1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Сечения для медленных частицВблизи порога для данного канала возникшие частицы движутся оченьмедленно. Начальные частицы также могут быть медленными. В этихслучаях можно получить общие оценки по аналогии с результатами гл. 2для низкоэнергетического потенциального рассеяния. Такие универсальныеоценки, связанные с малой плотностью состояний в континууме, доступныхдля медленных частиц, имеют смысл только для плавной зависимости отэнергии, что может иметь место для фона под возможными резонансами, которые отвечают относительно долгоживущим квазистационарнымсостояниям.110Глава 4. Реакции, распады и резонансыМы начнём с экзотермической реакции, где начальная кинетическая энергия мала.
Пусть — радиус сил между частицами во входном канале .Волновой вектор и кинетическую энергию = ~2 2 /2 можно считатьмалыми, когда, в согласии с критерием (2.58), длина волны относительногодвижения велика по сравнению с радиусом взаимодействия, ≪ 1.В области взаимодействия < парциальные волны с орбитальнымимоментами ℓ ≠ 0 подавлены ∝ ( )ℓ ≪ 1, см. (II.2.80). Соответствующиеамплитуды реакции малы, и мы можем использовать оценку по теориивозмущений, предполагая, что амплитуды перехода пропорциональны мат′ . В пределе малыхричному элементу гамильтониана взаимодействия ^ ′ не зависит от малой входной энергии.
оператор Для упругого рассеяния → обе, начальная и конечная, волновыефункции в этом матричном элементе пропорциональны ℓ . Поэтому амплитуда перехода ℓ ∝ 2ℓ и для упругого сечения (4.12) с = мыполучаемℓ ∝ 4ℓ ∝ 2ℓ(4.31) .Это та же оценка, которая была выведена для потенциального рассеяниячерез фазовые сдвиги, см. (4.14) и (4.57).Для неупругого экзотермического процесса → конечный волновойвектор имеет ненулевую величину (2 )1/2 /~, которая не зависитот начального волнового вектора , когда → 0. Потому в матричном′ только начальная функция чувствительна к , так чтоэлементе ℓℓ ∝ и, согласно (4.12),ℓ ∝2ℓ∝ 2ℓ−1 ∝ ℓ−1/2 .(4.32)При низких энергиях только -волна взаимодействует эффективно. Для-волнового поглощения мы получаем возрастание сечения в согласии сзаконом 1/10 ∝ −1/2∝ .(4.33)Закон 1/ справедлив для нейтральной частицы , например для захватамедленного нейтрона ядром, который сопровождается излучением другойчастицы (протона или альфа) или гамма-кванта.
Если начальная частица имеет положительный заряд, то центробежный барьер, порождающийℓ-зависимость в выражениях (4.31) и (4.32), дополняется кулоновскимбарьером. Вероятность поглощения тогда включает дополнительно проницаемость кулоновского барьера (фактор Гамова), см. (I.2.66), который4.5. Пороги и унитарность111зависит от произведения зарядов частиц и ,2 /~ = −2 .(4.34)В результате сечение поглощения для медленных частиц становится оченьмалым.Для эндотермической реакции → , например рассеяния нейтронас возбуждением ядра мишени, мы можем сделать общее заключение осечениях вблизи порога, когда рассеянный нейтрон (частица ) имеет оченьмалую энергию = + = − ℎ и конечный волновой вектор равен√︂2 =( − th(4.35) ).~2В этом случае конечное относительное движение медленно и его волноваяфункция чувствительна к малому избытку энергии над порогом, будучипропорциональной ℓ , если конечное состояние имеет относительный орбитальный момент ℓ.
Такое же выражение (4.12) определяет сечение вблизипорога для испускания частицы в ℓ-той парциальной волне:ℓ+1/2ℓ ∝ 2ℓ ∝ 2ℓ+1 ∝ ( − th. )(4.36)Опять сечение заметно только в -волне, где оно растёт как корень квадратный из избытка энергии над порогом. Для вылета положительно заряженной частицы сечение, как и раньше, подавлено проницаемостью (4.34).4.5. Пороги и унитарностьТребование унитарности является мощным инструментом, который диктует многие черты сечений. С увеличением энергии открываются новыеканалы реакции. Каждый новый порог есть особая точка в матрице рассеяния как функции энергии: в связи с появлением нового канала, которыйимеет очень малое сечение около порога, сечения в ранее открытых каналахследует изменить для выполнения условия унитарности (4.22), что накладывает ограничение на все открытые каналы через сохранение вероятности.Не входя в детали аналитических свойств -матрицы, мы проиллюстрируемвозможное поведение на простом примере [19].Упругий канал открыт при любой положительной кинетической энергии .
Рассмотрим упругое сечение вблизи порога для неупругой реакции → .112Глава 4. Реакции, распады и резонансыОбщий асимптотический вид многоканальной волновой функции (4.8) вреакции, инициируемой во входном канале , есть, согласно (4.10)и (4.16),∑︁ √︂ ∑︁1√(2ℓ + 1)ℓ (cos )(ℓ − )Φ . 2 ℓ(4.37)Ниже порога реакции → , волновой вектор в закрытом канале чисто мнимый, см.
