1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Так будет в случае, если^ 2 = 2 + p^ 2.(6.3)С другой стороны, квадрат оператора (6.2) должен быть вычислен с учётомматричной природы коэффициентов, принимая во внимание, что матрицыкоммутируют с пространственно-временными производными, но, вообщеговоря, не коммутируют друг с другом. Сохраняя правильный порядокматричных множителей, получим^ 2 = 2 2 + ^ [, ]+ + ^ ^ ,(6.4)где присутствует антикоммутатор операторов и . Последний член в(6.4) содержит на самом деле только симметричную комбинацию -матриц,то есть снова антикоммутатор. Так как уравнения (6.3) и (6.4) должнысовпадать, мы получаем матричные условия 2 = 1;2 = 1 ( = 1, 2, 3);[, ]+ = 0;[ , ]+ = 0, ̸= .(6.5)(6.6)Уравнения (6.5) и (6.6), вместе с эрмитовостью, † = , † = , являются единственными условиями, которые определяют алгебру матриц6.2.
Ковариантная форма и алгебра165Дирака и . Этим условиям можно удовлетворить различными наборамиматриц, которые взаимосвязаны унитарными преобразованиями. Все такиенаборы физически эквивалентны; переход к другому набору означает просто другую линейную комбинацию четырех уравнений (6.1). Стандартноепредставление, где матрицы выбраны как⎛⎞1 0 00(︂)︂(︂)︂⎜ 0 1 0^1 00 ⎟0 ⎜⎟==⎝, =,(6.7)0 0 −1 0 ⎠ 00 −^10 0 0 −1зачастую удобно.
Здесь и ниже мы используем для краткости двумернуюформу четырёхмерных матриц, где блоки 2 × 2 включают нулевую матрицу, единичную матрицу ^1 и матрицы Паули . Мы использовали такуюформу в уравнении (5.30), где, однако, размерность четыре произошла изпространственно-временной размерности, а не из биспинорной структуры.Мы пришли к уравнению Дирака для свободной частицы с массой :Ψ·p^ )}Ψ.= { + ((6.8)По построению уравнения (6.3), каждая компонента биспинора удовлетворяет УКГ. На самом деле общие условия не предопределяют размерностиматриц и волновых функций. Однако четыре — это минимально возможная размерность; функции с большим числом компонент могут описыватьчастицы с бо́льшими спинами.6.2. Ковариантная форма и алгебраМатрицы и подходят для рассмотрения в некоторой фиксированнойсистеме отсчёта. Чтобы получить явно ковариантное выражение, полезендругой набор матриц — = (0 , ):(︂)︂0 0 = ,= =.(6.9) 0−Их коммутационные соотношения можно легко вывести из (6.5) и (6.6):[ , ]+ = 2 ,, = 0, 1, 2, 3.(6.10)166Глава 6.
Уравнение Дирака: формализмЗдесь мы используем стандартный метрический тензор , уравнение(5.20). В соответствии с (6.10),02 = 1,21,2,3= −1.(6.11)Для того чтобы выписать уравнение Дирака в новой форме, умножим^ = / ≡ 0 ):(6.8) на матрицу 0 = и перейдём к (^ − (⃗ · p^ ) − }Ψ = 0{0 (6.12)или в ковариантной форме( ^ − )Ψ = 0.(6.13)Иногда также удобно ввести «скалярное произведение» обычного вектора = ( 0 , V) на матричный : ≡ = 0 0 − (⃗ · V).(6.14)Тогда уравнение Дирака принимает изящную форму(^ − )Ψ = 0.(6.15)Конечно, ковариантные свойства ещё должны быть явно продемонстрированы рассмотрением фактического преобразования Лоренца пространственновременных координат и преобразования биспинора, порождённого переходом к другой системе отсчёта.Наряду с четырьмя матрицами , полезна также дополнительная матрица5 = 1 2 3 0 .(6.16)В стандартном представлении (6.7)(︂)︂0 ^15 = − ^.1 0(6.17)Заметим, что в этом представлении матрицы 0,1,3,5 вещественны, в товремя как 2 мнимая, аналогично стандартному представлению двумерныхматриц Паули .
Матрицы 0,2,5 симметричны, а 1,3 антисимметричны.В результате матрицы 0 и 5 эрмитовы, в то время как пространственные матрицы = (1,2,3 ) антиэрмитовы. Многие алгебраические свойства6.2. Ковариантная форма и алгебра167-матриц инвариантны по отношению к изменению представления, будучиполностью определяемы соотношениями коммутации (6.10).Задача 6.1Доказать алгебраические свойства52 = 1;[5 , ]+ = 0, = 0, 1, 2, 3.(6.18)Задача 6.2Показать, что все -матрицы имеют нулевой след.Решение.Вследствие циклической инвариантности следа и свойств (6.18)tr( ) = tr( 52 ) = tr(5 5 ) = −tr( 52 ) = −tr( ) = 0.(6.19)Таким же образом можно показать, что tr(5 ) = 0 и след любого произведения нечётного числа -матриц исчезает. Для чётного числа матрицмы получим в силу антикоммутаторов (6.10):tr ( ) =11tr ([ , ]+ ) = tr (2 ) = 4 .22(6.20)Процедура естественно обобщается на большее (чётное) число множителейвнутри следа.
Используя соотношения коммутации, можно передвигатьлевый множитель вправо, а в конце инвариантность относительно циклической перестановки позволяет привести след к исходной форме. Накопленныепо пути антикоммутаторы дают новые следы с числом сомножителей надва меньше. Например, случай четырех матриц сводится к предыдущемуслучаю (6.20):tr( ) = 4( − + ).(6.21)Другой полезный пример:tr(5 ) = −4 ,(6.22)где, как в уравнении (5.62), мы вводим полностью антисимметричныйтензор ранга 4 .
