1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Условие < , где размер ядра, выполняется для нейтронов с энергией выше, чем несколькоМэВ. Строго говоря, квантовая система, такая, как атомное ядро, не имеетчеткой границы. В более точном рассмотрении нужно учитывать плавноеповедение ядерной плотности, которая уменьшается от среднего значенияв центре до нуля снаружи.Сделаем простые оценки для быстрых нейтронов, взаимодействующих стяжелым ядром. Если размер системы гораздо больше, чем длина волнынейтронов, то нейтроны чувствуют отдельные составляющие внутри ядра.Благодаря этому мы можем использовать понятие многократных столкновений в среде. Длина свободного пробега нейтронов в ядерной материиоценивается как1Λ≈,(3.41)где есть плотность частиц в ядерной среде (∼ 1038 cм−3 для плотности вцентре тяжёлого ядра), а — типичное сечение рассеяния, для которого мыможем взять экспериментальное сечения рассеяния свободных нуклонов с88Глава 3.
Дополнительные вопросы теории рассеянияРис. 3.2. Дифракционная картина на чёрном дискекинетической энергией в системе центра масс порядка нескольких десятковМэВ, ≈ 0, 5 барн (1 барн = 10−24 cм2 ). Отсюда мы находим Λ ≈ 2 ·10−14 см. Ядерная плотность, грубо говоря, не зависит от массового числа, поскольку тяжёлое ядро подобно капле несжимаемой жидкости, объёмкоторой пропорционален и для сферического ядра =433 = 0 1/3 ,0 ≈ 1, 2 ф.(3.42)Так как даже для относительно легких ядер мы имеем Λ ≪ , то вероятность для нуклона пройти ядро без столкновения ничтожно мала, ∼ 10−8 .Поэтому естественно принять, что в этой области энергий ядро ведёт себякак черная сфера, которая поглощает (удаляет из падающего пучка) всечастицы, попадающие внутрь прицельного параметра ∼ .Мы пришли к задаче о дифракции коротких волн, ≫ 1, на чёрной сфере.
Если мы смотрим на упруго рассеянные частицы, мы видим небольшиеотклонения от классических траекторий, соответствующих геометрической оптике. Однако в отличие от оптики, где наблюдаемые эффектыдействительно малы для малых углов дифракции Фраунгофера, в ядернойфизике они полностью определяют экспериментальную картину. Например,рассмотрим дифракцию на черном диске радиусом (рис. 3.2). Дифрак¯ ∼ sin , при нашихционный угол , который определяется из условия ¯условиях мал, ∼ /≪ 1.
Сразу позади диска мы видим геометрическуютень. Дифракционная картина начинается только на расстоянии первогомаксимума, которое порядка cot ∼2∼ ¯ ≫ .(3.43)3.6. Дифракция на чёрной сфере89Мы уже видели (задача 1.3), что это расстояние определяет возможностьасимптотического разделения падающей и рассеянной волн, которое необходимо для разложения по парциальным волнам.
В оптике мы имеем¯ ∼ 10−5 cм, ∼ 1 cм, 2 /¯ ∼ 1 км, в то время как наблюдение ведётся2¯на расстоянии ≪ /. В противоположность этому в ядерной физи¯ > 10−(13÷14) cм, 2 /¯ ∼ 10−(10÷11) м, в то время какке 6 10−12 cм, ¯наблюдение ведётся на макроскопических расстояниях ≫ 2 /.3.6. Дифракция на чёрной сфереВ коротковолновом пределе, который мы здесь рассматриваем, в сечениедают вклад много парциальных волн. Сечение поглощения ∑︁(2ℓ + 1)(1 − |ℓ |2 )(3.44)abs = 2ℓвыражается через коэффициенты прилипанияℓ = 1 − |ℓ |2 ,0 6 ℓ 6 1.(3.45)Полученное выражениеabs = ∑︁(2ℓ + 1)ℓ2(3.46)ℓимеет простой смысл: вклад парциальной волны есть вероятность захватачастицы (дефицит унитарности -матрицы для данного ℓ, ℓ ), умноженныйна соответствующую площадь (2ℓ+1 − 2ℓ ) = (/ 2 )(2ℓ + 1).Коэффициенты прилипания ℓ определяют степень черноты рассеивателя. Для абсолютно чёрного препятствия все частицы поглощаются, кактолько попадают в площадь препятствия:{︂1, < , i.e.
