1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Решения для свободного движенияТеперь можно найти решение уравнения Дирака (7.5) для свободногодвижения. Имея в виду будущий переход к нерелятивистскому пределу,удобно ввести два двухкомпонентных спинора , вместо четырёхкомпонентного биспинора . Сгруппируем две верхних и две нижних компонентыв виде⎛⎞1(︂)︂⎜ 2 ⎟⎜⎟=⎝=.(7.13)3 ⎠47.3. Решения для свободного движения185В стандартном представлении матриц Дирака (6.7) уравнение (7.5) принимает вид(︂)︂(︂)︂(︂)︂ · p)− (−= 0.(7.14)−Мы получили систему двух связанных уравнений для спиноров и : · p) = , − ( · p) = − − ((7.15)и можем выразить один из спиноров через другой:= · p)(,+= · p)(.−(7.16)Условие разрешимости этой однородной системы снова приводит к собственным значениям энергии (7.7).
Решение содержит произвольный двухкомпонентный спинор. Например, при произвольном найдем для = ±p .Двукратное вырождение состояний с определённым знаком энергии связано с произвольностью двухкомпонентного спинора, т. e. с существованиемдвух независимых внутренних состояний частицы,(︂ )︂(︂ )︂10=или =.(7.17)01Эти два внутренних состояния соответствуют спину 1/2 дираковской частицы.Преимущество стандартного представления дираковских матриц становится очевидным, если интересоваться нерелятивистским пределом ≪ .Для положительной энергии = p > 2 ; в этом пределе − 2 ≪ 2 .Тогда из уравнения (7.16) следует, что верхние компоненты биспинора многобольше нижних: · p)(≈ ∼ .(7.18)2Наоборот, для решений с отрицательной энергией = −p верхние компоненты малы: ∼ (/).
В системе покоя частицы p = 0 один из спиноровисчезает, а оставшиеся две компоненты обеспечивают обычное нерелятивистское описание для частицы со спином 1/2.Для нерелятивистских приложений мы можем использовать нековариантную нормировку биспинора(† ) = 1.(7.19)186Глава 7. Уравнение Дирака: решенияДля решения с положительной энергией биспинор равен (уравнение (7.16))(︃)︃(︁)︁(p) = .(7.20) · p)/( + ) (Теперь(† ) = | |2(︁ · p) )︁(† , †+2= | |[︂(︃(︁)︁ · p)/( + ) ()︃(7.21)]︂ · p)2(1+(† ).( + )2Полагая двухкомпонентный спинор нормированным, († ) = 1, используя (7.19) и алгебру матриц Паули (II.5.16), находим[︂]︂22†2( ) = | | 1 += | |2.(7.22)2( + )+Окончательно решение с положительной энергией, нормированное в соответствии с (7.19), даётся выражением(︃)︃√︂+(︁)︁(p) =.(7.23) · p)/( + ) (2Задача 7.1Используя гейзенберговские операторные уравнения движения, найтиоператор скорости для дираковской частицы и его собственные значения.Решение.Оператор скорости может быть определён как^ = −[^r, (·p^ )] = ^ ≡ ṙ = −[^r, ]v(7.24) в обычных единицах.
Легко видеть, что собственные значенияили всех дираковских матриц равны ±1, т. e. собственные значения компонентскорости равны ±.Парадоксальный результат задачи 7.1 может быть осознан в рамках общей картины, если заметить, что собственное состояние какой-либо компоненты скорости или, иными словами, соответствующей матрицы Дирака 7.4.
Полный набор решений187нестационарно. Такое состояние является суперпозицией решений с положительными и отрицательными энергиями, поскольку оператор смешиваетверхние и нижние компоненты. Для такого состояния |Ψ|2 содержит быстроосциллирующие члены с разностью частот (+ ) − (− ) = 2 > 2,так называемое Zitterbewegung (дрожащее движение). Оно может вольноинтерпретироваться как квантовые флуктуации, связанные с рождением ианнигиляцией виртуальных пар, сравните с дарвиновским членом, разд.II.8.3.
