1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 80
Текст из файла (страница 80)
2.1, в этом случае для волновых функций всегда можно выбрать вещественный базис. Так как гамильтониандолжен быть эрмитовым, каждый элемент такого ансамбля представляетсобой вещественную симметричную матрицу = , а допустимыепреобразования принадлежат к классу ортогональных. Предположение об18.3. Гауссов ортогональный ансамбльотсутствии корреляций приводит к анзацу:∏︁ ( ), () =485(18.25)(6)а инвариантность по отношению к ортогональным преобразованиям требует,чтобы распределение вероятности () для матричных элементов ′ ′было одним и тем же во всех других базисах.Достаточно рассмотреть блок матрицы размером 2 × 2 с вещественнымиэлементами 11 , 22 и 12 = 21 .
Совместная вероятность наличия трехзаданных значений матричных элементов в выбранном базисе равна () = 11 (11 )12 (12 )22 (22 ).(18.26)Ортогональное преобразование базиса в данном случае — обычный поворот,параметризованный углом , к векторам нового базиса:|1′ ⟩ = cos |1⟩ − sin |2⟩,|2′ ⟩ = sin |1⟩ + cos |2⟩.(18.27)Матричные элементы в новом базисе равны1′ 1′ = cos2 11 + sin2 22 − 2 sin cos 12 ,2′ 2′ = sin2 11 + cos2 22 + 2 sin cos 12(18.28)и1′ 2′ = sin cos (11 − 22 ) + (cos2 − sin2 )12 .(18.29)Задача 18.1Выпишите условия инвариантности для бесконечно малого поворота,удерживая лишь линейные по члены, получите дифференциальные уравнения для вероятностей и найдите их решения.Решение.Условие инвариантности имеет вид11 (11 )12 (12 )22 (22 ) =]︂ [︂]︂[︂1112= 11 (11 ) − 21212 (12 ) + (11 − 22 )×1112[︂]︂22× 22 (22 ) + 212.(18.30)22486Глава 18.
Квантовый хаосВ линейном приближении(︂)︂1 221 1111 12−+ (11 − 22 )= 0.1222 22 11 11212 12(18.31)Стандартная процедура разделения переменных вводит две константы, и 0 , а результатом после соответствующей нормировки является произведение трёх гауссовых распределений:√︂√︂ −(11 −0 )2 /4 −(22 −0 )2 /411 =, 22 =,44√︂ −122 /212 =.(18.32)2Заметим, что полная вероятность (48.19) может быть записана как2 +( () = const −(/4)[(11 −0 )^22 −0 )^2 + 2 + 2 ]1221=2= const −(/4)Tr[(−0 1) ] ,(18.33)^ − 0 1.^т. е.
выражена явно через инвариантный след оператора Выбор центроида спектра 0 значения не имеет, и он может быть положенравным нулю. Таким образом, предельный хаос соответствует гауссовураспределению с нулевым средним значением и одной и той же дисперсиейдля всех диагональных элементов, тогда как для всех недиагональныхэлементов дисперсия оказывается вдвое меньшей:2diag=2,2off−diag=1.(18.34)Отсутствие корреляций между различными элементами позволяет представить этот результат в виде = ( + )2,4(18.35)где использовано новое обозначение = 4/2 и введена размерная инвариантность (скейлинг) матричных элементов, обратно пропорциональныхквадратному корню из размера матрицы .
Явное выделение скейлинганеобходимым не является, но удобно при сравнении результатов для разных18.4. Распределение межуровневых интервалов487размеров матриц, так как среднее значение(Tr )2 =∑︁ =∑︁222=42(18.36)не зависит от , и мы можем рассматривать предел → ∞.18.4. Распределение межуровневых интерваловНепосредственное обобщение двумерного результата (18.33) на произвольные размерности приводит к гауссову ортогональному ансамблю (ГОА)случайных вещественных симметричных матриц, определяемому нормированной (ср. с (18.32)) функцией распределения(︃√︂ () =2)︃ ( −1)/2 (︃√︂4)︃^ 2 )/2− Tr ((18.37)или эквивалентным выражением (18.35).Вероятность (18.37) зависит лишь от собственных значений ^ 2) =Tr (∑︁2 ,(18.38)=1а не от ( − 1)/2 углов , определяющих «ориентацию» данного базисапо отношению к собственному базису (в примере = 2 (18.27) у нас былтолько один угол). Мерой в пространстве случайных матриц при вычислении наблюдаемых вероятностей является «декартово» произведениедифференциалов независимых матричных элементов 11 12 22 , ...,т.
