1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 75
Текст из файла (страница 75)
В результатемы получим распределение вероятностей (), уравнение (17.8), поэтомуконечная матрица плотности диагональна в базисе собственных функций^:∑︁^′ =()|⟩⟨|.(17.29)В терминах исходного базиса найденное распределение может быть записано как∑︁() = ⟨|^|⟩ =⟨|⟩′ ⟨ ′ |⟩,(17.30)′17.3. Тепловое равновесие453что содержит некогерентную сумму и интерференционные члены:∑︁∑︁′ ⟨|⟩⟨| ′ ⟩* .(17.31) |⟨|⟩|2 +() =′ (̸=′ )Исходные недиагональные элементы ′ , ̸= ′ , ответственны за потенциальную возможность когерентной интерференции различных компонентначального состояния. Степень когерентности, или контрастность интерференционной картины, можно оценить с помощью специальной величины′ = √′. ′ ′(17.32)В соответствии с результатом (17.26) задачи 17.3 |′ | 6 1 и максимальнаякогерентность ′ = 1 достигается для чистых состояний, как видно из(17.9).17.3. Тепловое равновесиеКак показано в статистической механике, тепловое равновесие с термостатом при температуре создает каноническую матрицу плотностисистемы)︁(︁1^^^ = −/ , = Tr −/ ,(17.33)^ — гамильтониан системы, контактирующей с большим тепловым регде зервуаром, а температура выражена в энергетических единицах.
Очевидно,что собственный базис здесь совпадает с базисом стационарных состоянийгамильтониана.При тепловом равновесии, описываемом ансамблем (17.33), вероятностьзаселения определённого стационарного состояния |⟩ зависит только отэнергии , безотносительно ко всем другим характеристикам ансамбля.Все микроскопические состояния в узком энергетическом окне входят сравными вероятностями. Это физически возможно, только если все этисостояния имеют практически идентичные макроскопические свойства.Лежащий в основе механизм установления равновесия обеспечивается смешиванием квантовых состояний в области большой плотности уровнейвследствие взаимодействия с термостатом (или между разными частямисистемы).
Это смешивание приводит к квантовому хаосу, наблюдаемому влокальных спектральных флуктуациях и корреляциях (гл. 18).454Глава 17. Матрица плотностиСтатистическая сумма( ) =∑︁^− = Tr (− ),=1,(17.34)которая формально входит в качестве нормирующего множителя дляматрицы плотности, играет важную двойственную роль. Во-первых, онаустанавливает связь внутренней структуры системы, воплощённой в ееэнергетическом спектре , с макроскопическими наблюдаемыми термодинамическими величинами, удобно выражаемыми в терминах свободнойэнергии:^ ( ) = − ln , ^ = ( −) .(17.35)Система в тепловом равновесии не имеет определенной энергии; ее распределение дается = (1/) exp(− ); средняя энергия может бытьнайдена как∑︁^ ^) = 1⟨⟩ = Tr ((17.36) − . С другой стороны, знание статистической суммы (17.34) как функциитемпературы позволяет извлечь плотность уровней системы.
В самом деле,статистическая сумма — это преобразование Лапласа плотности уровней:{︂∫︁}︂ ∫︁−^() = Tr ( − )= − level ().(17.37)Плотность уровней, в свою очередь, можно найти обратным преобразованием Лапласа статистической суммы, если последняя известна в широкомдиапазоне температур.Задача 17.4Найти среднюю энергию гармонического осциллятора при температуре.Решение.С известным энергетическим спектром = ~( + 1/2) мы суммируемгеометрическую прогрессию и находим=∞∑︁=0−~(+1/2) =−~/22=.−~sinh(~)1−(17.38)17.3. Тепловое равновесие455Средняя энергия определяется выражением (17.36):)︂(︂ )︂(︂~11= ~ coth⟨⟩ = ~.+ ~2 2−1(17.39)Это распределение Планка, которое послужило зародышем квантовой механики (гл.
