1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Энтропия ансамбля467Это состояние характеризуется матрицей плотности^ = · P)1 + (^1 + ^2=.22(17.100)Энтропия чистого состояния равна нулю, так что изменение энтропии равноеё конечному значению{︂}︂^1 + ^2^1 + ^2 = −2 Trln.(17.101)22Результат может быть удобно представлен в терминах перекрытия исходныхволновых функций (II.5.35), равного⟨1 |2 ⟩ =11 + cos [1 + (n1 · n2 )] == cos2 (/2),22где — угол между направлениями поляризаций:(︁ )︁ 2 = cos2= Tr(^1 ^2 ).2(17.102)(17.103)Тогда уравнение (17.101) показывает, что энтропия возрастает после перемешивания на величину}︂{︂1 + cos(/2) 1 − cos(/2)1 − cos(/2)1 + cos(/2)ln+ln.
= −22222(17.104)Для ортогональных спиновых состояний = , cos(/2) = 0 и = 2 ln 2,(17.105)в то время как для идентичных поляризаций = 0 = 0.(17.106)Для классических газов мы имеем только эти два крайних результата, приводящих к парадоксу Гиббса: разрывность энтропии смешивания, когда мыидем от разных газов, где соответствующая энтропия получает скачок ln 2на частицу как результат удвоения доступного объема, к тождественнымгазам без изменения энтропии. В квантовом случае мы не можем изменитьдискретных квантовых чисел, таких как заряды, которые различают типычастиц. Но мы можем непрерывно изменять направление поляризации и468Глава 17. Матрица плотноститаким путем исследовать все гильбертово пространство. Это восстанавливает непрерывность, и энтропия перемешивания может принимать любоепромежуточное (всегда неотрицательное) значение. Такое же заключениесправедливо для любой пары начальных волновых функций 1 , 2 , которыеотличаются непрерывным изменением внутреннего параметра [111].17.7.
Эволюция матрицы плотностиЭволюция во времени чистого состояния управляется гамильтонианомсистемы через уравнение Шрёдингера. Динамика смешанных состоянийдолжна описываться в терминах матрицы плотности. Уравнение движения для матрицы плотности замкнутой системы также определяется ее^гамильтонианом .Используя полный ортонормированный набор |⟩ не зависящих от времени состояний замкнутой системы, представим любое чистое состояние(17.1) как суперпозицию∑︁|Ψ()⟩ = ()|⟩.(17.107)Здесь, в отличие от гл. II.10, состояния |⟩, вообще говоря, не являютсясобственными состояниями гамильтониана.
Состояние (17.107) развиваетсяво времени согласно~∑︁∑︁^|Ψ⟩ = ~˙ |⟩ = |Ψ⟩= |⟩.(17.108)Это эквивалентно системе уравнений для амплитуд и их комплексносопряжённых *~˙ =∑︁ ,−~˙ * =∑︁** .(17.109)Поэтому матрица плотности системы = *должна быть решением уравнения∑︁*~˙ =( − ).(17.110)(17.111)17.7. Эволюция матрицы плотности469* = Вследствие эрмитовости гамильтониана уравнение (17.111)может быть написано в операторной форме~^ ^]^ = [,(17.112)(уравнение фон Неймана — квантовый аналог уравнения Лиувилля классической механики).С гамильтонианом, не зависящим от времени, формальное решение уравнения (17.112) есть^^^() = −(/~) ^(0)(/~) .(17.113)Уравнения (17.112) и (17.113) отличаются знаком времени от соответствующих выражений в картине Гейзенберга (разд.
I.7.5). Так и должно быть,потому что только при этом различные картины эквивалентны (ср. с похожими аргументами, относящимися к вращению, уравнение (17.56)). В самомделе, среднее значение не зависящего от времени оператора ^ с матрицей плотности, эволюционирующей согласно уравнению (17.112), задаётсявыражением(︁)︁(︁)︁^^−(/~)(/~)^^^⟨⟩ = Tr ^() = Tr ^(0).(17.114)Используя циклическую инвариантность следа, мы видим, что уравнение(17.114) совпадает с тем, что мы ожидали для зависящего от времени^ и стационарной матрицы плотностигейзенберговского оператора ()^ ^ −(/~)^^ = Tr ((/~)^ (0)).⟨⟩^(0)) = Tr(()^(17.115)Матрица плотности становится стационарной, уравнение (17.112), если она коммутирует с полным гамильтонианом.
Тогда она может бытьдиагонализована одновременно с гамильтонианом, и канонический базисуравнений (17.16, 17.17) совпадает с базисом стационарных состояний. Стационарная матрица плотности является функцией интегралов движения,прежде всего энергии. Это то, что мы видели в описании теплового равновесия (разд. 17.3). Будучи смещена от равновесия возмущением, системабудет испытывать релаксацию к равновесию. Следы релаксации содержатсяв недиагональных матричных элементах матрицы плотности в представлении собственных функций невозмущённого гамильтониана. Эти матричныеэлементы должны стремиться к нулю. Небольшая часть макроскопическойсистемы может быть (приблизительно, но с высокой степенью точности)470Глава 17.
