1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Однако в последнемслучае только антисимметричные состояния со значением = −1 обменного оператора (9.25) разрешены статистикой Ферми. Следовательно,для —- или —-систем возможен только подкласс состояний, в которыхорбитальная ( ) и спиновая ( ) симметрии противоположны, а именночётные синглеты :0 + (1 0 ) ,1− (3 1 ) ,4+ (1 4 ) , . . . ;(9.27)3− (3 3 ) , . .
.(9.28)Можно было бы ожидать, что благодаря зарядовой независимости ядерныхсил из существования дейтрона (электрический заряд = 1) следуетсуществование связанных состояний — ( = 0, динейтрон) и — ( = 2,дипротон или 2 He). Таких связанных состояний не существует. Причинуэтого можно понять следующим образом.нечётные триплеты :0− (3 0 ) ,2+ (1 2 ) ,2− (3 2 + 3 2 ) ,Дейтрон с энергией связи 2,225 MэВ (маленькая величина, по ядерныммасштабам) не имеет возбуждённых связанных состояний. Поскольку ядерные силы зарядово независимы, гипотетические связанные состояния —и — должны были бы иметь такие же квантовые числа 3 1 + 3 1 , чтои единственное связанное состояние —.
Однако формулы (9.27) и (9.28)говорят нам, что такие состояния запрещены статистикой Ферми. Идея зарядовой независимости должна быть сформулирована как эквивалентностьядерных сил в одинаковых квантовых состояниях. Введение изобарического спина (или изоспина), ещё одной группы (2), основанной на протоне инейтроне как двух состояниях нуклона, — плодотворная формулировка идеизарядовой независимости, см. гл. 10. Весь формализм спина переносится на9.5. Двухнуклонные состояния247случай изоспина и даёт сильные предсказания для многонуклонных систем.В мире элементарных частиц работают ещё более высокие симметрии.Задача 9.4Пионы − , частицы со спином 0 и отрицательным электрическим зарядом, могут захватываться на водородоподобную орбиту вокруг ядра иобразовывать кулоновский мезоатом (оцените энергию связи и размернизшей орбиты для ядра с зарядом !).
Процесс завершается либо распадом (8.36) пиона на мюон и мюонное антинейтрино, либо ядерным захватомпиона. Рассмотрите -мезоатом дейтерия, где захват пиона из основного мезоатомного состояния (процесс, обусловленный сильным взаимодействием)приводит к ядерной диссоциации на два нейтрона:− + → + .(9.29)Покажите, что процесс (9.29) возможен только в случае, если пион имеет отрицательную внутреннюю чётность (псевдоскалярная частица), чтоиспользовалось в гл.
8.Решение.С бесспиновым пионом в основном -состоянии мезоатома и спиномдейтрона (полным угловым моментом), равным 1, полный угловой моментначального состояния в процессе захвата (9.29) равен = 1. Поэтомуконечное состояние двух нейтронов должно также иметь угловой момент = 1. Формула (9.29) разрешает единственную комбинацию квантовыхчисел двух нейтронов с = 1, а именно 3 1 с отрицательной чётностью.Чётность начального состояния совпадает с внутренней чётностью пиона,поскольку для низшей -орбиты в мезоатоме ℓ = 0, и состояние дейтрона,комбинация - и -орбиталей, также чётно.
Из сохранения чётности впроцессе (9.29) мы заключаем, что пион имеет отрицательную внутреннюючётность.Задача 9.5В системе двух тождественных невзаимодействующих бесспиновых бозонов одна частица находится в стационарном состоянии с нормированнойволновой функцией 1 ( ), имеющей положительную чётность, а другая —в состоянии с нормированной волновой функцией 2 ( ) отрицательнойчётности. Определите:1) распределение вероятности координат одной частицы ( ), если положение другой частицы произвольно;248Глава 9. Тождественные частицы2) вероятность найти одну частицу в верхнем полупространстве > 0;3) вероятность найти обе частицы при > 0.Ответьте на те же вопросы для двух фермионов в состоянии с одинаковымиспинами.Ответьте на те же вопросы для двух различимых частиц.Решение.1.
Правильно симметризованная волновая функция двух бозонов имеетвид1Ψ( 1 , 2 ) = √ [1 ( 1 )2 ( 2 ) + 1 ( 2 )2 ( 1 )] .(9.30)2Поскольку волновая функция симметрична, требуемая вероятностьможет быть найдена для любой из частиц, например, для 1 = ,интегрированием по всем возможным положениям 2 :∫︁( ) = 3 1 3 2 ( 1 − ) |Ψ( 1 , 2 )|2 .(9.31)Одночастичные волновые функции предполагаются нормированными∫︁∫︁23 |1 ( )| = 3 |2 ( )|2 = 1 ;(9.32)и они ортогональны вследствие противоположной чётности∫︁3 1* ( )2 ( ) = 0 .(9.33)Интегрирование в (9.31) даёт( ) =)︀1 (︀|1 ( )|2 + |2 ( )|2 ,2(9.34)поскольку интерференционный член обращается в ноль вследствиеортогональности (9.33). Множитель 1/2 гарантирует правильнуюнормировку∫︁3 ( ) = 1 .(9.35)9.5.
