1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Особый случай возникает при = 0. Тогда система уравнений (7.95, 7.96) сводится к√︂0−=−=.(7.101)0++7.8. Кулоновское поле201√︀Решение существует, если + = + 2 − ()2 < 0, т. e. < 0. Сучётом этого уровни могут быть пронумерованы таким образом:{︂0, 1, 2, ..., < 0=(7.102)1, 2, ..., > 0.Иногда называется радиальным квантовым числом только для < 0, вто время как для > 0 этот термин относится к − 1.Состояния с одинаковыми и || = + 1/2 вырождены за исключениемуровней с = 0; это остаток «случайного» нерелятивистского кулоновскоговырождения по отношению к ℓ для заданного главного квантового числа.Физическая причина отсутствия вырождения по ℓ состоит в том, чтоорбитальный момент ℓ более не сохраняется из-за спин-орбитальной связи.Может быть, более правильно здесь говорить о вырождении двух состоянийс одинаковыми и чётностью, определяемой верхним спинором (−)ℓ .Задача 7.9Найти нерелятивистский предел дираковского спектра (7.100), включающий члены второго порядка.Решение.Аналог главного квантового числа1 = + || = + + .2Разложение уравнения (7.100) по степеням ()2 даёт[︂(︂)︂]︂()2()2 13(; ) ≈ −1+−,22|| 4(7.103)(7.104)в соответствии с результатом теории возмущений (II.8.42).Благодаря непрерывной зависимости уровней энергии от заряда , мывсё ещё можем характеризовать уровни энергии атома нерелятивистскимиквантовыми числами, взятыми для верхнего спинора.
Невырожденныйуровень каждой оболочки соответствует максимальному орбитальномумоменту ℓmax = − 1, = ℓmax + 1/2, = − − 1/2, и = 0. Низшие202Глава 7. Уравнение Дирака: решениясостояния таковы:11/2 1 0 ℓ −1 0 1/221/221/223/2222110−1 0 1/21 1 1/2−2 1 3/231/231/233/233/235/23333322110−11−22−3011221/21/23/23/25/2(7.105)Здесь вырожденные дублеты помещены вместе и разделены горизонтальными линиями от других дублетов.
Двойные линии разделяют главныеоболочки. Расщепление дублетов радиационными поправками высшегопорядка мало.Детали волновых функций (выраженные в терминах гипергеометрических функций, разд. I.11.5) можно найти в [39]. Мы обсудим√ 2 кратко2только поведение вблизи центра, где волновые функции ∼ −() −1 .Показатель степени здесь отрицателен даже при малых , если || = 1,т. e. для всех - и -уровней.
Однако эта сингулярность очень слабая и непоявляется вовсе, если кулоновский потенциал регуляризован при → 0конечным размером ядра. Ситуация становится более опасной при > 1.Решения сильно осциллируют при → 0, и такое нефизическое поведениепоказывает, что одночастичное уравнение Дирака теряет применимость,так что регуляризация необходима.Связанные кулоновские уровни лежат внутри релятивистской энергетической щели < .
Энергия основного состояния, в соответствии с (7.100),описывается выражением√︀g.s. = (0; −1) = 1 − ()2 .(7.106)Для заряда величиной = 1/ ≈ 137 эта энергия приобретает мнимуючасть, что должно интерпретироваться как распадная неустойчивость состояния, разд. I.5.8. Этого опять можно избежать регуляризацией потенциала.Тем не менее, энергия основного состояния продолжает убывать с ростомзаряда . Существует критический заряд , при котором эта энергия7.9. Статическое однородное магнитное поле203пересекает границу нижнего континуумаg.s. → − at → .(7.107)Точная величина зависит от предположений относительно распределениязаряда внутри ядра ≈ 170.Точка = соответствует нестабильности дираковского вакуума. В самом деле, если существует электронный уровень с < −, вакуум нестабилен по отношению к спонтанному образованию пар.
