1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Тогда из (6.76) следует, что 0 тоже эрмитова, т.e. величина 178Глава 6. Уравнение Дирака: формализмвещественна. Поскольку det = 1, мы имеемdet (0 † 0 ) = |det |2 · |det (0 )|2 = 1 = 4 .(6.77)Это даёт, что = ±1. Остается понять смысл знака . Записав снова (6.76)как 0 † = 0 и умножая слева и справа на обратный оператор, мынаходим1( † )−1 0 −1 = 00 −1 = † 0 ,(6.78)и, следовательно, † = † 0 0 = 0 −1 0 .(6.79)Используя условие лоренцевской ковариантности (6.48), получим † = 0 Λ0 = (0 Λ00 0 − 0 Λ0 ) = (Λ00 − Λ0 ).(6.80)Однако оператор † по построению имеет вещественные положительныесобственные значения, поэтому его след положителен.
В соответствии с(6.80) имеемtr( † ) = 4Λ00 > 0.(6.81)Отсюда мы заключаем, что = +1, если Λ00 > 0, т. e. для преобразований,которые не содержат обращения времени, и = −1, если Λ00 < 0 дляпреобразований, включающих обращение времени.Таким образом, для преобразований, которые не обращают стрелкувремени, уравнение (6.73) справедливо, и ток поистине ведет себя как4-вектор (ток меняет знак при обращении времени). Легко видеть, чтолюбой матричный элемент вида = Ψ̄1 Ψ2(6.82)преобразуется как 4-вектор.
Плотность вероятности (6.23) является четвёртой компонентой вектора, а не скаляром, см. также обсуждение в концеразд. 5.7. Следовательно, наша обычная нормировка Ψ† Ψ = 1 не являетсярелятивистски инвариантной.Инвариантная нормировка возможна для матричного элемента Ψ̄Ψ,который аналогичен току, но вместо «векторных» матриц использует^ Используя уравнения (6.71) и (6.73), получим (для«скалярную» матрицу 1.преобразований без обращения времени)Ψ̄′ = Ψ̄ −1(6.83)6.7.
Билинейные ковариантные комбинации179иΨ̄′1 Ψ′2 = Ψ̄1 −1 Ψ2 = Ψ̄1 Ψ2 .(6.84)Матричные элементы «тензорного» оператора (6.75) = Ψ̄1 Ψ2(6.85)преобразуются как компоненты антисимметричного тензора второго ранга′= Ψ̄1 Ψ′2 = Ψ̄1 −1 Ψ2(6.86)и, используя условие ковариантности (6.48),′= Λ Λ Ψ̄1 Ψ2 = Λ Λ .(6.87)Задача 6.6Показать, что матричные элементы «псевдоскалярного» оператора 5 = Ψ̄1 5 Ψ2(6.88)преобразуются при преобразовании Лоренца Λ как ⇒ ′ = Ψ̄′1 5 Ψ′2 = · det Λ.(6.89)Детерминант матрицы Λ является якобианом перехода от старых координат к новым.
Якобиан определяет изменение элемента объема. Длянепрерывных преобразований Лоренца (без отражений пространства иливремени) 4-объем инвариантен [3], и якобиан равен 1. Тогда ′ = . Дляпреобразований с инверсией одной из трех координатных осей, det Λ = −1,и ′ = − , т. e. матричные элементы (6.88) в самом деле обладают свойствами псевдоскаляра. Аналогично можно показать, что «псевдовекторные»матричные элементы = Ψ̄1 5 Ψ2(6.90)ведут себя как компоненты аксиального вектора (как истинный вектор привращениях и бустах, но не меняя знака при пространственных инверсиях).Мы можем заключить, что операторы всех физических наблюдаемыхдля дираковской частицы можно классифицировать в соответствии с ихсвойствами по отношению к преобразованиям Лоренца.
Эти свойства независят от того, совпадают ли биспиноры Ψ̄ и Ψ или описывают различные180Глава 6. Уравнение Дирака: формализмсостояния, или даже различные дираковские частицы. Если гамильтонианвзаимодействия двух таких частиц сохраняет чётность, он должен бытьскаляром. Тогда он может быть построен свёрткой величин с одинаковымитрансформационными свойствами, например, как (вектор × вектор)( )12 ( )34 = (Ψ̄1 Ψ2 )(Ψ̄3 Ψ4 )(6.91)или (псевдовектор × псевдовектор)( )12 ( )34 = (Ψ̄1 5 Ψ2 )(Ψ̄3 5 Ψ4 ).(6.92)Если гамильтониан не сохраняет чётность, можно также иметь взаимодействие типа (вектор × псевдовектор)( )12 ( )34 + (э.с.).(6.93)Это случай слабого взаимодействия, которое может быть сконструированокак произведение токов = − , которые содержат перекрёстныечлены (6.93).Дополнительная литература: [30], [32], [35], [36], [37]Физическая теория считается удовлетворительной, если с её помощью мыможем сделать количественные предсказания физических величин.Дж.
M. Яух, Ф. Рорлих. «Теорияфотонов и электронов»Глава 7Уравнение Дирака: решения7.1. Свободное движениеМы начнём с основной задачи о свободном движении дираковской частицы с массой ≠ 0. Для нахождения стационарного состояния с энергией, нужно стандартным образом выделить зависимость от времени, записавбиспинорное решение какΨ(r, ) = (r)− .(7.1)Независящий от времени биспинор (r) удовлетворяет стационарному уравнению Дирака^ = (7.2)с гамильтонианом (6.2)^ = + (·p^ ).(7.3)^ , очевидно, сохраняется, и решение можно взять вОператор импульса pвиде плоской волны(r) = (p·r) (p),(7.4)где p теперь — собственное значение импульса, а (p) — числовой биспинор,являющийся решением алгебраической задачи на собственные значения · p)}(p) = (p).{ + ((7.5)Другая форма этого уравнения следует из (6.15):( − ) = 0,(7.6)182Глава 7. Уравнение Дирака: решениягде 4-вектор импульса = (, p).
