1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Зарядовое сопряжение171сопряжения удовлетворяет матричным соотношениям(− * ) −1 = ,⃗* −1 = ⃗.(6.38)Очевидно, что такая матрица существует, поскольку матрицы ′ = − * и ′ = * удовлетворяют тем же коммутационным соотношениям, что и исходные матрицы, и могут быть получены из них унитарным преобразованием.Такой выбор даже не единственен.Задача 6.3Найти матрицу в стандартном представлении (6.7) матриц Дирака,наложив дополнительное условие † = = −1 .(6.39) = 2 = 2 .(6.40)Решение.Таким образом, у нас есть пара биспиноров Ψ и Ψ , описывающих движение (в том же самом внешнем поле) частиц с зарядами ±. Решение Ψдолжно принадлежать античастице, если решение Ψ описывает частицы.Если Ψ — собственный вектор гамильтониана с энергией и все его компоненты имеют одинаковую зависимость от времени − , все компонентыбиспинора Ψ* имеют зависимость от времени , как для энергии −.При свободном движении Ψ и Ψ — решения того же уравнения с противоположными знаками энергии.
Как обсуждалось в разд. 5.8 в связи срелятивистским законом дисперсии, решения с энергиями ± появляютсяпарами. Без внешних полей, действующих на заряд, частицы и античастицынеразличимы. Выполняя операцию зарядового сопряжения над решениемс отрицательной энергией, мы получим физическое решение с положительной энергией, фактически совпадающее с решением для частицы. Вприсутствии внешних полей решение для частицы отлично от решениядля античастицы; из решения с < 0 и заданным зарядом с помощьюзарядового сопряжения мы получим решение с > 0 и противоположнымзарядом.
Зарядовое сопряжение позволяет использовать вместо решениядля электрона с < 0 и < 0 решение для позитрона с > 0 и > 0.172Глава 6. Уравнение Дирака: формализм6.5. Релятивистские преобразованияФизические процессы не зависят от выбора лоренцевой системы отсчёта.Во всех таких системах уравнения для физических законов имеют одну и туже форму, будучи выраженными через величины, относящиеся к выбраннойсистеме отсчёта. Наши уравнения можно переписать в ковариантной форме,которая ясно показывает, что все члены подчиняются единым правилампреобразования.Используя контравариантный оператор импульса (5.26), запишем уравнение Дирака (6.15) как( − )Ψ = 0.(6.41)Теперь выполним преобразование Лоренца (5.29), заданное матрицей Λ.Если бы матрицы преобразовывались как компоненты 4-вектора, то была бы инвариантом. Тогда волновая функция Ψ в новой системе отсчета удовлетворяла бы тому же уравнению (6.41), то есть былабы инвариантом (релятивистский скаляр).
Однако наши величины являются универсальными матрицами, не зависящими от системы отсчёта.Тогда релятивистская ковариантность уравнения Дирака требует, чтобыволновая функция Ψ преобразовывалась определённым образом. Должносуществовать линейное преобразование Ψ′ = Ψ(6.42)такое, что новая функция Ψ′ в новой системе координат удовлетворяетуравнению того же самого вида( ′ − )Ψ′ = 0.(6.43)В соответствии с релятивистским законом дисперсии (5.12) масса является скаляром; производные ′ относятся к новым координатам.Матрица = (Λ) не может зависеть от координат и должна быть универсальной 4 × 4 матрицей (поскольку биспинор имеет четыре компоненты),полностью определяемой преобразованием Лоренца Λ; она не сингулярна,поскольку обратное преобразование Лоренца определяет обратную матрицу −1 .
В уравнении (6.42) новая функция Ψ′ берётся в точке ′ , в то времякак старая функция Ψ берётся в соответствующей, в смысле уравнения6.5. Релятивистские преобразования173(5.29), точке = Λ−1 ′ ,Ψ′ (′ ) = (Λ)Ψ (Λ−1 ′ ).(6.44)Это очевидное обобщение преобразования волновой функции при вращениях, разд.
II.1.1. Преобразование 4-градиента даёт (5.27)Ψ =ΨΨ ′== Λ ′ Ψ.′ (6.45)Используя (6.45) и (6.42), перепишем исходное уравнение Дирака (6.41) как(︁)︁Λ ′ − −1 Ψ′ = 0,(6.46)или, умножая на матрицу слева, Λ −1 ′ Ψ′ − Ψ′ = 0.(6.47)Уравнение (6.47) для преобразованной волновой функции будет удовлетворять условию релятивистской ковариантности, то есть совпадать с(6.41), если Λ −1 = −1 = Λ .(6.48)Это условие, которое определяет матрицу , и, следовательно, правилопреобразования (6.42) волновой функции Дирака при преобразованияхЛоренца. Выбор матрицы может быть фиксирован дополнительнымусловием (фактически нормировкой функции Ψ), например,det = 1.(6.49)Нетрудно понять смысл условия (6.48). Если бы волновая функция Ψ быласкаляром (Ψ′ = Ψ), ковариантность была бы очевидна, для матриц ,преобразующихся как 4-вектор: ⇒ ′ = Λ .(6.50)Теперь мы хотим найти такое преобразование , которое возвращало бы-матрицам их исходную форму.
Как всегда, при преобразовании (6.42)операторы трансформируются в соответствии с′ ⇒ ′′ = ′ −1 = Λ −1 .(6.51)174Глава 6. Уравнение Дирака: формализмТребование ′′ = и есть условие ковариантности (6.48).6.6. Оператор спинаВозможные преобразования координат системы отсчёта включают обычные трёхмерные вращения. Генератор такого преобразования связан соспином дираковской частицы.Здесь простая техника состоит в прямом обобщении того, что былосделано для нерелятивистской частицы в разд.
