1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 76
Текст из файла (страница 76)
е. единственный скалярный момент 00 описывает неполяризованноесостояние.В общем случае поляризованное состояние объекта со спином характеризуется или (2 + 1)2 элементами эрмитовой матрицы плотности ((2 + 1)вещественных диагональных элементов и (2 + 1)2 параметров, возникающих из взаимно комплексно сопряжённых недиагональных элементов), или,460Глава 17. Матрица плотностичто эквивалентно, (2 + 1)2 спин-тензорами , ограниченными правиламитреугольника.Задача 17.8Построить спин-тензоры для частицы со спином 1/2 и связать их сосредними значениями компонент спина.Решение.(2 + 1)2 = 4 разрешенных спин-тензоров содержат скаляр 00 и трикомпоненты вектора 1 .
В соответствии с теоремой Вигнера–Эккарта, разд.I.12.7, векторная часть пропорциональна матричным элементам операторауглового момента, в этом случае спина s, или матрицам Паули . В самомделе, мы знаем, что 1 и образуют полный набор матриц 2 × 2. Разложение(17.57) принимает вид^ = + (B · ),(17.62)а коэффициенты находятся из задачи II.5.5=11tr ^ = ,22B=11 ^) = ⟨ ⟩.tr(22(17.63)В результате общая матрица плотности спина 1/2 может быть записанакак)︁1 (︁⟩ · ) .^ =1 + (⟨(17.64)2Скалярная часть соответствует отсутствию поляризации, уравнение(17.61),100 = √ ,(17.65)2в то время как векторная часть определяет вектор поляризации (2.87), ⟩,P = tr(^ ) ≡ ⟨)︂)︁ 1 (︂ 1 + 1 (︁ − ^ =1 + (P · ) =.22 + 1 − (17.66)(17.67)Векторный поляризационный момент 1 пропорционален среднему значению соответствующей сферической компоненты спина,1 = ⟨ ⟩ = .(17.68)17.4.
Поляризационная матрица плотности461Коэффициент может быть найден, например, из -проекции, = 0,поскольку мы знаем соответствующие ККГ из (II.7.20):10 = =∑︁=±1/2101/2− 11/2−( ) ⟨ ⟩1/2 (−)21= √ .2(17.69)Задача 17.9Определить векторный спин-тензор 1 для частицы с произвольнымспином в терминах средних значений компонент j.Решение.Спин-тензор определяется как∑︁′11 =(−)− −′ ′ .(17.70)′По теореме Вигнера–Эккарта, матричные элементы углового момента могутбыть выражены через те же ККГ′1⟨′ |^ |⟩ = (−)− −′ ,(17.71)где относится к приведенному матричному элементу.
Следовательно,1 =1 ∑︁1 ^( )′ ′ ′ =⟨ ⟩.′(17.72)Остается определить коэффициент . Это можно сделать, вычисляя ⟨^j2 ⟩ =( + 1). Используя (17.71) и ортонормированность ККГ, получим2 =1( + 1)(2 + 1),3(17.73)3⟨^ ⟩.( + 1)(2 + 1)(17.74)и наконец√︃1 =Для спина 1/2 этот результат совпадает с (17.69), если вспомнить, что.s = (1/2)462Глава 17.
Матрица плотности17.5. Приложение к рассеяниюНа практике состояние пучка частиц смешанное, а не чистое. Формализмматрицы плотности полезен для описания как начального состояния, так ипродуктов взаимодействия. Мы обсуждали рассеяние частично поляризованного пучка частиц со спином 1/2 в разд. 2.10. Здесь мы наметим болееобщий подход.Рассмотрим процесс рассеяния с сечением, определённым квадратом амплитуды . В общем случае амплитуда является оператором (зависящим отуглов рассеяния), который преобразует начальные внутренние переменные,включая спиновые, к их конечным значениям. Пусть начальное состояниеописывается матрицей плотности (например, по отношению к спиновымпеременным) ′ . Каждое чистое начальное состояние будет преобразованооператором рассеяния в суперпозицию конечных состояний. Начальнаяамплитуда чистого состояния |⟩ порождает суперпозицию конечныхсостояний |⟩, и амплитуда вероятности нахождения∑︀состояния |⟩ даётся′ =матричным элементом оператора рассеяния .Переходя от чистого состояния к ансамблю экспериментов с неполнойинформацией, мы получаем преобразование матрицы плотности (чертасверху означает усреднение по ансамблю):′′ * =′′ = ′∑︁ (︁∑︁′ ′ ′)︁*′=∑︁*^^^† )′ , ′ ′ ′ = ( ′(17.75)или, в операторной форме,^′ = ^^^† .(17.76)Дифференциальное сечение процесса с регистрацией всех внутренних состояний даётся выражением (ср.
с разд. 2.10) ∑︁ ′ 2=| | = Tr ^′ = Tr(^^^† ).(17.77)Здесь мы предполагаем, что начальная матрица плотности нормирована,как в уравнениях (17.7) и (17.15). Для неполяризованных частиц спина начальная матрица плотности (17.51) определяет1=Tr(^^† ),2 + 1т. e. простое усреднение по возможным состояниям спина.(17.78)17.5. Приложение к рассеянию463^ после процесса расСреднее значение ′ ≡ ⟨⟩′ любой наблюдаемой сеяния вычисляется с помощью конечной матрицы плотности (17.76). Поскольку ^ не является унитарным оператором, ^′ нормирован дифференциальным сечением (17.77).