Уравнение (7.5) в действительностиесть система из четырёх связанных линейных однородных уравнений длякомпонент биспинора ; форма (7.6) даёт лишь другие комбинации тех жеуравнений.Мы «вывели» уравнение Дирака в разд. 6.1 из требования, чтобы каждаякомпонента многокомпонентной волновой функции удовлетворяла УКГ.Уравнение Дирака напоминает квадратный корень из УКГ.
Переходяопять(︁к квадратичному оператору путём умножения (7.5) на оператор + ( ·)︁p) , с помощью уравнений (6.5) и (6.6) мы убираем матрицы и получаемположительные и отрицательные собственные значения энергии,√︀ 2 = 2 + p2 = ±p = ± 2 + p2 .(7.7)Теперь нужно проверить, что оба знака на самом деле возможны и появляются парами, т. e.
для каждого собственного вектора с одним изсобственных значений уравнения (7.7) существует другой собственныйвектор с собственным значением −. Это может быть установлено с помощью зарядового сопряжения (разд. 6.4).7.2. Море ДиракаПреобразуем уравнение Дирака аналогично тому, как это было сделанов уравнениях (6.35) и (6.36).
Ожидая, что античастицы в том же поледвижутся в направлении, обратном движению частиц, сначала изменимp → −p в уравнении Дирака (7.5)(︁)︁ − ( · p) (−p) = (−p).(7.8)Теперь возьмём комплексное сопряжение и изменим общий знак:(︁)︁− * + (* · p) * (−p) = −* (−p).После этого зарядовое сопряжение (разд. 6.4) даёт(︁)︁(− * ) −1 + (* −1 · p) * (−p) − * (−p).(7.9)(7.10)7.2. Море Дирака183E+mc20–mc2Figure 13.1 Energy specmotion.Рис. 7.1. Энергетический спектр уравнения Дирака для свободного движенияHowever, instead of the negative energy solutioconjugatefunctionsdescribingthe antiparticle,poС определением (6.38)преобразования результирующееуравнениеимеетвид(︁)︁(︁)︁(︁)︁**( + ( · p)u (−p)=−(−p).el (p, E > 0) D u(p , E p ),u(7.11)pos (p, E > 0Это означает, что для каждого биспинора (p) с энергией существуетTheкоторыйoriginalinterpretationstates with neдругой биспинор * (−p),являетсярешением тогоofжеtheсвободногоуравнения Дирака сwasэнергиейИз четырёхлинейно независимыхthe −.following.Assumethat in theрешеground statний для заданного вектора p два отвечают энергии = p > 0, a два —are filledwiththe uniformelectron backgrэнергии = −p <states0.
Разрешённыйспектрэнергиисвободного движения2(рис. 7.1) состоит изhomogeneous,двух континуумов сtheэнергетическойщельюот −backgrounddoesnotinfluencдо +2 . Эта картина, понятая буквально, не может быть удовлетвориimentstoЭлектроныthe largeс energygap. The existencтельной с физическойточки dueзрения.> 0 в присутствии2третьего тела могутиспустить фотоныс энергией> 2и совершитьtransitionof electronsintothesestates forbiddeпереход в континуум, который не имеет дна. Как обсуждалось в разд. 6.4,Section15.4.Anчтоexternalof sufficiently hiразумная интерпретациясостоитв том,решения fieldс положительнойэнергией описывают частицу, электрон, а вместо решений с отрицательнойpromote a background electron into the upper conэнергией нужно брать их зарядово сопряжённые биспиноры, описывающиеan emergence of a particle with E > 0 and a holeантичастицу — позитрон:all−electronsmoveel (p, > 0) =nal(p,electromagneticp ), pos (p, > 0) =field,* (−p,(7.12)p ).in thsigns.
However, this means that the hole in the bdirection as the positron would do.184Глава 7. Уравнение Дирака: решенияПервоначальная интерпретация состояний с отрицательной энергией,предложенная Дираком, состоит в следующем. Предположим, что в основном состоянии мира все состояния с отрицательной энергией заполненыоднородным электронным фоном — это море Дирака. Будучи абсолютнооднородным, фон не влияет на результаты экспериментов с низкой энергией из-за широкой энергетической щели. Существование заполненногоморя делает переход электронов в эти состояния запрещённым согласнопринципу исключения Паули, разд.
9.4. Внешнее поле достаточно высокойчастоты, > 22 /~, может перебросить электрон фона в верхний континуум. Это будет наблюдаться как появление частицы с > 0 и дыркив состоянии с < 0. Во внешнем электромагнитном поле все электроныдвижутся в одном направлении для энергий обоих знаков. Но это означает,что дырка в фоне движется в противоположном направлении, как этоделал бы позитрон.Новая интерпретация с помощью зарядового сопряжения помогает избежать введения ненаблюдаемого моря электронов.
Возбуждение электронаиз нижнего континуума в верхний теперь естественно интерпретируется какрождение электрон-позитронной пары внешним полем. Обратный процессзаполнения состояния дырки электроном — это аннигиляция пары. Однакосама возможность таких процессов налагает ограничение на интерпретациюэлектрона во внешнем поле как одночастичного состояния. При высокихчастотах поля число частиц перестаёт быть фиксированным, и тогда необходимо решать задачу многих тел для электрона и электрон-позитронныхпар. Это приводит к наблюдаемым эффектам КЭД, имеющим отношениек релятивистским соотношениям неопределённости (разд. I.5.10, 5.1).7.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
