1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Газиорович. «Квантовая физика». 3-е изд.Глава 19Квантовые запутанные состояния19.1. Квантовая запутанностьПонятие квантовой запутанности столь же старо, как сама квантоваямеханика. Однако лишь сравнительно недавно эта концепция попала вцентр внимания. Основная причина — погоня за квантовым компьютером.Здесь мы затронем лишь несколько общих идей, относящихся к этой бурноразвивающейся области.Мы уже имели дело с запутанными состояниями во многих частях этого курса. Точнее, надо говорить о запутанных подсистемах в заданномсостоянии квантовой системы.
Фактически формализм сложения угловыхмоментов (см. гл. II.7) весь построен на запутанных состояниях — собственные состояния полного спина в случае двух связанных подсистем обычнооказываются запутанными состояниями. Пример того же типа можно найти в задаче I.7.2; рассматриваемые там состояния – это так называемыезапутанные состояния Белла. Важно понимать, что понятие запутанностиобычно относится к определенным наблюдаемым или к конкретным типамэкспериментов.Для простоты рассмотрим случай двух подсистем, где возможно измерение переменных, принадлежащих одной из подсистем. В случае двухспинов мы в принципе можем измерять спин либо первой, либо второйподсистемы, либо обеих сразу.
Соответствующие процедуры представлены(1) (2)эрмитовыми операторами ^ , ^ или их произведениями. В качестве других примеров можно рассмотреть распад заряженного пиона ± → ± + ,фотодиссоциацию дейтрона + → + , рождение электрон-позитронной514Глава 19. Квантовые запутанные состоянияпары двумя фотонами, или внутреннюю конверсию гамма-излучения извозбужденного состояния ядра в электрон-позитронную пару.
Аналогично можно рассматривать двухфотонный переход в атоме с регистрациейполяризации одного или обоих фотонов. Для избежания ненужных усложнений мы начнем с примера двух различимых компонент пары, когда невозникает сомнений, чей же спин измеряется.С независимыми (не запутанными) компонентами пары конечное спиновое состояние перед измерением есть простое не связанное произведение() ()спиноров 1 2 , где верхние индексы (, ) помечают принадлежностьк подсистеме, а нижние индексы (1,2) характеризуют конкретное одночастичное спиновое состояние. Однако в случаях распада, упомянутых выше,конечное состояние может отражать ограничения, налагаемые законамисохранения.
Тогда состояния продуктов распада могут оказаться взаимосвязанными даже при отсутствии прямого взаимодействия между ними,например, в смысле сложения угловых моментов. Если партнеры должнынаходиться в синглетном спиновом состоянии, конечная волновая функциядолжна иметь вид)︁1 (︁ () ()() ()(19.1)00 = √ + − − − + .2Здесь одночастичные спиновые состояния заданы осью квантования , хотядля синглетного спинового состояния волновая функция инвариантна кповоротам и поэтому при любом другом выборе оси квантования имела бытот же вид.Для спинового триплета такой инвариантности нет, но волновая функция10 для полного спина = 1 и его -проекции = 0 имеет в -представлении вид, подобный (19.1), хотя и с противоположным знаком всуперпозиции)︁1 (︁ () ()() ()10 = √ + − + − + .(19.2)2Для триплетного спинового состояния 11 запутывания нет, поскольку вол() ()новая функция является произведением + + .
Формулировка понятиязапутанности в широком смысле включает в себя как взаимообусловленность комбинированных состояний измеряемых подсистем, так и постановкусоответствующих экспериментов. Состояние можно назвать запутанным,если по отношению к определенного типа экспериментам, производимымнад подсистемами, его нельзя представить как простое произведение волновых функций подсистем. Измерение проекции спина первой подсистемы19.2. Телепортация515в случае (19.2) неизбежно возмущает подсистему, непосредственно не измерявшуюся (истинное запутывание). Ниже, после рассмотрения примераквантовой телепортации, мы перейдем в разд.
19.3 к математическомуопределению запутанности.19.2. ТелепортацияКонцепция запутанности проявляется в алгоритме, предложенном в [133]для передачи данного квантового состояния между двумя наблюдателями,—так называемой квантовой телепортации.Мы стартуем с начального запутанного состояния двух наблюдателей и , традиционно называемых в литературе по квантовой информацииЭлис (Alice) и Боб (Bob) (тем самым мы продолжим использовать нашиобозначения, введенные выше).
