1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Такая ситуация реализуется в нейтрон-протонном рассеянии в синглетномспиновом состоянии. Синглетная длина рассеяния , будучи велика иотрицательна, показывает, что глубина ямы близка к критическому значению для появления связанного состояния. Соответствующая виртуальнаяэнергия, определённая через сечение при нулевой энергии , или черездлину рассеяния2~2~2virt ==,(2.75)( → 0)22очень мала в ядерном масштабе, virt ≈ 70 КэВ. Поэтому при низкихэнергиях синглетное − -рассеяние значительно превосходит триплетное.Задача 2.7В нейтрон-протонном рассеянии при низких энергиях — полный спинпары сохраняется, но длины рассеяния различны для = 0 и = 1из-за спин-спиновой части ядерных сил. Полагая, что триплетная исинглетная длины −-рассеяния известны, найти вероятность рассеянияс переворотом спина (спин-флип) неполяризованных пучков при оченьнизких энергиях.Решение.Имеются четыре спиновых состояния − -пар, см.
разд. II.7.3. Длятриплетных состояний с = ±1 нет переворота спина и сечение равно 42 . Состояния с = 0 должны быть переписаны в базисе сфиксированной величиной :1| ↑ ↓⟩ = √ (10 + 00 ),2(2.76)1| ↓ ↑⟩ = √ (10 − 00 ).2(2.77)2.9. Эффективный радиус69Рассеянная волна для начального состояния (2.76) пропорциональна1√ ( 10 + 00 ),2(2.78)или, возвращаясь к состояниям с определённой проекцией спина,11( + )| ↑ ↓⟩ + ( − )| ↓ ↑⟩.22(2.79)Первый член в (2.79) определяет сечение без переворота спина, 4(1/4)( + )2 = ( + )2 ; второй член определяет сечение с переворотом спина( − )2 . Такие же результаты имеют место и для начального состояния(2.77).
Все четыре начальных состояния равновероятны. Поэтому полноесечение, усреднённое по проекциям спина, равно1 = [2 · 42 + 2( + )2 + 2( − )2 ].4(2.80)Сечение с переворотом спина равноflip =1· 2( − )2 ,4(2.81)и вероятность переворота спина находится какflip( − )2= 2.4 + ( + )2 + ( − )2(2.82)Для известных значений длин рассеяния вероятность (2.82) равна 0,65.2.9. Эффективный радиусСледующий член низкоэнергетического разложения амплитуды рассеяния (2.69) или функции 0 из (2.70, 2.71) квадратичен по ,1 10 () = cot 0 () = − + 0 2 + ( 4 ). 2(2.83)Это определение вводит новый параметр размерности длины 0 , которыйназывается эффективный радиус.
Добавка к -волне, связанная с эффективным радиусом, более важна, чем малый вклад -волны, который даётпоправку к амплитуде рассеяния более высокого, ∼ ()3 порядка. Раз-70Глава 2. Метод парциальных волнложения, подобные (2.83), когда вид амплитуды рассеяния (или другиххарактеристик взаимодействия частиц) устанавливается из аналитичностии других общих ограничений, а параметры находятся из экспериментальных данных, широко используются в так называемой эффективной теорииполя [9].В этом улучшенном приближении амплитуда рассеяния (2.69) можетбыть представлена как0 () =1.(−1/) + (0 2 /2) − (2.84)Для полюса = аналитического продолжения мы имеем теперь=1 1+ 0 2 .
2(2.85)В качестве примера мы обсудим приложение к − -рассеянию принизких энергиях. Значения длин рассеяния и эффективных радиусов, которые используются в (2.85), различны для триплетного и синглетногосостояний. Выражение (2.85) позволяет вычислить триплетный эффективный радиус 0 через триплетную длину рассеяния и энергию связидейтрона = ~2 2 /2 (единственное связанное − -состояние дейтронимеется в спиновом триплете, = 1). Экспериментальные данные дают0 = 1, 7 фм, в согласии с (2.85), и 0 = 2, 7 фм. Эффективный радиусвсегда положителен [10] и имеет величину, близкую к радиусу сил.
Поэтому он предпочтителен как мера радиуса действия сил по сравнению сдлиной рассеяния, которая, будучи очень чувствительной к существованиюсвязанных состояний, может менять знак и сильно отличаться от .Оба параметра — длина рассеяния и эффективный радиус не дают конкретной информации о форме и детальном поведении потенциала.
Болеевысокие порядки в разложении (2.83) были бы более информативны, ноони экранируются вкладами высших парциальных волн. На практикенизкоэнергетическое разложение мало полезно за рамками приближенияэффективного радиуса.2.10. Рассеяние при наличии спин-орбитальноговзаимодействияЧисло наблюдаемых возрастает, если падающий пучок поляризован или/иизмеряется поляризация конечных частиц.
В этих случаях мы должны2.10. Рассеяние при наличии спин-орбитального взаимодействия71рассматривать амплитуду рассеяния как оператор по отношению к спиновым переменным, в дополнение к её роли как оператору в координатномпространстве, ответственному за рассеяние k → k′ , см. уравнение (1.60).Рассмотрим рассеяние частицы со спином 1/2 (например, нуклон) насистеме со спином 0 (например, ядро). Мы обобщим понятие упругогорассеяния, включив сюда случаи, когда вырожденные спиновые состояниячастицы могут меняться при рассеянии наряду с направлением движения.Относительная кинетическая энергия при этом не меняется, что обосновывает термин «упругое» и для этого случая. Пусть падающая волнанаходится в заданном спиновом состоянии = ( ),(2.86)со спиновой функцией для определённой проекции спина = ±1/2на ось пучка .