Электрон родившейсяпары занимает этот уровень, в то время как его позитронный партнеруходит на бесконечность с нулевой кинетической энергией. В результате полная энергия системы уменьшается на величину | + | (суммаэнергий партнеров). На самом деле родиться могут две пары вследствиедвукратного спинового вырождения основного состояния, поэтому частьсистемы, остающаяся после перестройки, имеет заряд −2. Эта теория [40]до настоящего времени не получила экспериментального подтверждениявследствие отсутствия стабильных ядер с зарядом порядка 170. Такие системы могут образовываться на время при столкновении тяжёлых ионов, нодинамические эффекты, рождение позитронов другими конкурирующимимеханизмами и короткое время жизни составной системы не позволяют экспериментально наблюдать реальные эффекты вакуумной нестабильности вкритическом поле.7.9.
Статическое однородное магнитное полеВ этой задаче можно действовать так же, как при выводе уравненияПаули (разд. 7.5), но без разложения по степеням /.Гамильтониан в этом случае содержит только векторный потенциал A,который определяет магнитное поле ℬ = curl A,^ = + · (^p − A).(7.108)Система уравнений для двухкомпонентных спиноров имеет вид + · (^p − A) = ,− + · (^p − A) = .(7.109)Отсутствие скалярного потенциала позволяет точно исключить нижнийспинор и получить уравнение Шрёдингера в замкнутом виде для верхнего204Глава 7. Уравнение Дирака: решенияспинора{︂(︁)︁2 }︂ − − · (^p − A) = 0.22(7.110)Как было показано в задаче II.8.6,(︁)︁2 · ℬ ).
· (^p − A) (^p − A)2 − ((7.111)Ясно, что правильное спиновое гиромагнитное отношение появляется только после того, как минимальный принцип включения электромагнитноговзаимодействия (разд. 5.10) применяется к уравнению Дирака, а не кУКГ, которому удовлетворяет любая компонента биспинора свободногодвижения.Задача 7.10Найти энергетические уровни дираковской частицы в однородном статическом магнитном поле.Решение.Решение находится аналогично тому, что было проделано для нерелятивистской задачи, разд. I.13.5. С магнитным полем ℬ = ℬ и калибровкой,выбранной как в уравнении (I.13.12),[︁]︁ 2 − 2 − ^2 − ^2 − (^ + ℬ)2 + ℬ = 0.(7.112)Продольный импульс сохраняется: ^ = . Спинор может быть взяткак собственное состояние оператора с собственными значениями = ±1.При нашей калибровке импульс также сохраняется и может быть замененконстантой, которая определяет -координату центра орбиты, 0 = − /ℬ.Тогда уравнение принимает вид[︁]︁[︁]︁^2 + (ℬ)2 ( − 0 )2 = 2 − 2 − 2 + ℬ .(7.113)Оператор в левой части (7.112) отвечает нерелятивистскому гармоническому осциллятору с частотой 2||ℬ.
Это определяет энергетический спектруровней Ландау, вырожденных по (или 0 ),2( ) = 2 + 2 + ||ℬ(2 + 1) − ℬ.(7.114)Основной уровень Ландау, = 0 и = /||, не вырожден (орбитальныйи спиновый магнитные эффекты компенсируются); все другие уровни7.9. Статическое однородное магнитное поле205дважды вырождены, например, +1,1 = ,−1 для > 0. Легко убедитьсяв правильном нерелятивистском пределе: для > 0(︂)︂21 ( ) = + + +− ℬ,(7.115)22||с = ||ℬ/ и = ||/2. Нижний спинор может быть найден ввиде (7.109) и при нашей калибровке содержит матрицы Паули и .Этот недиагональный характер спиновой структуры обязан внутреннейрелятивистской связи между спином и орбитальным движением.Дополнительная литература: [30], [32], [35], [37]Нарушение симметрии возникает всегда, когда чтолибо, что ранее считалось ненаблюдаемым, оказывается в реальности наблюдаемым.