Уравнение (7.24) показывает, что различные компоненты скорости некоммутируют аналогично тому, что имеет место для частицы в магнитномполе, уравнение (I.13.20). Здесь эффективное «поле» создаётся спиномчастицы и взаимодействие спина с пространственным движением являетсясвойством, неизбежно присущим дираковским частицам в релятивистскойобласти.Задача 7.2Найти среднее значение скорости дираковской частицы в стационарномсостоянии.Решение.Прямое вычисление среднего значения оператора (7.24) по состоянию(7.23) с положительной энергией даёт)︃)︂ (︃(︂ · p) )︁ 0 + (︁ † † ((︁)︁†,⟨v⟩ = ( ) , · p)/( + ) 0(2+(7.25)что приводит к правильному релятивистскому выражению для скоростисвободного движения с импульсом p)︂(︂ · p) + ( · p)(p⟨v⟩ = † = .(7.26)27.4. Полный набор решенийМножество решений для свободного движения с импульсом p дополняется до полного набора добавлением решения с отрицательной энергией = −p , которое может быть найдено тем же способом.Задача 7.3Построить нормированные биспиноры (p) с отрицательной энергией ипроверить их ортогональность к биспинорам (p) с положительной энергией и тем же импульсом p.188Глава 7.
Уравнение Дирака: решенияРешение.С нормировкой ( † ) = 1 и († ) = 1√︃)︁ )︃(︃ (︁|| + · p)/(|| + ) − (.(p) =2||(7.27)Чтобы определить два ортогональных двухкомпонентных спинора длякаждого знака энергии, внутренний спин может быть квантован на любуюось. Одна из возможностей, особенно удобная для высоких энергий, состоитв том, чтобы использовать в качестве оси квантования направление импульса p. Проекция спина частицы на направление движения называетсяспиральностью.
Соответствующий оператор имеет видΣ · p)^ p = (Σℎ,|p|(7.28)где Σ — релятивистский аналог матриц Паули (6.65). Собственные значенияспиральности равны ±1, что соответствует состояниям с правой или левойпродольной поляризацией, аналогично круговой поляризации для фотонов.Задача 7.4Вывести операторное уравнение движения для оператора Σ свободной дираковской частицы и показать, что спиральность сохраняется (аксиальнаясимметрия вокруг направления движения).Решение.Для гамильтониана (6.2) оператор Σ не коммутирует с оператором скорости ,(︂)︂0 [Σ , ] = 2= 2 ,(7.29) 0где используется коммутатор [ , ] = 2 . Отсюда^ = −2[Σ, ]×p^ ].[Σ(7.30)При свободном движении импульс сохраняется и может быть заменён егособственным значением p.
Тогда^ = 0,Σ · p), ][(Σ(7.31)7.4. Полный набор решений189спиральность сохраняется и может быть использована, чтобы различитьдва линейно независимых состояния с заданными p и .Можно также ввести операторный символ ^p , который определяет знакэнергии для заданного p:^,^p =p√︀p = + 2 + p2 .(7.32)Собственные значения ^ также равны ±1. Четыре возможных комбинациизначений спиральности и определяют полный базис pℎ .В итоге полный набор решений уравнения Дирака для свободного движения может быть выбран какΨpℎ (r, ) = (p·r)−p ℎ (p),(7.33)где биспинор ℎ (p) задан выражениями (7.23) для = 1 и (7.27) для = −1 соответственно.
Квантовое число ℎ фиксирует внутренний двухкомпонентный спинор и может быть взято, например, в представленииспиральности. Функции (7.33) одновременно являются собственными функциями следующих операторов:^ Ψpℎ = p Ψpℎ ,p(7.34)^ pℎ = p Ψpℎ ,Ψ(7.35)^p Ψpℎ = Ψpℎ ,(7.36)^ p Ψpℎ = ℎ Ψpℎ .ℎ(7.37)Явный вид биспиноров зависит от представления дираковских матриц.Биспиноры могут быть нормированы, например, согласно(† ′ ℎ′ (p)ℎ (p)) = ′ ℎ′ ℎ .(7.38)(Важно помнить, что для инвариантной нормировки должен использоваться скаляр ¯, уравнение (6.84).) Общее решение уравнения Диракавыражается суперпозицией∑︁ ∑︁ ∫︁ 3 Ψ(r, ) =ℎ (p)ℎ (p)(p·r)−p ,(7.39)(2)3=±1 ℎ=±1190Глава 7.
Уравнение Дирака: решениягде коэффициенты ℎ (p) определяются исходным биспинором Ψ(r, 0),∫︁(7.40)ℎ (p) = 3 −(p·r) †ℎ (p)Ψ(r, 0).Задача 7.5Показать, что преобразование Фолди—Вотхойзена [38]^ Ψ,Ψ′ = ^′ = ^^^ −1 ,(7.41)(︁ )︁ · p) tan−1^ = − (,2(7.42)где^ = ^ , и — матрицы Дирака (6.7) и = |p|, приводит уравнение Диракадля свободного движения с импульсом p к виду, в котором решения сположительной и отрицательной энергией явно разделены.Решение.Преобразованный гамильтониан (7.41) даётся выражением(︁)︁√︀^^ ′ = ^ + ( · p) − = 2 + 2 ,(7.43)и в стандартном представлении (6.7) мы получаем два несвязанных двухкомпонентных уравнения для энергий ±p . Для доказательства можноиспользовать эквивалентную форму(︂)︂1(·p)−1(7.44)^ = − tan2и степенной ряд для арктангенса с учётом того, что · p)2 = 2 .((7.45)7.5.