I.1). Мы интерпретируем этот ответ как результат комбинирования квантовых флуктуаций (энергия нулевых колебаний ~/2) степловыми флуктуациями, которые создают среднее число ⟨⟩ квантовтеплового возбуждения(︂)︂11⟨⟩ = ~+ ⟨⟩ , ⟨⟩ = ~.(17.40)2−1Поскольку средние значения кинетической и потенциальной энергий гармонического осциллятора равны в каждом стационарном состоянии, этот аналог классического равнораспределения также справедлив для равновесногоансамбля.
Следовательно, среднеквадратичное смещение от равновесногоположения может быть найдено как(︂ )︂1~~2⟨ ⟩ =⟨⟩ =coth.(17.41)22Задача 17.5Найти матрицу плотности в координатном представлении (, ′ ) длягармонического осциллятора при температуре .Решение.Матрица плотности (, ′ ) задаётся выражением⟨|^|′ ⟩ =∑︁⟨|⟩1 −1 ∑︁⟨|′ ⟩ = ()* (′ )− . (17.42)Здесь сумма совпадает с пропагатором (, ′ ; − ′ ), уравнение (I.3.37),продолженным в комплексные времена − ′ ⇒ −~.(17.43)Пропагатор при вешественном времени для гармонического осцилляторабыл найден в (I.11.65). Подстановка (17.43) вместе с нормировкой (17.38)456Глава 17. Матрица плотностиприводит к′(, ) =√︂ −(/4~)[(+′ )2 +(−′ )2 /],~(︂ = tanh~2)︂.(17.44)Диагональные элементы матрицы плотности ′ = могут интерпретироваться как функция распределения (), уравнение (17.20), координатыосциллятора, взаимодействующего с тепловым резервуаром,√︂∫︁ −(/~) 2, () = 1.(17.45)() = (, ) =~Это распределение Гаусса с дисперсией ⟨2 ⟩, найденной в (17.41).
Отметимразницу между классическим случаем, когда = tanh → , постоянная Планка не входит в ответ, и мы получаем результат больцмановскойстатистики√︂ 2 −2 2 /2~() ⇒, ≡≪ 1,(17.46)22и квантовым пределом ≫ 1, когда → 1, и мы восстанавливаем неопределённость координаты в основном состоянии осциллятора, уравнение(I.11.16):√︂ −2 /~2 () = |0 ()| =.(17.47)~Равновесный канонический ансамбль (17.33) может быть обобщён дляслучаев, когда другие макроскопические величины, кроме энергии, даныих средними значениями, хотя их микроскопические значения флуктуируют вследствие взаимодействия с термостатом.
Чтобы зафиксироватьнаблюдаемые средние значения, вводят, подобно температуре, которая определяет среднюю энергию, аналогичные интенсивные величины (локальные,растущие пропорционально объему или числу частиц). Мы используем химический потенциал , когда полное число частиц флуктуирует вокругего среднего значения:^ =1^^−(− ) ,(, )(︁)︁^^(, ) = Tr −(− ) ,(17.48)где след берется по всем собственным состояниям с разными числамичастиц. Если нужно зафиксировать средний угловой момент системы J,17.4. Поляризационная матрица плотности457мы вводим угловую скорость Ω :^ =1^^ Ω·J)]−[−(Ω,Ω, )(Ω(︁)︁^^ Ω·J)]Ω, ) = Tr −[−(Ω(Ω;(17.49)в случае полного импульса P мы добавляем в экспоненте −(V · P), гдe Vиграет роль скорости системы как целого.17.4. Поляризационная матрица плотностиСпиновое состояние системы часто задаётся в терминах матрицы плотности.