е. среднее по ансамблю должно вычисляться в соответствии с∫︁∫︁ ∏︁ () = () () = () ().(18.39)(<)Для получения распределения собственных значений нам нужно сделатьпреобразование к переменным { , } и проинтегрировать () по несущественным углам. Результат опять может быть понят на примере случая = 2.Задача 18.2Вычислите якобиан для преобразования от исходного базиса (11 , 22 ,12 ) к набору переменных (1 , 2 , ).488Глава 18. Квантовый хаосРешение.Из уравнений (18.28) и (18.29) следует, что данное преобразование имеетвид11 = 1 cos2 + 2 sin2 , 22 = 1 sin2 + 2 cos2 ,12 = (1 − 2 ) sin cos .(18.40)откуда=(11 , 22 , 12 )= 1 − 2 .(1 , 2 , )(18.41)Якобиан (18.41) при пересечении уровней обращается в нуль.
Это вполнеожидаемо из того, что преобразование к собственным значениям и угламоказывается в этом случае сингулярным (обратное преобразование припересечении уровней не определено, так как может быть взята любаясуперпозиция вырожденных уровней). Результирующее распределение дляматриц 2 × 2 оказывается однородным по :222 (1 , 2 , ) = const |1 − 2 |−2(1 +2 )/ .(18.42)Несмотря на отсутствие корреляций между матричными элементами, положения уровней скоррелированы из-за расталкивания уровней (см.
разд.I.10.5). В согласии с нашим прежним выводом, в случае обратимой вовремени динамики расталкивание уровней линейно.Задача 18.3Для двумерного случая найдите распределение () межуровневых интервалов — расстояний между 1 и 2 и вычислите средний интервал.Решение.Нормируя вероятность (18.42) и интегрируя, найдем распределение∫︁222 () = + − (+ , − , )( − + + − ) = 2 − /(18.43)с характерным расталкиванием уровней на малых расстояниях и с гауссовым хвостом на больших.
Средний интервал равен√∫︁ ∞= () =.(18.44)2018.4. Распределение межуровневых интервалов489В безразмерных переменных = / получим распределение (или гипотезу) Вигнера [120, с. 199]: () = −(/4)2.2(18.45)Максимум этой функции (рис. 18.4) отвечает = 2/, а общее расположение уровней оказывается гораздо более упорядоченным в отличие отнеупорядоченного распределения Пуассона в случае регулярной динамики.Рис. 18.4. Распределение Вигнера для межуровневых интервалов (), в сравнении с распределением интервалов в хаотическом биллиарде-стадионе[121]Задача 18.4Найти распределение межуровневых интервалов () для ансамбля эрмитовых случайных вещественных матриц 2 × 2 с гауссовым распределениемматричных элементов при нулевом среднем значении и разных дисперсиях, для диагональных матричных элементов 11 и 22 и для недиагональных 12 = 21 [122].Решение.Нормированная совместная функция распределения собственных значений ± и углов , формула (18.27), имеет вид (+ , − , ) =1 −(+ +− )2 /42 −2 [cos2 /2 +sin2 /2 2 ]/4, (18.46)3/22(2)где = + − − .
Как и следовало ожидать, функция распределения дляследа матрицы + + − , инвариантного по отношению к ортогональнымпреобразованиям, не зависит от . Функция распределения межуровневых490Глава 18. Квантовый хаосинтервалов вычисляется как∫︁∞ () =∫︁+∞∫︁/2 (+ , − , )( − + + − ) =−+−∞−/22 222 2= √− ( +2 )/16 02 2(︂2 ( 2 − 2 2 )16 2 2)︂,(18.47)где 0 — модифицированная функция Бесселя первого рода, 0 (0) = 1.Линейное расталкивание на малых выжило как универсальное свойстводинамики уровней (разд. 4.5). Параметр оказывает основное влияние нагауссово распределение при больших ; распределение Вигнера отвечает 2 = 2 /2.Для произвольной размерности вместо (18.42) мы получим однородноераспределение по углам и попарное линейное расталкивание между всемиуровнями∑︀∏︁22GOE (1 , ..., ) = const| − |−(/ ) .(18.48)(<)Хотя распределение по расстояниям между ближайшими уровнями неудается записать в виде аналитической формулы, но численно показано,что () очень близко к формуле Вигнера (18.45).