Уравнение ПаулиВ нерелятивистской квантовой теории уравнение Паули (задача II.8.6)даёт хорошее предсказание для спинового гиромагнитного отношения электрона (или позитрона). Наша задача состоит в том, чтобы вывести уравнение Паули из релятивистского уравнения Дирака.7.5. Уравнение Паули191Уравнение Паули не включает какой-либо явной ссылки на море Диракадля отрицательных энергий. В нерелятивистском пределе, / ≪ 1, нижниекомпоненты биспинора были малы для свободного движения.
Теперь намнужно рассмотреть полное уравнение Дирака (6.33) в присутствии внешнего электромагнитного потенциала (0 , A). Выпишем это уравнение (длястационарного случая с энергией ) в терминах двухкомпонентных биспиноров (r) и (r); для того чтобы отслеживать релятивистский параметр/, мы вернёмся к полным единицам:(︁ )︁· p^ − A ,( − 0 − 2 ) = (7.46)(︁ )︁· p^ − A .( − 0 + 2 ) = (7.47)Рассмотрим решение для положительной энергии = 2 + ,(7.48)где || ≪ 2 в нерелятивистской области.
Влияние нижних компонент=(︁1 )︁^A ·p−22 + − 0(7.49)будет мало, если потенциалы не сдвигают энергию слишком далеко отграницы верхнего континуума и не имеют высоких компонент Фурье, пространственных с > /~ или временны́х с > 2 /~. Тогда нижнийспинор порядка / по сравнению с верхним и, пренебрегая эффектамивысших порядков, мы можем положить(︀)︀^ − A· p≈.(7.50)2Выражение (7.50), используемое в правой части уравнения (7.46), приводитк замкнутому уравнению для верхнего спинора, большого в нерелятивистском пределе⎧ (︁⎫)︁2⎪⎪⎨ · (^⎬(︁)︁p − A/)+ 0 .
(7.51) = 0 + · (^p − (/)A) ≈⎪⎪2⎩⎭Это нерелятивистское приближение первого порядка для уравнения Дирака есть уравнение Паули, в котором верхний двухкомпонентный спинор192Глава 7. Уравнение Дирака: решения играет роль обычной шрёдингеровской волновой функции; орбитальноегиромагнитное отношение = /2 и спиновое гиромагнитное отношение = 2 предсказываются этим уравнением автоматически. Из выводаясно, что это прямое следствие спиновой структуры уравнения Диракаи минимальности включения взаимодействия с электромагнитным полем.Небольшая разница (I.1.73) между этими предсказаниями и наблюдаемым магнитным моментом электрона и мюона, аномальные магнитныемоменты, объясняется, аналогично лэмбовскому сдвигу, радиационнымипоправками — взаимодействием с вакуумными полями. Для нуклонов аномальные магнитные моменты, см.
уравнение (I.1.72), превышают обычныемагнитные моменты, следующие из уравнения Паули. Причина этого всильных взаимодействиях, не учитываемых в уравнении Дирака. Магнитный момент нуклона не может быть вычислен в рамках КЭД (нужнорассматривать кварковую структуру нуклонов, описываемую квантовойхромодинамикой, КХД) и должен быть включён в уравнение Дирака вкачестве эмпирического параметра.7.6. Эффекты второго порядкаТонкая структура атомных спектров, в соответствии с простыми оценками гл. II.8, появляется как релятивистская поправка второго порядка∼ (/)2 .
Для аккуратного вывода необходим выход за рамки уравнения(7.50).Для простоты мы ограничим наше рассмотрение случаем только электрического потенциала без магнитного поля, A = 0, 0 = (r). Из (7.49)получаем(︂)︂1−1·p·p^ ) ≈^ ).(1−=((7.52)22 + − 222Исключая из уравнения (7.46), находим новое уравнение для верхнегоспинора(︂)︂1−·p·p·p^) 1 −^ ) ≈^ ).( − ) = ((((7.53)222Чтобы получить уравнение Шрёдингера с релятивистскими поправками,нужно учесть, что в присутствии членов второго порядка верхний спинор не может служить в качестве нерелятивистской волновой функции,поскольку он определён с другим условием нормировки. Если биспинор7.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