II.1.2. Мы проиллюстрируемэто, найдя матрицы для вращения: ≡ ℛ (). Для бесконечно малогоугла поворота , в соответствии с разд. II.1.1,′ = − , ′ = + , ′ = ,′ = .(6.52)Матрица преобразования Λ в окрестности начала координат может бытьзаписана какΛ = 1 + · ,(6.53)где 4 × 4 матрица с матричными элементами играет роль генераторапреобразования. Уравнение (6.52) показывает, что12 = −21 = −1.(6.54)Матрица ℛ также близка к единичной матрице,ℛ = 1 + · ,(6.55)где матрицу нужно ещё определить.
С той же точностью ℛ−1 = 1 − · иℛ−1 ℛ = (1 − · ) (1 + · ) = + [ , ].(6.56)С другой стороны, уравнения (6.48) и (6.53) требуют, чтобы это совпадалосΛ = + .(6.57)Таким образом, матрица должна удовлетворять условию[ , ] = (6.58)6.6. Оператор спина175или явно[1 , ] = −2 ,[2 , ] = 2 .(6.59)Решением этих уравнений является=11 2 + ,2(6.60)где — матрица, коммутирующая с 1 и 2 . Однако нормировка (6.49)требует выполнения условийdet (1 + ) = 1 + tr( ) = 1,tr( ) = 0,(6.61)которые исключают матрицу и дают=11 2 .2(6.62)В стандартном представлении (6.9) этот результат имеет вид)︂)︂(︂(︂1 1 203 0=−.
=−01 20 322(6.63)Теперь естественно определить оператор спина дираковской частицы как^s =1Σ,2(6.64)где релятивистские 4 × 4 матрицы спина(︂)︂ 0Σ=.0 (6.65)Таким образом, генератор вращений определяется аналогично нерелятивистскому случаю = − Σ3 = −^3 ,(6.66)2и так же для вращения вокруг других осей.Алгебра 4 × 4 матриц Σ не отличается от алгебры матриц Паули. Какобычно, мы можем восстановить унитарный оператор конечного вращенияℛ () = = −^3 = −(/2)Σ3 = cos− sin Σ3 .22(6.67)176Глава 6.
Уравнение Дирака: формализмКак и должно быть для частицы со спином 1/2, см. разд. II.5, вращениена полный угол 2 даёт ℛ ( + 2) = −ℛ ().Задача 6.4Найти преобразование ( ) волновой функции Дирака, отвечающее лоренцеву преобразованию — бусту, переходу к системе отсчета, движущейсясо скоростью вдоль оси относительно исходной системы.Решение.Решение аналогично случаю вращения, но получающаяся матрица неунитарна,( ) = cosh + 1 sinh , tanh = (6.68)22или tanh = / в обычных единицах; величина носит название быстрота(rapidity).Отсутствие унитарности в представлении группы Лоренца отражаетхарактер преобразований.
В противоположность вращению с компактныминепрерывными параметрами, углами, «угол» буста не компактен, онизменяется от −∞ до +∞. В практических задачах этот параметр можетбыть удобен, потому что если буст происходит вдоль той же оси в дваприема, с параметрами 1 и 2 , то полный буст аддитивен, = 1 + 2 , впротивоположность более сложному лоренцевскому сложению скоростей.6.7. Билинейные ковариантные комбинацииТеперь нужно определить, как наблюдаемые физические величины (матричные элементы различных операторов) трансформируются при преобразованиях Лоренца.
Начнем с величины, правило преобразования которойможет быть установлено на основе общих соображений.4-вектор тока (6.31) должен преобразовываться так же, как векторкоординат (5.5). Используя сопряжённый спинор Дирака Ψ̄ и совершаяпреобразование Лоренца Λ, получим ⇒ ′ = Λ = Λ Ψ̄ Ψ = Ψ̄(Λ )Ψ,(6.69)где матрицы определены в соответствии со стандартным правилом (5.21).Из условия (6.48) лоренцевой ковариантности уравнения Дирака следует,что ′ = Ψ̄ −1 Ψ.(6.70)6.7. Билинейные ковариантные комбинации177Преобразование сопряжённого спинора даётся выражениемΨ̄′ = (Ψ)′† 0 = Ψ† † 0 = Ψ̄0 † 0 .(6.71)Следовательно, преобразование вектора тока должно иметь вид ′ = Ψ̄′ Ψ′ = Ψ̄0 † 0 Ψ.(6.72)Два выражения, (6.70) и (6.72), совпадают, если0 † 0 = −1 .(6.73)Ниже мы покажем, что это соотношение верно.Задача 6.5Доказать, что оператор 0 † 0 коммутирует со всеми матрицами .Решение.Запишем условие релятивистской ковариантности для биспинора Ψ† ииспользуем свойства эрмитова сопряжения, разд.
6.2:† = 0 0 .(6.74)Существуют 16 линейно независимых 4 × 4 матриц. Мы можем выбратьбазис в этом операторном пространстве следующим образом: единичная^ — скаляр; 4 матрицы — вектор; 6 матрицматрица 1 = [ , ] = −2(6.75)— антисимметричный тензор; 4 матрицы 5 — псевдовектор (см.
определение (6.16) матрицы 5 ); матрица 5 — псевдоскаляр; множитель добавлен для эрмитовости. Смысл этих терминов будет ясен несколько позже,но очевидно, что только единичная матрица коммутирует со всеми (формально это можно утверждать, ссылаясь на лемму Шура, разд. I.8.12).Следовательно, результат задачи 6.5 показывает, что^0 † 0 = = const · 1.(6.76)Теперь мы можем найти константу . Во-первых, матрица 0 † очевидноэрмитова.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