Детектор регистрирует рассеянную волну в направленииk′ и в спиновом состоянии ′ . Случай ′ ̸= называют рассеянием спереворотом спина (спин-флип-рассеяние), как в задаче 2.7. Это, конечно,возможно только если взаимодействие с мишенью зависит от спиновыхпеременных; в противном случае проекция спина сохраняется.Важным практическим примером является спин-орбитальное взаимодействие ∼ (ℓℓ · s); его роль в атомной физике обсуждалась в гл. II.8. Внеполяризованном пучке спиновые проекции ±1/2 имеются с равной вероятностью. Необходимо подчеркнуть, что такой пучок не может описыватьсячистой волновой функцией.
Результаты должны быть получены отдельнодля каждой возможной проекции и затем арифметически усредненыпо распределению вероятностей проекций начального спина. Это примерсмешанного квантового состояния, описываемого матрицей плотности(см. гл. 17).Таким образом, начальное состояние описывается ансамблем поляризаций. Вектор поляризации P начального пучка есть среднее значениеоператора спина s усреднённого по ансамблю и отнесённого к его максимальному значению 1/2⟨s⟩ ⟩,P== ⟨(2.87)1/2 ⟩ и затем усредгде сначала берётся диагональный матричный элемент ⟨няется (черта вверху) по ансамблю частиц пучка.В общем случае начальное состояние не является аксиально симметричным: в дополнение к направлению распространения оно характеризуетсявектором поляризации.
Рассеяние теперь может зависеть от обоих углов72Глава 2. Метод парциальных волнрассеянной частицы, и . Вместо (1.49) асимптотический вид волновойфункции становится[︁]︁ ^(r, ) ≈ + (, ) ( ),(2.88)где во входящей волне спиновое состояние такое же, как в начальном пучке,в то время как в расходящейся волне оно может быть изменено амплитудойрассеяния ^; шляпка здесь обозначает оператор в спиновом пространстве∑︁^ =′ ′ .(2.89)′Для упругого рассеяния на бесспиновой мишени или на любой неполяризованной мишени со случайным распределением спинов, по которымнужно усреднять, сохраняющимися квантовыми числами являются ℓ, чётность (−)ℓ , = ℓ ± 1/2 и . Проекции ℓ и в общем случае не сохраняются по отдельности.
Входящая волна с фиксированными проекциямиℓ = [r×p] /~ = 0 и = не имеет определённого , будучи суперпозицией = ℓ ± 1/2. Но взаимодействие с мишенью зависит от точных квантовыхчисел, включая . Как было видно из примера со спин-орбитальной связьюв разд. II.8.1, взаимодействие различно для двух возможных значений .Каждая компонента с определённым переходит в себя, приобретая толькофазу.
Это значит, что -матрица диагональна в (ℓ, )-представлении. Еёдиагональные матричные элементы дают фазы рассеянияℓ = 2ℓ .(2.90)Мы имеем теперь две фазы рассеяния ℓ,=ℓ±1/2 для каждого ℓ, которые(±)мы обозначим ℓ ; соответствующие матричные элементы (2.90) равны(±)ℓ .Начальное состояние может быть разложено с помощью ККГ по базисусостояний с определённым , и тогда каждое из них приобретает своюфазу.
Вместо вычисления ККГ мы можем получить желаемое разложение(±)в операторном виде. Пусть Λℓ являются проекционными операторами,отбирающими компоненты с = ℓ ± 1/2 из любого произведения ℓ-тойпарциальной волны и спиновой функции спина 1/2. В терминах этих2.10. Рассеяние при наличии спин-орбитального взаимодействия73операторов оператор амплитуды рассеяния (2.8) становится[︁]︁1 ∑︁(+)(+)(−)(−)^(, ) =(2ℓ + 1) (ℓ − 1)Λℓ + (ℓ − 1)Λℓ ℓ (cos ).
(2.91)2ℓСкалярное произведение (ℓℓ · ) = 2(ℓℓ · s) имеет собственные значения ℓи −(ℓ + 1) для = ℓ + 1/2 и = ℓ − 1/2 соответственно (задача II.5.6).Проекционные операторы задаются выражениями(+)Λℓ=ℓ + 1 + (ℓℓ · ),2ℓ + 1(−)Λℓ=ℓ − (ℓℓ · ),2ℓ + 1(+)Λℓ(−)+ Λℓ= 1.(2.92)Зависимость от возникает в результате переворота спина, вызываемогопонижающими и повышающими операторами ± , которые сопровождаютсяв (2.92) дополняющими операторами ℓ∓ , компенсирующими переворотспина изменением орбитальной проекции.Используя явный вид (2.92), амплитуда рассеяния (2.91)становится]︁1 ∑︁[︁(+)(−)(+)(−) ) ℓ (cos ).(ℓ+1)(ℓ −1)+ℓ(ℓ −1)+(ℓ −ℓ )(ℓℓ ·^(, ) =2ℓ(2.93)ℓДействие оператора (ℓ · ) на полином Лежандра легко вычислить в явном виде.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