Будучи приготовленным, например, комбинацией магнитных полейили полученным в результате химической или ядерной реакции, оно можетбыть некогерентной смесью различных возможностей.Рассмотрим систему, — «частица» со спином (её полный угловой момент), который приготовлен в состоянии, характеризуемом матрицей плотности ′ , где и ′ возможные проекции на ось квантования. Длячистого состояния с фиксированной проекцией = 0 , эта матрица плотности была бы′ = 0 ′ 0 .(17.50)В противоположном случае неполяризованной частицы все проекции равновероятны:′′ =.(17.51)2 + 1Соответственно, поляризация частицы задается в этих крайних случаяхвектором{︂e 0 , фиксированная проекция,⟨j⟩ = Tr (^j^) =(17.52)0,неполяризованнаяЗадача 17.6Определить спиновую матрицу плотности для частицы 2 со спином 2 ,связанной с ненаблюдаемой частицей 1 со спином 1 в состояние | ⟩ сфиксированными квантовыми числами полного углового момента и егопроекции.Решение.458Глава 17.
Матрица плотностиПолная система описывается смешанной (связанной) волновой функцией∑︁| ⟩ =|1 1 ; 2 2 ⟩.(17.53)1 1 2 21 2По определению (17.5) находим∑︁(︀ )︀2( )2 ′ = .′ = 2 ′−1 1 2 2 1 1 2 1222222(17.54)1Матрица плотности диагональна вследствие сохранения проекции угловогомомента, но диагональные матричные элементы зависят от 2 .
Только для = = 0 матрица плотности неполяризована(00)1 2 =1 2 1 2.22 + 1(17.55)Если мы интересуемся состоянием спина, ориентированного вдоль оси,которая не совпадает с исходной осью, использованной для определенияматрицы плотности, то нужно сделать поворот для совмещения этих осей.Если мы вращаем обе оси, исходную, использованную для приготовлениясистемы, и другую ось, нужную для измерения или вторичного эксперимента, на один и тот же угол, результат не должен измениться. Следовательно,преобразование матрицы плотности ^ → ^′ должно быть обратным поотношению к преобразованию операторов ^ → ^′ = ^^^−1 :^ = Tr(^^Tr(^^′ ) ≡ Tr(^ ^^^−1 ) = Tr(^−1 ^ ^)′ ).(17.56)Мы использовали здесь циклическую инвариантность оператора следа,которая показывает, что переход |⟩ → |′ ⟩ в операторе под знакомследа сопровождается обратным переходом |′ ⟩ → |⟩ для оператора ^.Полный набор операторов, действующих в пространстве |⟩, состоит изтензорных операторов , которые могут связывать отдельные состоянияв этом пространстве.
Этот набор ограничен правилами векторной связи(гл. II.6 и II.7), 0 6 6 2, в то время как проекции , ′ и должныудовлетворять обычному алгебраическому закону сохранения, ′ + = .Следовательно, поляризационная матрица плотности всегда может бытьпредставлена суперпозицией матричных элементов разрешенных тензорных17.4. Поляризационная матрица плотности459операторов′ =∑︁′(−)− −′ ,(17.57)где коэффициенты Клебша–Гордана (ККГ) гарантируют корректные правила отбора (некоторые авторы используют в этом определении 3-символы).Поляризационные моменты, или спин-тензоры , полностью характеризуют матрицу плотности. Фаза в (17.57) соответствует правилу обращениявремени, обсуждавшемуся в разд. II.7.6, поскольку проекция ′ уничтожается.Задача 17.7Определить поляризационные моменты для неполяризованного состояния.Решение.В силу ортогональности ККГ мы можем разрешить уравнение (17.57)для поляризационных моментов:∑︁′ =(−)− −(17.58)′ ′ .′Матрица плотности неполяризованного состояния определяется уравнением(17.51), поэтому∑︁1(−)− − =(17.59) .2 + 1 Как следует из задачи II.7.5,(−)−00√.−=2 + 1(17.60)Снова используя свойство ортогональности, находим = √∑︁0 0100−, − = √2 + 1 2 + 1(17.61)т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
