ℓ + 1) ⇒ ℓ(ℓ + 1) − 2 4 , 2 ⇒ 2 − 2 ,2 ⇒ 2.(5.74)В уравнении Шрёдингера спектр связанных состояний (I.18.14) описывалсяуравнением 2 4ℓ = −,(5.75)22где главное квантовое число (I.18.13), = + ℓ + , отличается от ℓ нацелое число.
Теперь вместо ℓ мы должны использовать ℓ′ , как это следует5.11. Фотопоглощение при высоких энергияхиз первого равенства (5.74),√︀ℓ′ = (ℓ + 1/2)2 − 2 4 − 1/2 ≡ ℓ − Δℓ ,153(5.76)где Δℓ , определённое этим уравнением, есть требуемый сдвиг ℓ и, следовательно, также главного квантового числа.
Используя подстановки (5.74) и(5.76), получим вместо (5.75)2 − 22ℓ 2 4 ℓ=−.22( − Δℓ )2 2(5.77)Это новое уравнение для ℓ с результатом.ℓ = √︀1 + [ 2 4 /( − Δℓ )2 ](5.78)«Случайное» кулоновское вырождение (см. разд. II.3.2) исчезает и уровнивнутри главной оболочки расщепляются в соответствии с их угловыммоментом ℓ. Нерелятивистский предел соответствует разложению в рядыпо степеням 2 4 = ()2 ,{︂[︂]︂}︂()2()2 ()4 31Δℓ ≈, ≈ 1−+−.(5.79)2ℓ + 12238 2ℓ + 1Эта теория перестает работать при > 1/2, когда, в соответствие с (5.76),Δ0 становится комплексной. В таких сильных полях одночастичная аппроксимация не работает, размер орбиты становится порядка комптоновскойдлины волны, что нарушает релятивистские соотношения неопределённостей (5.3).Релятивистские поправки, предсказанные УКГ, не согласуются с экспериментальными данными по тонкой структуре водородоподобного спектрадля ионов с одним электроном.
Это показывает, что УКГ для скалярнойфункции Ψ не описывает квантовое поведение релятивистских электронов.Однокомпонентная функция Ψ соответствует частице со спином = 0.Для частиц с бо́льшим спином существует внутренняя многокомпонентнаядинамика в дополнение к общерелятивистскому требованию, чтобы каждаякомпонента удовлетворяла УКГ.5.11.
Фотопоглощение при высоких энергияхЗдесь мы сделаем поверхностный обзор некоторых процессов при энергиях выше, чем те, при которых применима нерелятивистская квантовая154Глава 5. На пути к релятивистской квантовой механикемеханика. Чтобы облегчить сравнение порядков величин, мы вернемся кобычным единицам.Сечение атомного фотоэлектрического эффекта падает при ~ ≫ 2 ,как обсуждалось в разд. II.14.8. Фотоэффект — это главный канал поглощения мягкого гамма-излучения до энергий ~ ∼ (10 − 100) КэВ. Наширезультаты хорошо работают до ~ ≈ 2 /2, и фотопоглощение на оболочке даёт главный вклад в полный эффект.
Когда мы доходим до ~порядка нескольких МэВ, главный механизм поглощения гамма-лучей этоэффект Комптона (гл. I.1), рассеяние света на электронах, которые могутрассматриваться как свободные частицы при таких больших значениях ~.Используя результаты вычислений разд. II.14.8, мы можем проследить переход рассеяния света на связанных электронах в комптоновское рассеяние,где электрон может рассматриваться как свободная частица.При возрастании длина волны фотона становится меньше размероватома. В матричных элементах (II.15.61) и (II.15.62) функция (k·r) осциллирует на размерах атома, и амплитуда рассеяния с переходами электронав дискретном спектре быстро убывает.
Это то же самое, что и уменьшение атомного форм-фактора с увеличением передачи импульса, см. разд.II.12.3. Тогда, по аналогии с рассеянием заряженных частиц, роль процессов, связанных с переходом атомного электрона в континуум, возрастает.Если конечный импульс электрона близок к p = ~(k − k′ ), осциллирующая′экспонента (k−k )·r компенсируется плоской волной электрона. В этомслучае для заданного угла рассеяния между k и k′ частота ′ рассеянного фотона определяется законами сохранения импульса и энергии,которые те же самые, что и для рассеяния свободного электрона, — это тотже эффект Комптона.
В результате появляется узкая линия с частотой ′ ,определённой выражением (I.1.7),′ =.1 + (~/2 )(1 − cos )(5.80)Ширина линии Комптона (5.80) зависит от неопределенности Δ импульса электрона в атоме. В пределе ~/2 ≪ 1 комптоновское рассеяниепереходит в томсоновское рассеяние свободных электронов с сечением(II.15.86).При высоких энергиях ~ ≫ 2 для не слишком малых углов рассеяния конечная длина волны ′ = 2 (1 − cos ) не зависит от начальнойчастоты , поскольку определяется комптоновской длиной волны .
Точное вычисление комптоновского рассеяния в квантовой электродинамике!!Vladimir Zelevinsky: Quantum Physics — Chap. zelevinskyc11 — 2010/10/5 — page 242 — le-tex5.11. Фотопоглощение при высоких энергиях242!!15511 Towards Relativistic Quantum MechanicsσTotalphotoabsorptionPaircreationCompton effectPhotoeffect1210100!ωmc21000Figure 11.1 The role of various mechanisms of photoabsorption.Рис. 5.1. Роль различных механизмов фотопоглощения11.12Nuclear Photoeffectдаётся формулой Клейна—Нишины—Тамма,1929-1930 [30],Starting from a few MeV of photon energy, the nuclear photoeffect becomes possible. The photon is(︂absorbed by the nucleus, while one or few )︂nucleons are knocked′2energy of a nucleon7–8 MeV, although itout (binding ′ in the nucleus is typically2 ′* 2+ up to hundreds− 2 + 4(ee ) bound, nuclei). Due to (5.81)can=beconsiderablysmaller,keV in· loosely02′the strong4 betweenthe nucleons in the nucleus, relatively long-livedinteractionnuclear states at excitation energy above the separation threshold exist.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