(4.35), = с вещественной величиной > 0, гдезнак определяется правильным поведением волновой функции на большихрасстояния в канале : соответствующая часть волновой функции (4.37)убывает экспоненциально, ∝ exp(− ). Это значит, что вероятность найтичастицы и в асимптотике → ∞ равна нулю ниже порога, хотя этичастицы виртуально появляются на малых расстояниях < −1 . Размер22локализации возрастает с уменьшением энергии связи ~ /2 . Канал открывается (частицы и не связаны) при = = 0, или −1 → ∞, когдаасимптотическая форма (4.37) превращается в реальную уходящую волну,соответствующую этому каналу, и частица может достичь удалённогодетектора.(k ·r )Ψ≈Φ +Рассмотрим -волну, когда условие унитарности (4.21) для двух открытыхканалов и даёт|0 |2 = 1 − |0 |2 .(4.38)Сразу выше порога реакции → правая часть уравнения (4.38) линейнапо , как мы видели в (4.36),|0 |2 = ,(4.39)где — действительная положительная константа.
Тогда|0 |2 = 1 − .(4.40)Следовательно, упругий элемент -матрицы имеет с точностью до членов,квадратичных по , вид, справедливый выше порога,(︁ )︁0 = ( ) 1 − ,(4.41)2где ( ) — неизвестная фаза,| (2 )|2 = 1 ( ) = ( )(4.42)4.5. Пороги и унитарность113с действительной фазой ( ). В пороговой области (малые > 0) мыможем разложить эту функцию в ряд Тэйлора с действительными коэффициентами ,1( ) ≈ 0 + 1 + 2 2 + . . .(4.43)2Ниже порога канал → закрыт и|0 |2 = 1.(4.44)Здесь -матрица полностью определена фазами рассеяния. Точно на пороге0 ( = 0) = 20 ,(4.45)где фаза рассеяния 0 взята при пороговой энергии.
Из (4.41-4.45) мывидим, что0 = 20 .(4.46)Теперь мы предположим, что возможно аналитически продолжить упругую часть -матрицы (4.41) в подпороговую область, где это выражениеприобретает вид(︁ )︁0 = ( ) 1 − .(4.47)2Это выражение должно быть совместимо с условием унитарности (4.44)ниже порога, которое даёт(︁ )︁ )︁ (︁(4.48)1 = |0 |2 = | ( )|2 1 − 1 + ≈ | ( |2 ,22если мы пренебрежём членами более высокого порядка„ чем первая степень . Таким образом, уравнение (4.42) удовлетворено по обе стороны порога,и в обеих областях фаза ( ) должна быть действительной.
С другойстороны, ниже порога мы имеем вместо (4.43)1 ≈ 20 + 1 − 2 2 + . . . ,2(4.49)и функция действительна, только если это чётная функция волновоговектора, а все нечётные коэффициенты ряда Тэйлора исчезают. Поэтому1 = 0. Окончательно, с точностью до членов порядка 2 , упругая часть-матрицы может быть записана и выше и ниже порога как(︁ )︁0 = 20 1 − + (2 );(4.50)2114By comparing the expressions (10.54) and (10.55), we observe the discontinuityof the derivative of the elastic cross section as a function of energy in the elasticchannel a at threshold for the inelastic reaction a ! b.
This cusp is determined bythe magnitude and the sign of cot δ 0 at threshold. Figure 10.1 [32] shows possibletypes of the threshold behavior of the elastic cross section.The anomaly does not appear if particles b and B experience mutual Coulombrepulsion. In this case, the penetrability of the Coulomb barrier (Gamow factor(10.34)) in the channel b goes to zero at threshold when v b ! 0.
For the Coulombattraction in the channel b, the situation is more complicated due to the resonancesassociated with discrete Coulomb states.Глава 4. Реакции, распады и резонансыσσthrσEthrEσthrEthrEFigure 10.1 Threshold anomalies.Рис. 4.1. Пороговые аномалии!ниже порога нужно просто заменить на .Упругое сечение (4.17) вблизи порога (с обеих сторон!) может быть!записанотеперь с помощью (4.50) как!!(︁)︁]︁}︁{︁[︁+ (2 ). (4.51)el = 2 |1 − 0 |2 = 2 4 sin2 0 − Re 1 − 20Выше порога реакции → el =]︀ [︀4 sin2 0 − (1 − cos 20 )2(4.52)или, введя упругое сечение точно на пороге,thel=4sin2 0 ,2(4.53)и выражение (4.35) для волнового вектора выше порога, мы получаем[︃]︃√︂2thel = el1−( − ℎ(4.54) ) .2 ~2Между тем, ниже порога, с мнимым = , мы имеем из (4.51)[︃]︃√︂2 th2thel = 2 (4 sin 0 − sin 20 ) = el 1 − cot 0( − ) .
(4.55)2~2 Сравнивая выражения (4.54) и (4.55), мы видим разрыв производной упругого сечения как функции энергии в упругом канале на пороге неупругойреакции → . Этот «острый выступ» определяется величиной и знакомcot 0 на пороге. Рис. 4.1 [19] демонстрирует возможные типы пороговогоповедения упругого сечения.Аномалия не появляется, если частицы и испытывают взаимноекулоновское отталкивание. В этом случае проницаемость кулоновского4.6. Изолированные резонансы115барьера (фактор Гамова (4.34)) в канале стремится к нулю на пороге, когда → 0. Для кулоновского притяжения в канале ситуация более сложнаяиз-за резонансов, связанных с дискретными кулоновскими состояниями.4.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