Следовательно, средние значения выражаютсякак^ ′ )^ ^^^† )Tr(^Tr(′ ==.(17.79)//В частности, поляризация P′ рассеянных частиц определяется какP′ =Tr(^s^^^† ).Tr(^^^† )(17.80)Задача 17.10Частица со спином рассеивается на ядре со спином . Предполагая, чтоисходная мишень не поляризована, в то время как исходный пучок имеетполяризацию P (и нет высших поляризационных моментов), выразитьдифференциальное сечение и конечную поляризацию частиц в упругомрассеянии, описываемом амплитудой ^ ().Решение.Начальная матрица плотности () налетающего пучка содержит только00 и 1 спиновые моменты:00 = √12 + 1(нормировка) и (см.
уравнение (17.74))√︃3T=P.( + 1)(2 + 1)Это определяет начальную матрицу плотности (17.57)√︃∑︁′3′()1′ =+(−)− −′ ,2 + 1( + 1)(2 + 1) (17.81)(17.82)(17.83)или, в силу (17.71) и (17.73),()′1=2 + 1{︂′}︂3+(s′ · P) .( + 1)(17.84)464Глава 17. Матрица плотностиЭто выражение не предполагает какой-либо особой геометрии; векторполяризации имеет произвольное направление, безотносительно к оси квантования. Для спина 1/2 мы приходим к результату (17.64), использованномув разд. 2.10:1(=1/2)′ = ′ + (⃗′ · P),(17.85)2в то время как высшие компоненты матрицы плотности отсутствуют.Принимая во внимание также неполяризованную матрицу плотностимишени ′() ′ =(17.86)2 + 1и вводя оператор рассеяния ^ , который, в отличие от ^, действует также напеременные мишени, мы получим дифференциальное сечение, усредненноепо состояниям мишени{︂(︁)︁}︂13†††^^^^^^Tr( ^s ) · P.= Tr ( ^ ) =Tr( ) +(2 + 1)(2 + 1)( + 1)(17.87)В терминах неполяризованного сечения(︂ )︂1=Tr(^ ^ † )(17.88) 0 (2 + 1)(2 + 1)мы получим=(︂)︂ {︃1+03Tr(^ ^s^ † )P·( + 1)Tr(^ ^ † )}︃.(17.89)Для конечной поляризации находим′ =Tr(^ ^ ^ † ) + [3/(( + 1))] P · Tr(^ ^ ^s^ † ).Tr(^ ^ † ) + [3/(( + 1))] P · Tr(^ ^s^ † )(17.90)Поляризация исходно неполяризованного пучка может быть использована для вторичного рассеяния, что приводит к азимутальной асимметриивторично рассеянных частиц по отношению к их волновому вектору k′ ,полученному после первичного рассеяния.17.6.
Энтропия ансамбля46517.6. Энтропия ансамбляКвантовый ансамбль, определённый матрицей плотности ^, может характеризоваться энтропией ансамбля[] = − Tr(^ ln ^).(17.91)В противоположность информационной энтропии, разд. 18.5, энтропия(17.91) даётся следом, т. e. она инвариантна при унитарных преобразованияхбазиса. В собственном базисе (17.17) мы можем вычислить энтропию как∑︁=− ln .(17.92)Это показывает, что энтропия чистого состояния = 0 равна нулю.Любое смешанное состояние имеет бо́льшую энтропию — оно несёт меньшуюинформацию.Определение энтропии может быть применено к равновесному тепловомуансамблю. Взяв производную по свободной энергии (17.35), находим⟨⟩ = + = −+ ≡ + ,(17.93)где термодинамическая энтропия определяется как=−.(17.94)Используя явный вид (17.33) канонической матрицы плотности, мы непосредственно убеждаемся, что термодинамическая энтропия (17.94) совпадает с общим выражением для энтропии ансамбля (17.92):=−∑︁ ln , =1 − /.(17.95)Задача 17.11Найти энтропию ансамбля спинов 1/2, определённого вектором поляризации P.Решение.Собственные значения поляризационной матрицы плотности (17.64)± =1±,2 = |P|(17.96)466Глава 17.
Матрица плотностиимеют простой смысл вероятностей нахождения частицы со спином вверхили вниз относительно направления поляризации P. Для энтропии ансамбля находим1+1+1−1−ln−ln.(17.97)=−2222Чистое состояние характеризуется волновой функцией; тогда поляризацияP является единичным вектором = 1, и энтропия исчезает.adimir Zelevinsky: Quantum Physics — Chap.
zelevinskyЗадача 17.12Энтропия смешивания (рис. 17.1). Два равных объема наполненыгазом из тождественных частиц со спином 1/2 в каждом объеме; температура и давление одинаковы в обеих частях. Частицы в двух частяхнаходятся в чистых состояниях 1 и 2 (вообще говоря, не ортогональных).498 Найти23 энтропиюDensityравновесногоMatrix состояния после того, как перегородкамежду объемами была убрана, и газы перемешались из-за диффузии.NNψ1ψ2Рис. 17.1. Начальное состояние двух газовFigure 23.1 Initial state of two gases in Problem 23.12Решение.Любое состояние частицы со спином 1/2 поляризовано, поэтому начальная поляризация газов можно задать единичными векторами n1 и n2 .Вначале части системы описываются матрицами плотности (17.96):For classical gases, we would only have theseGibbs paradox: a discontinuity of the mixing · n1,2 )1 + (gases and theentropy^1,2 = corresponding.(17.98)jump o2of the available volume, to the idenКонечнаяdoublingполяризация равна1In a quantumcase,we cannot changediscreteP = (n1 + n2 ).(17.99)2which distinguish between types of particles.the polarization direction and in this way, ex17.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