ℓ 6 ;ℓ =(3.47)0, > , i.e. ℓ > .Тогда элементы -матрицы равныℓ = 2(ℓ ){︂=0, ℓ 6 ;1, ℓ > ,(3.48)90Глава 3. Дополнительные вопросы теории рассеянияи интегрирование в упругой амплитуде (3.38) обрезается на радиусе сферы:∫︁ () = 0 (2 sin(/2)).(3.49)0Необходимо подчеркнуть опять, что всё рассмотрение законно только вкоротковолновом пределе, когда небольшая ошибка в предельном прицельном параметре не играет роли из-за многих парциальных волн, дающихвклад в сечение.Интегрирование в (3.49) даёт () = 1 (2 sin(/2)),2 sin(/2)(3.50)и мы находим дифференциальное упругое сечение2 2 (2 sin(/2))2 4 1 ()= 2 1≡,24 sin2 (/2) = 2 sin(/2).При больших , ≫ 1, функция Бесселя имеет асимптотику√︂(︁2 )︁1 () ≈sin −,4(3.51)(3.52)так что для достаточно больших углов рассеяния 2 sin(/2) ≫ (1/) =¯/сечение (3.51) падает как ∼ 1/3 . Это в точности утверждение, чтодифракционные углы малы:2 sin(/2) ≈ 6¯1=≪ 1.(3.53)В этом режиме 2 ()≈ 2 1 2,(3.54)в то время как для очень малых углов ≪ 1/ мы имеем 1 () → /2, исечение стремится к предельному значениюlim→02 2 4== ()2.44(3.55)3.6.
Дифракция на чёрной сфере91Рис. 3.3. Угловое распределение для чёрного дискаУгловое распределение (рис. 3.3) демонстрирует характерные особенностидифракционного рассеяния. Сечение имеет острый пик вперёд, < 1/;при больших углах присутствуют вторичные максимумы с периодичностьюпо углу, определяемой фактором . Интенсивность вторичных максимумов быстро убывает ∼ 1/3 .Полное упругое сечение∫︁ ∫︁ 2 (2 sin(/2))2= 2sin 1,(3.56)el = 4 sin2 (/2)0можно вычислить с достаточной точностью положив верхний предел интегрирования равным бесконечности, поскольку в любом случае главныйвклад дают малые углы. Тогда мы получаем∫︁ ∫︁ ∞12 ()12 ()22el ≈ 2 ≈2= 2 .(3.57)200Как и в классической теории, в этом дифракционном пределе упругоесечение равно геометрическому сечению чёрной сферы.Задача 3.4Показать, что в пределе (3.53) сечение поглощения (3.46) также равноэтому классическому результату¯ 2 ≈ 2 = el ,inel = ( + )и проверить, что выполняется оптическая теорема.(3.58)92Глава 3.
Дополнительные вопросы теории рассеяния3.7. Оптическая модельОбычно среда не может считаться абсолютно чёрной (как предполагалось выше). Например, если бы сложные ядра были чёрными, сечения(3.57) и (3.58) росли бы монотонно с массовым числом ∝ 2 ∝ 2/3 и независели бы от энергии в пределе ≫ 1. Эксперименты противоречаттакому предположению; угловые распределения рассеянных нейтроновтакже отличаются от предсказаний чисто дифракционной модели.Во многих случаях лучше рассматривать мишень как серую или полупрозрачную.
Дифракционное рассеяние в таких случаях может бытьописано оптической моделью путём введения комплексного потенциала.Параметры оптического потенциала трудно рассчитать теоретически. Какправило, эти параметры устанавливаются эмпирически и зависят от энергии рассеивающихся частиц. Для нейтронов, рассеивающихся на ядрах,мнимая часть оптического потенциала невелика, Im ≈ 5 − 6 МэВ приэнергии ∼ 10 МэВ, в то время как действительная часть потенциала(глубина эффективной потенциальной ямы) порядка 40-50 МэВ.Оценим длину свободного пробега нейтрона Λ в такой среде. Поскольку > 1, можно пренебречь кривизной ядерной поверхности и провестиоценку для нейтрона, пересекающего плоскую границу между двумя средами.