Двухнуклонные состояния2492. Для функций определённой чётности интеграл по верхнему полупространству равен∫︁13 |1,2 ( )|2 = .(9.36)2>0Поэтому вероятность нахождения одной частицы в верхнем полупространстве при произвольном положении другой частицы получаетсяиз (9.34):(︂)︂∫︁1 1 113( > 0) = ( ) =+= .(9.37)2 2 22>03. Чтобы найти вероятность нахождения обеих частиц одновременнов верхнем полупространстве, вернёмся к полной волновой функции (9.30):∫︁(1 и 2 > 0) =3 1 3 2 |Ψ( 1 , 2 )|2 .(9.38)1 ,2 >0Однако в полупространстве одночастичные волновые функции необязательно ортогональны, и их перекрытие описывается интегралом∫︁=3 1* ( )2 ( ) .(9.39)>0Используя формулы (9.36) и (9.39), мы получим(1 и 2 > 0) =1+ ||2 .4(9.40)В случае фермионов волновая функция должна быть антисимметричнойпо пространственным переменным (спиновые части 1 и 2 волновых функций одинаковы, и поэтому их произведение автоматически симметрично).Пространственная часть дается слэтеровским детерминантом:1Ψ(1, 2) = √ [1 ( 1 )2 ( 2 ) − 1 ( 2 )2 ( 1 )] 1 2 .2(9.41)Вычисления производятся тем же способом, как для бозонов, с учётом того,что спинор нормирован как ⟨|⟩ = 1.
Тогда формулы (9.34) и (9.36)остаются справедливыми. Однако одновременная вероятность (9.40) теперь250Глава 9. Тождественные частицыравна1− ||24(легко доказать, что это выражение всегда неотрицательно).Для различимых частиц нет перестановочной симметрии:(1 и 2 > 0) =(9.42)Ψ( 1 , 2 ) = 1 ( 1 )2 ( 2 ) .(9.43)Вероятности найти одну частицу в точке теперь различны для двухчастиц:1 ( ) = |1 ( )|2 , 2 ( ) = |2 ( )|2 .(9.44)Для каждой частицы вероятность найти её в верхнем полупространстве равна 1/2, а их одновременная вероятность быть в верхнем полупространстверавна 1/4.
Спиновые переменные, если они есть, не влияют на результат.Мы видим, что неразличимость частиц приводит к интерференционнымявлениям, связанным с интегралом перекрытия (9.39). В случае бозоновэто приводит к эффективному притяжению частиц, тогда как фермионы спараллельными спинами ощущают эффективное отталкивание по сравнению со случаем различимых частиц (принцип Паули). Для фермионов спротивоположными проекциями спина интерференция отсутствует вследствие ортогональности спиноров, так что они ведут себя как различимыечастицы.Задача 9.6Два тождественных бесспиновых бозона массой образуют молекулу благодаря потенциалу взаимодействия между ними = 2 ( 1 − 2 )2 .Определите спектр стационарных состояний молекулы.Решение.Волновая функция движения центра масс симметрична по построению.Волновая функция относительного движения является собственным состоянием гамильтониана2 1 2отн =+ ,(9.45) 2где = 1 − 2 и — координаты и импульс относительного движениясоответственно.
Мы также учли приведённую массу /2. Энергетическийспектр даётся стандартным решением для изотропного гармоническогоосциллятора, где собственное значение энергии зависит только от главного9.5. Двухнуклонные состояния251квантового числа)︂(︂3,( ) = ~ +2√︂ = + + ,=2.(9.46)В двухчастичной системе перестановочная симметрия пространственнойволновой функции эквивалентна чётности.
Для осциллятора она совпадает с (−) ; все орбитальные моменты ℓ при заданном имеют ту жечётность, что и . Только симметричные состояния допустимы для тождественных бозонов. Поэтому разрешённый спектр (9.46) ограничен чётнымисостояниями = 0, 2, 4, . . .(9.47)Задача 9.7Молекулярный водород H2 может существовать в двух формах, параи ортo-, которые отличаются полным ядерным спином = 1 + 2 двухпротонов, образующих молекулу. Ядерный спин равен = 0 и = 1для пара- и ортоводорода соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