Известные примерытаких открытий — это асимметрия физических законов,возникающая при зеркальном отображении, сопряжении частиц и античастиц или обращении хода временине из прошлого в будущее, а наоборот. Оказывается,все эти явления, казалось бы, ненаблюдаемые, фактически наблюдаемы.Ц. Д. Ли. «Физика частиц и введение в теорию поля»Глава 8Дискретные симметрии, нейтрино и каоны8.1. Пространственная инверсия для дираковской частицыЕсли квантовая система инвариантна относительно пространственнойинверсии, то соответствующий оператор ^ коммутирует с гамильтонианом,и стационарные состояния могут классифицироваться по чётности, котораяявляется интегралом движения. Дираковский гамильтониан (6.2) свободнойчастицы, очевидно, был бы скаляром по отношению к инверсии, еслибы матричный оператор мог рассматриваться как полярный вектор,который меняет знак при инверсии пространственных координат.
Однакокак и в случае вращения или преобразования Лоренца (разд. 6.5) матрицыДирака универсальны и, следовательно, нам нужно вернуть гамильтонианк исходной форме с помощью преобразования биспинора Ψ, сравните суравнениями (6.50) и (6.51).Вводя 4 × 4 матрицу инверсии , аналогично уравнениям (6.42) и (6.43),преобразуем биспинорную волновую функцию:Ψ(r, ) ⇒ Ψ (r, ) = Ψ(−r, ).(8.1)208Глава 8. Дискретные симметрии, нейтрино и каоныp ⇒ −^p) уравнение Дирака (6.12)В преобразованной системе координат (^принимает вид:(︂)︂^ ) − Ψ(−r, ) = 0.0 + ( · p(8.2)Уравнение будет инвариантным при инверсии, если мы удовлетворим условиям −1 0 = 0 , −1 = − .(8.3)Решение (8.3) может быть записано как = 0 ,(8.4)где можно ввести произвольный фазовый множитель , равный единицепо абсолютной величине.Следовательно, верхний и нижний двухкомпонентные спиноры преобразуются противоположным образом(r, ) ⇒ (−r, ),(r, ) ⇒ − (−r, ).(8.5)Эти спиноры имеют противоположную внутреннюю чётность, как мы ужевидели в явном решении, см.
уравнение (7.16). Заметим, что две компоненты внутри или преобразуются одинаково. Это соответствует томуфакту, использовавшемуся в нерелятивистской теории, что компонентынерелятивистского оператора спина не изменяются при инверсии (спин,как любой угловой момент, является аксиальным вектором).Двойная инверсия 2 может рассматриваться как тождественное преобразование или как вращение на 2. Для частиц со спином 1/2 вращение на2 меняет знак волновой функции (разд. II.5.1) вследствие двузначностипредставления группы (2).
Это означает, что двойная инверсия можетлибо вернуться к исходной волновой функции, либо поменять её знак:2 22 2 = 0 = = ±1.(8.6)Мы получили четыре возможности = ±1, ± и, соответственно, четыретипа частиц Дирака. Эти классы отличаются поведением при зарядовомсопряжении (разд. 6.4).Рассмотрим действие пространственной инверсии на зарядово сопряжённую функцию (6.37), предполагая, что эта функция преобразуется таким8.1. Пространственная инверсия для дираковской частицы209же образом, как и исходная функцияΨ (r, ) = 0 Ψ (−r, ) = 0 Ψ* (−r, ).(8.7)Для комплексно сопряжённой функции имеем:* * *Ψ* (r, ) = 0 Ψ (−r, ),(8.8)поэтомуΨ (r, ) = 0 1 *** 0 Ψ (r, ),(8.9)или, используя 0* −1 = −0 , как это следует из (6.38),Ψ* (r, ) = − * −1 Ψ* (r, ) = − * −1 Ψ (r, ).*(8.10)Мы приходим к следующему свойству дираковских частиц:Ψ (r, ) = −=−−1* .(8.11)Два вышеупомянутых класса характеризуются различным поведением поотношению к комбинированной инверсии :{︂ = ±1, = −,(8.12) = ±, = .Только вторая возможность имеет место, если трансформационные свойства биспиноров Ψ и Ψ идентичны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
