1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Нейтральные каоны и квантовая регенерация231их энергии слегка различны. Эксперимент подтвердил эффект регенерации,который следует из основных квантовых постулатов и позволяет измеритьΔ.Задача 8.3Пусть пучок состоит из 0 в начальный момент времени = 0. Временажизни 10 и 20 равны 1 и 2 соответственно (2 ≫ 1 ). Найти интенсив¯ 0 как функцию времени.ность Решение.Исходная волновая функция равна)︁1 (︁|Ψ( = 0)⟩ = | 0 ⟩ = √ |10 ⟩ + |20 ⟩ .2(8.77)Временна́я эволюция экспоненциально распадающихся состояний с массами1 и 2 для 10 и 20 , соответственно, и с определённой -чётностьюопределяется выражением ( = ~ = 1)}︁1 {︁|Ψ()⟩ = √ −1 −/21 |10 ⟩ + −2 −/22 |20 ⟩ ,2(8.78)или, вводя снова базисные состояния с определённой странностью]︁1 {︁[︁ −1 −/21+ −2 −/22 | 0 ⟩−2[︁]︁}︁¯ 0⟩ .− −1 −/21 − −2 −/22 ||Ψ()⟩ =(8.79)¯ 0 со странностью = −1 равна (Δ = 2 − 1 )Амплитуда компоненты [︁]︁¯ 0 ; ) = − 1 −(/2)(1 +2 ) −(/2)Δ −/21 − −(/2)Δ −/22 , (8.80)(2а интенсивность, определяемая актами взаимодействия (рождение гиперо¯ 0 ), пропорционов Λ и Σ вдоль траектории обусловлено только наличием нальна¯ 0 ; ) ∝ −/1 + −/2 − 2−(/2)(1/1 +1/2 ) cos(Δ ).
((8.81)Поскольку 2 ≫ 1 , то в течение интервала времени < 2 можно наблюдатьхарактерные осцилляции¯ 0 ; ) ∝ 1 + −/1 − 2−/21 cos(Δ ). ((8.82)232Глава 8. Дискретные симметрии, нейтрино и каоныПериод осцилляции определяется разностью масс Δ. Такие эксперименты определяют Δ ≈ 0, 4 · 10−5 эВ — наименьшая разность масс, определённая когда-либо в физике частиц.Дополнительная литература: [44], [45], [47], [49], [50], [51], [52], [53]Паули доказал, что антисимметричныечастицы имеют полуцелый спин, симметричные частицы имеют целый спин.Исключения неизвестны.Э.
Ферми. «Лекции по квантовоймеханике»Глава 9Тождественные частицы9.1. Неразличимые частицыВ нерелятивистской квантовой механике каждый тип частиц характеризуется некоторыми параметрами (масса, спин, заряд и так далее). Можнонадеяться, что более глубокая теория сможет предсказать возможные значения этих параметров.
Мы принимаем их просто как экспериментальныеисходные данные. Эти параметры идентичны для всех частиц данноготипа. Мы подразделяем частицы на классы, и те, что принадлежат одномуклассу, неразличимы. Это подразделение однозначно, поскольку признаки, определяющие класс — квантовые числа — имеют дискретные спектрызначений. Эта дискретность важна для стандартного решения парадоксаГиббса, в котором рассматривается энтропия смешивания различных иодинаковых газов (см. гл.
17).В классической механике система тождественных частиц является просто предельным случаем системы общего вида в случае, когда значенияпараметров случайно оказались одинаковыми. В квантовой механике тождественность частиц приводит к новым физическим явлениям, основаннымна переплетении статистики и квантовой интерференции.Пусть классические уравнения движения имеют решение, в которомчастица движется по траектории , а такая же частица движется потраектории . Вследствие одинаковости частиц существуют переставленные начальные условия, приводящие к решению, в котором движется попути , а по пути .
Частица, помеченная , в конце пути остаётся тойже самой (по какому бы пути она ни двигалась), несмотря на то, что двепары траекторий выглядят одинаково, и соответствующие точки в двухрешениях проходятся в те же моменты времени и с теми же скоростями.В квантовой механике не существует меток для различения тождественных частиц. Можно приготовить неперекрывающиеся начальные условия,234Глава 9. Тождественные частицы!!выстреливаядва протона из различных источников. Допустим, они взаимоVladimir Zelevinsky: Quantum Physics — Chap. zelevinskyc15 — 2010/10/5 — page 308 — le-texдействуютили просто проходят по перекрывающимся пространственным!областям.
После этого невозможно различить два конечных состояния,показанные на рис. 9.1.308!15 Identical Particles1D2k'Dθ12k12kπ–θ–k'2(a)1(b)Figure 15.1 Two paths of identical particles indistinguishable in quantum mechanics.15.2Рис. 9.1. Два пути тождественныхчастиц, неразличимые в квантовой механикеPermutational SymmetryAll characteristics of identical particles a and b in the Hamiltonian H(a, b) areprecisely theамплитуды,same. Here, we use thesymbols a, b, ! ! ! for двухcompleteсобытий,setsПоэтому складываютсяа particleне вероятностии мыof single-particle variables which also include spin and other intrinsic degrees ofполучаем качественноfreedom.новое явление — интерференцию (конструктивнуюToтождественныхformulate the situation in termsof symmetries, let us introduce the transposiили деструктивную)частиц.tion operator PO " PO that interchanges (a $ b) all variables of the sets a and babbain a wave function,PO a b Ψ (a, b) D Ψ (b, a) .(15.1)9.2.