Внутри поглощающего ядра волновой вектор нейтрона являетсякомплексным, K = K1 + K2 , и волновая функция спадает внутри ядра,(r) ∝ (K·r) = −(K2 ·r)+(K1 ·r) .(3.59)Комплексный волновой вектор выражается через комплексный потенциал√︀~ = 2( − ), = −1 − 2 ,(3.60)где 1 > 0 (ядерное притяжение) и 2 > 0 (затухание волны).Если, согласно приведённым выше цифрам, 2 значительно меньше, чем1 , мы получаем приближённые выражения:√︂√︂2( + 1 )11 = Re ≈= 1+,(3.61)2~2 = Im ≈2212√︀=. 1 + 1 /2~ 2( + 1 )(3.62)3.7. Оптическая модель93Рис. 3.4. Рассеяние быстрой частицы на сером шареИнтенсивность волны (3.59) падает экспоненциально,||2 ∝ −2(K2 ·r) ,и длина свободного пробега может быть оценена как√︂111 Λ≈1+=.222 2(3.63)(3.64)Для упомянутых выше значений 1 , 2 и находим Λ ≈ 0, 6 · 10−12 cм,т. е.
значительно больше, чем наша предыдущая оценка (3.41). Как мыувидим далее, из-за принципа Паули внутренние столкновения подавлены,поскольку многие доступные конечные состояния уже заняты нуклонами,и фазовый объём разрешенных конечных состояний сильно уменьшается.Используя оптическую аналогию, мы можем ввести комплексный показатель преломления серой среды = 1 + 2 =1 + 2=.(3.65)Предположим для простоты, что ядерный потенциал моделируетсясферической ямой радиуса . Быстрые нейтроны с ≫ 1 не чувствуюткривизны поверхности. Пусть 2ℓ – длина пути, пересекаемого в ядребыстрым нейтроном с орбитальным моментом ℓ (прицельный параметр = ℓ/), рис.
3.4. Прошедшая волна отличается от падающей на фазуΔ = (1 − )2ℓ = (1 − 1)2ℓ(3.66)94Глава 3. Дополнительные вопросы теории рассеянияи подавлена по амплитуде на фактор exp(−2 · 2ℓ ) = exp(−22 ℓ ). Также как в (3.48), мы находим элементы -матрицы,{︂exp{−2ℓ [2 − (1 − 1)]}, ℓ 6 ;ℓ =(3.67)1,ℓ > .Как и раньше, главный вклад в рассеяние идёт от больших значенийℓи√22малых углов рассеяния. Общее выражение (3.38) даёт (() = − ):∫︁(︁−2()[2 −(1 −1)] 1 − () = )︁0 (2 sin(/2)).(3.68)0Задача 3.5Вычислть упругое рассеяние и сечение поглощения.Решение.Интегрирование по углам даёт∫︁el = 20⃒⃒2√22⃒⃒ ⃒1 − −2 − [2 −(1 −1)] ⃒ ,∫︁inel = 2]︁[︁√22 1 − −42 − .(3.69)(3.70)0После следующего интегрирования по с = мы получаем, например, для сечения поглощенияinel = 2 + 2− (1 + ) − 1,2 = 42 .(3.71)В пределе слабого поглощения ≪ 1 результат пропорционален объёму:inel ≈23 = .32(3.72)В практических вычислениях нужно учитывать диффузность ядернойграницы, разницу в формах действительной и мнимой частей оптическогопотенциала (поглощение сильнее вблизи поверхности), спин-орбитальноевзаимодействие и т.д.
Гипотеза о резкой границе переоценивает отношениеel /inel из-за усиленного отражения от скачка показателя преломления.Введение плавного изменения оптического потенциала уменьшает это отношение в согласии с наблюдениями аналогично просветлённой оптике.3.8.
Многократное рассеяние в среде95Новые аспекты возникают в приложениях оптической модели к заряженным частицам. Здесь рассеяние аналогично дифракции света на сфере споказателем преломления ∝ (1 − const/), преломление отклоняет лучиот сферы и искажает область тени.3.8. Многократное рассеяние в средеЗдесь мы кратко коснемся очень важного приложения — рассеяния частицы в среде, которая содержит множество рассеивателей.
Мы предполагаемхаотическое распределение этих центров, например, атомов в жидкости илипримесей в неупорядоченных твердых веществах. Типичное применениеможно найти в нейтронной физике; в конденсированных средах длинаволны медленных нейтронов может быть порядка межатомных расстояний,а в газах это расстояние превышает длину волны.Рассмотрим случай короткодействующих потенциалов, когда сила действует только на расстоянии, малом по сравнению со средним расстояниеммежду рассеивателями. Вследствие многократного рассеяния, интерференция волн, рассеянных от различных центров, и волны, рассеяннойвперед, с падающей волной приводит к отражению и преломлению сигнала, проходящего через среду.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