Матрица плотностирассмотрена в рамках той же эволюции как результат усреднения по многим актам слабых взаимодействий с окружением. Это стандартный подходв статистической физике равновесных систем.17.8. Ещё о линейном откликеВ терминах матрицы плотности можно описать отклик квантовомеханической системы на возмущение, зависящее от времени. Это может быть, вчастности, слабое взаимодействие с окружением. Этот пример иллюстрирует, как теория возмущений может формулироваться на языке матрицыплотности. Мы уже имели дело с теорией линейного отклика в разд. II.15.2II.15.5.^ ′ () возмущение действует на систему, опиПусть зависящее от времени сываемую стационарной матрицей плотности ^∘ .
Эволюционное уравнениеопределено в (17.112):^ ^] + [^ ′ (), ^].~˙ = [,(17.116)Равновесная матрица плотности ^∘ удовлетворяет уравнению^ ^∘ ] = 0.[,(17.117)Для достаточно слабого возмущения мы можем искать решение для матрицы плотности с малой неравновесной добавкой, наложенной на стационарное решение^() ≈ ^∘ + ^′ (),(17.118)где мы предположим, что зависящая от времени часть пропорциональнавозмущению (линейное приближение). Эта аппроксимация справедлива,если система стабильна, и слабое возмущение не приводит к изменению ееструктуры. Часть линейного отклика ^′ () удовлетворяет уравнению^ ^′ ] + [^ ′ (), ^∘ ],~˙ ′ = [,(17.119)^ ′ (), ^′ ()].где мы пренебрегаем членом второго порядка [Задача 17.13Показать, что операторное решение уравнения (17.112) для возмущения,которое началось в отдаленном прошлом → −∞, может быть записано17.9.
Электропроводность471как^ () = −~′∫︁^ ′^ ′ −)^ ′ (′ ), ^∘ ]−(/~)(′ (/~)( −) [.(17.120)−∞Решение.Проверяем прямым дифференцированием. Первый член (17.116) исключается использованием картины Гейзенберга по отношению к невозмущенному^ уравнение (17.113).гамильтониану ,^ ′ (′ ), ^∘ ] может быть сведен к коммутатору с невозмущенКоммутатор [ным гамильтонианом для случая теплового равновесия, когда матрицаплотности ^∘ имеет канонический экспоненциальный вид (17.33). Действи^ предполагая, чтотельно, для любого оператора ,^ − ^ ] = − ^ (),^[,(17.121)^поэтому (0)= 0, мы придем к производной^^ ^ ^ − ^= [,].Беря теперь интеграл∫︀ 0(17.122)в обеих частях, мы находим () и^ − ^ ] = − ^[,∫︁′ ^^ ]^ − ′ ^ .
′ [,(17.123)0Мы используем это тождество для вывода известной формулы Кубо. По^ коммутируют, решение (17.120) можно записатьскольку все функции теперь как^ () = − ^∘~′∫︁−∞′∫︁′′ ^^ ^ ′ (′ )]−[(/~)(′ −)+ ′ ]^ . ′ [(/~)( −)+ ] [,0(17.124)17.9. ЭлектропроводностьПрименим разработанный формализм к системе с подвижными электронами в однородном, достаточно слабом электрическом поле ℰ , когда472Глава 17. Матрица плотностивозмущение имеет вид^ ′ () = −∑︁∫︁(︁)︁(︁)︁ ∑︁ (r − ^r ). ℰ () · ^r = − 3 ℰ () · r(17.125)При тепловом равновесии (матрица плотности ^∘ ) электрические токиотсутствуют, но они появляются в присутствии электрического поля, которое может быть либо внешнего происхождения, либо результатом тепловыхфлуктуаций.
В линейном приближении возникший ток j пропорционаленполю, как это выражено законом Ома∫︁ ′ ( − ′ )ℰ (′ ).(17.126) () =−∞Отклик является причинным (см. гл. II.15), ток реагирует только на поле,действовавшее в более ранние моменты времени. Пропорциональностьреализуется с помощью тензора проводимости ( ), который зависит отвремени запаздывания между возмущением и откликом. В кристаллахотклик часто анизотропен, поэтому нам нужен тензор, а не скалярнаяконстанта.Запаздывающая временная зависимость определяет частотную дисперсию отклика.
Вводя = − ′ , мы перепишем (17.126) как∫︁ ∞ () = ( )ℰ ( − ).(17.127)0Эта свертка может быть записана как прямая пропорциональность междуФурье-компонентами тока и поля:∫︁ ∞; = ( ) ℰ; ≡ ; ℰ; .(17.128)0В более общей ситуации, которую мы здесь не рассматриваем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