Вычисления уровнейдля множества хаотических в классическом пределе систем, таких какбиллиарды асимметричной формы, подтверждают справедливость этогораспределения (рис. 18.4).Примечательно, что справедливо оно и для систем, у которых не существует явного классического аналога — таких, как сложные атомы [123] иядра [117].
В таких случаях распределение исходных матричных элементовзависит от базиса и, обычно взятое в базисе невзаимодействующих частиц,оказывается далеким от гауссова. Тем не менее, для локальных спектральных характеристик предсказания ГОА остаются справедливыми в областивысокой плотности уровней, где простые невозмущеные волновые функцииатомных или ядерных конфигураций полностью перемешаны. Тем самым,область применимости локальных характеристик ГОА оказывается значительно шире, чем это могло бы казаться из их формального определения.18.5.
ГОА и информацияРазличные разделы физики используют понятие энтропии в различныхконтекстах. Как сказано в книге «Quantum Entropy» [124], энтропия не есть18.5. ГОА и информация491какая-то определенная величина, а скорее представляет собой целое семейство концепций. Общей чертой представителей этого семейства является то,что они выражают меру неупорядоченности или негативной информации.Тепловая энтропия достигает максимума в равновесном состоянии, определяемом требованием равной вероятности всех микроскопических состояний,совместных с весьма общими макроскопическими условиями, например— заданной средней энергией, определяемой в терминах температуры. Вэтом случае наблюдатель имеет минимум информации о фактическоймикроскопической ситуации, вспомним задачи I.6.15 и II.8.12.Используя то же подход, можно определить информационную энтропию ансамбля гамильтонианов, характеризуемую функцией распределенияматричных элементов ():∫︁ = − () ln ().(18.49)Найдем функцию (), которая максимизирует энтропию с учетом условиянормировки:∫︁0 ≡ () = 1,(18.50)среди всех распределений с одним и тем же центроидом 0 и той же самойдисперсией,∫︁^ − 0 1)^ 2 } = const2 ≡ () Tr{((18.51)(иначе и нет возможности сравнивать разные распределения).Максимум энтропии при дополнительных условиях находится с помощьюмножителей Лагранжа и поиском безусловного максимума выражения˜ = − 0 − 2(18.52)с последующим определением значений и из требования, чтобы уравнения (18.50) и (18.51) были удовлетворены.
Формальная вариация функционала ˜ по функции распределения () дает^ − 0 1)^ 2 } = 0.− ln − 1 − − Tr{((18.53)Это определяет^^2 () = −Tr{(−0 1) } ,(18.54)492Глава 18. Квантовый хаосчто эквивалентно распределению ГОА (18.37) с соответствующим выбором = exp(−1 − ) и = /2 . В самом деле, ГОА дает равновесное распределение матричных элементов с минимумом доступной информации. Выбор фиксирует локальный разброс по энергии 2 для данного фрагментаспектра.18.6.
Классы универсальностиГОА отражает общие свойства систем с инвариантностью к обращениювремени: для них возможен выбор вещественного базиса и использованиевещественного симметричного гамильтониана. Соответствующая функция распределения инвариантна по отношению к группе ортогональных^ для базиса:преобразований ^^ = 1.(18.55)Задав определенный начальный базис, мы пробегаем по всем возможным^ Как мы знаем,представлениям, применяя всевозможные преобразования .произвольная матрица × этого типа имеет + ( −1)/2 = ( +1)/2параметров. В ГОА зависимость от ( − 1)/2 «угловых» параметровпреобразования однородна и отделяется от нетривиальной зависимости(18.48) от собственных значений.Если инвариантность к обращению времени нарушена, например, в присутствии магнитного поля, мы уже не сможем обойтись вещественнымбазисом волновых функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