Результат (6.22) можно легко понять, так как каждый168Глава 6. Уравнение Дирака: формализмматричный множитель внутри 5 матрицы должен найти своего партнерасреди оставшихся матриц, а это возможно, только если все из них различны;вдобавок результат антисимметричен по отношению к этим матрицам,поскольку они антикоммутируют.6.3. ТокВ противоположность УКГ для уравнения Дирака возможно построитьсохраняющуюся положительно определенную плотность прямым копированием результатов уравнения Шрёдингера. Определим эту плотность = Ψ† Ψ(6.23)как скалярное произведение (числовая функция координат, а не матрица)эрмитово сопряжённого биспинора Ψ† , который является строкойΨ† = (Ψ*1 , Ψ*2 , Ψ*3 , Ψ*4 ),(6.24)построенной из комплексно сопряжённых компонент первоначального биспинора-столбца Ψ.Из уравнения Дирака (6.8) приходим к уравнению для сопряженногобиспинораΨ†−= Ψ† + (^pΨ)† · ,(6.25)∇Ψ† .
Комбинируя (6.8) и (6.25), найдём уравнение движениягде (^pΨ)† = ∇для плотности (6.23):∇ · (Ψ† Ψ).= −∇(6.26)Таким образом, получим уравнение непрерывности+ div j = 0(6.27)с сохраняющейся плотностью токаj = Ψ†Ψ.(6.28)Существование сохраняющегося тока позволяет сделать прямое обобщение полного формализма Гильбертова пространства с плотностью (6.23),понимаемой вероятностным образом, и амплитудами, определяемыми как6.4. Зарядовое сопряжение169скалярные произведения∫︁⟨|⟩ =3 Ψ† (r, )Ψ (r, ).(6.29)Мы можем (формально на этой стадии) представить плотность иплотность тока j как временну́ю и пространственные компоненты 4-тока = (, j), если определим вместо эрмитово сопряжённого биспинора Ψ†дираковски сопряжённый биспинорΨ̄ = Ψ† = Ψ† 0 .(6.30) = Ψ̄ Ψ.(6.31)Тогда 4-ток равен6.4.
Зарядовое сопряжениеТеперь мы покажем, что уравнение Дирака содержит решения, которыеможно сгруппировать парами и интерпретировать как относящиеся к частицам и античастицам. Предполагаемая симметрия между частицами иантичастицами должна проявиться в том, что свободное движение двухтипов объектов тождественно. Однако они могут распознаваться по ихповедению во внешнем поле, которое чувствительно к заряду, если нашаинтерпретация решений с отрицательной энергией как частиц с положительной энергией, но противоположным зарядом имеет смысл.Принцип минимальности включения электромагнитного поля связанс калибровочной инвариантностью, как мы помним из разд.
5.10. Есличастица имеет электрический заряд и при свободном движении подчиняется уравнению Дирака (6.8), в поле = (, A) уравнение должно быть модифицировано введением длинных производных (5.68), (5.69),^ ⇒^ − , p^ ⇒p^ − A. В случае уравнения Дирака это приводит ктакой подстановке в свободный гамильтониан:^ = + (⃗^ ) ⇒ + + ·p⃗ · (^p − A).(6.32)Уравнение Дирака во внешнем поле приобретает видΨ= { + + ⃗ · (^p − A)}Ψ,(6.33)170Глава 6.
Уравнение Дирака: формализмили, как обобщение уравнения (6.15),(^ − − )Ψ = 0.(6.34)Можно непосредственно проверить, что, поскольку поле (, A) вещественно, уравнение непрерывности (6.27) по-прежнему справедливо с темиже выражениями (6.23) для плотности и (6.28) для плотности тока. Таккак оператор импульса входит в уравнение линейно, нет так называемого диамагнитного члена ∼ A|Ψ|2 , в выражении для тока (см.
уравнение(I.13.28)), хотя ток изменяется в присутствии поля вследствие измененияволновых функций.Пусть Ψ описывает одно из возможных состояний частицы; в стационарном случае это может быть решением с определённой положительнойэнергией и, соответственно, с зависимостью от времени ∼ exp(−).Соответствующий античастице двойник с отрицательной энергией долженменяться во времени как exp(). Следовательно, переход к античастицам,зарядовое сопряжение, по-видимому, включает операцию комплексногосопряжения. Комплексно сопряжённый биспинор Ψ* удовлетворяет уравнению, комплексно сопряжённому к (6.33):−Ψ*= { * + + ⃗ * · (^p* − A)}Ψ* .(6.35)Отметим, что Ψ* все еще биспинорный столбец, но с комплексно сопряжёнными компонентами, и обе, временна́я и пространственная производные,входят с множителем и меняют знак (^p), поскольку внешнееp* = −^поле вещественно.
Теперь изменим знак всех членов в (6.35) и умножимуравнение на постоянную 4 × 4 матрицу , которую выберем позже такимобразом, чтобы преобразованное уравнение совпало с исходным:(Ψ* )= {(− * ) −1 − + ⃗* · (^p + A) −1 }Ψ* .(6.36)В члены, содержащие матрицы, вставлено −1 = 1, для того чтобы иметьво всех членах новый, зарядово сопряжённый, биспинорΨ = Ψ* .(6.37)Зарядово сопряжённый биспинор (6.37) подчиняется тому же уравнениюДирака (6.33), но с противоположным зарядом −, если оператор зарядового6.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