ПерестановочнаясимметрияSimilar exchange operators can be introduced for a part of variables as well. TheMajorana operator PO ar b interchanges only spatial coordinates, r a $ r b ; the Bartlettoperator PO aσb permutes only spin coordinates of the particles a and b. The totaltransposition operator (15.1) is usually called the Heisenberg operator. If there areno additional variables, it is obvious thatВсе характеристики тождественных частиц и в гамильтониане (, )в точности одинаковы.
Здесь мы используем символы частиц , , . . .PO a b D PO ar b PO aσb .для полных наборов одночастичныхпеременных, включая (15.2)спин и другиевнутренние степени Whenсвободы.applied twice, each of the transposition operators gives unity,Чтобы сформулироватьситуациюв1терминахсимметрий,(15.3)введём обмен(PO a b )2 D(PO ar b )2 D (PO aσb )2 D.^^ный оператор Therefore,≡ ,anyкоторыйпереставляет(↔)всеtransposition operator has two eigenvalues equal to ˙1, and itsпеременныеeigenfunctionsaredivided into two sets, symmetric and antisymmetric with respectнаборов и в волновойфункцииto the interchange of corresponding variables.
An arbitrary function has no definite symmetry, but it always can be presented as a superposition of functions withcertain symmetry,^ Ψ(, ) = Ψ(, ) .Ψ (a, b) "i 1hi1hΨ (a, b) C Ψ (b, a) CΨ (a, b) # Ψ (b, a) .22(9.1)(15.4)Можно также ввести подобные операторы, переставляющий только часть переставляет только пространственпеременных. Оператор Майорана ^ переставляет тольконые координаты ↔ ; оператор Бартлетта ^спиновыекоординаты частиц и . Полный обменный оператор (9.1) обычно!называют оператором Гейзенберга.
Если нет дополнительных переменных,!!то, очевидно,^ = ^ ^ .(9.2)!9.2. Перестановочная симметрия235Каждый из обменных операторов, применённый дважды, даёт единицу,(︀ )︀2 (︀ )︀2 (︀ )︀2^ = ^ = ^ = 1 .(9.3)Поэтому любой обменный оператор имеет два собственных значения, равных ±1, а его собственные функции делятся на два класса, симметричныеи антисимметричные по отношению к перестановке соответствующих переменных. Произвольная функция не имеет симметрии, но её всегда можнопредставить как суперпозицию функций с определённой симметрией:Ψ(, ) ≡]︁ 1 [︁]︁1 [︁Ψ(, ) + Ψ(, ) + Ψ(, ) − Ψ(, ) .22(9.4)В многочастичной системе из тождественных частиц можно ввести ( − 1)/2 обменных операторов ^ . Их последовательное применениепозволяет прийти к произвольной перестановке переменных по отношениюк исходной функции Ψ(, , .
. .). Полное число получаемых таким образомфункций равно числу ! различных перестановок. Ситуация в многочастичном случае сложнее, чем в (9.4), из-за возрастающего количествасмешанных симметрий.Проблемы, возникающие при > 2, связаны с тем, что обменные операторы, затрагивающие несколько объектов, не коммутируют. Например,для = 3 мы имеем^13 ^12 Ψ(1, 2, 3) = ^13 Ψ(2, 1, 3) = Ψ(3, 1, 2) ,(9.5)тогда как действуя в противоположном порядке, мы получаем результат,отличный от (9.5):^12 ^13 Ψ(1, 2, 3) = ^12 Ψ(3, 2, 1) = Ψ(2, 3, 1) ,(9.6)то есть [^13 , ^12 ] ̸= 0. Правильное коммутационное соотношение имеет вид^12 ^13 = ^23 ^12 .(9.7)Будучи некоммутативными, обменные операторы не имеют полного набора общих собственных функций.
Функции смешанной симметрии ведутсебя по-разному при разных перестановках. Это противоречит нашей идеенеразличимости частиц, поскольку перестановка тождественных частицне может изменить физику.236Глава 9. Тождественные частицыОднако два класса функций всегда являются собственными функциямивсех перестановок. Эти исключительные функции — полностью симметричные и полностью антисимметричные. Действительно, пусть Ψ(1, 2, 3) — собственная функция всех трёх операторов ^12 , ^23 и ^31 с (равными ±1) собственными значениями 12 , 23 и 31 , соответственно.
Тождество (9.7), применённое к Ψ(1, 2, 3), даёт 12 13 = 23 12 . Это показывает, что 13 = 23 ;таким же образом мы получаем 13 = 12 . Таким образом, все три собственных значения равны. В общем случае Ψ(1, 2, . . . , ) является собственнойфункцией всех операторов ^ тогда и только тогда, когда все собственныезначения равны; их общее значение есть +1 (полностью симметричнаяфункция Ψ ) или −1 (полностью антисимметричная функция Ψ ).Мы заключаем, что только функции Ψ или Ψ совместимы с идеейнеразличимости частиц. Достаточно взять функции правильной симметриив качестве начальных условий для эволюции по времени. Будучи симметричным относительно любой перестановки переменных тождественныхчастиц, многочастичный гамильтониан коммутирует со всеми обменнымиоператорами[︀]︀^ = 0.^ , (9.8)Поэтому все операторы ^ являются интегралами движения, и начальнаясимметрия волновой функции сохраняется со временем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