Для простейших подсистем с двумя квантовыми состояниями, кубитов, предположим, что состояние пары кубитовимеет, например, вид)︁1 (︁| ⟩ = √ | ↓ ; ↓ ⟩ + | ↑ ; ↑ ⟩ .2(19.3)Задача заключается в передаче неизвестного квантового состояния, сообщения,|⟩ = | ↓⟩ + | ↑⟩(19.4)от к . Измерение наблюдателем свойств состояния |⟩ разрушило быкогерентную комбинацию (19.4). Вместо этого следует воспользоватьсяквантовой запутанностью с в качестве средства коммуникации.Полное состояние |Ψ⟩, включая наблюдателей, содержит три кубита иможет быть записано в виде)︁1 (︁|Ψ⟩ = |; ⟩ = √ | ↓ ↓ ↓ ⟩+| ↓ ↑ ↑ ⟩+| ↑ ↓ ↓ ⟩+| ↑ ↑ ↑ ⟩ .2(19.5)В обозначениях для всех компонент спины упорядочены как |спин «сообщения», A, B⟩.
Далее удобно разложить подсистему + «сообщение» пополному базису запутанных состояний Белла для данной подсистемы)︁1 (︁|± ⟩ = √ | ↓ ↓ ⟩ ± | ↑ ↑ ⟩ ,2(19.6)516Глава 19. Квантовые запутанные состояния)︁1 (︁|± ⟩ = √ | ↓ ↑ ⟩ ± | ↑ ↓ ⟩ .2(19.7)Из уравнений (19.5 – 19.7) находим(︁)︁(︁)︁1 [︁|+ ⟩ | ↓ ⟩ + | ↑ ⟩ + |− ⟩ | ↓ ⟩ − | ↑ ⟩2(︁)︁(︁)︁]︁+|+ ⟩ | ↑ ⟩ + | ↓ ⟩ + |− ⟩ | ↑ ⟩ − | ↓ ⟩ .|Ψ⟩ =(19.8)На этом этапе производит измерение в представлении состояний Белла(19.6, 19.7) и получает, с равной вероятностью, одно из этих состояний,которое отвечает выбору соответствующей линейной комбинации состоянийкубита , с теми же (с точностью до знака) коэффициентами, как и внеизвестном состоянии сообщения.
Для каждого из четырех состояний |± ⟩и |± ⟩ результат измерения, произведенного наблюдателем и переданныйнаблюдателю посредством любого классического канала коммуникации,позволяет определить операцию, которую должен применить, чтобывосстановить состояние сообщения (19.4) на своём кубите.Задача 19.1Установите протокол унитарных операций, предписанных наблюдателю для восстановления неизвестного состояния в каждом из четырехвозможных исходов эксперимента, произведенного наблюдателем .Решение.Способ (выраженный с помощью матриц Паули, которые должны бытьприменены к кубиту, находящемуся в распоряжении ) не зависит отнеизвестного состояния и может быть предписан заранее, обеспечиваяуспешную телепортацию:|+ ⟩ ⇒ ,|− ⟩| ⇒ = ,|+ ⟩ ⇒ 1,|− ⟩ ⇒ .(19.9)По завершению процесса начальное состояние в месте нахождения разрушено, но оно полностью восстановлено в месте нахождения .
Поэтомутеорема о запрете клонирования (гл. II.5) не нарушена. Исходная запутанность квантовых состояний и более не существует по завершениюпроцедуры. Конечно, мы не передали физическую реализацию состояния|⟩, а лишь реконструировали идентичное состояние на другом кубите.19.3. Математика запутанности51719.3. Математика запутанностиДля того чтобы ввести строгое определение собственно запутанности, рассмотрим снова две подсистемы и общей квантовой системы. Предположим, что размерности гильбертова пространства подсистем соответственноравны и и, для определенности, 6 .Пусть | ⟩ и | ⟩ — произвольные полные ортогональные наборы состояний индивидуальных подсистем. Любое нормированное состояние составнойсистемы может быть представлено в виде разложения∑︁∑︁|Ψ⟩ = | ⟩| ⟩,| |2 = 1.(19.10)При истинной запутанности не существует базиса, в котором состояние|Ψ⟩ могло бы быть представлено в виде простого произведения | ⟩| ⟩.
Вобщем случае не более чем векторов большей подсистемы∑︁|; ⟩ = | ⟩(19.11)включены в это разложение. Набор состояний (19.11) может быть ортогонализован и нормирован стандартными процедурами линейной алгебры (гл.I.6). Эффективно, в этом новом базисе процедура сведется к диагонализации матрицы , чья размерность не более, чем × . Тогда исходноесостояние представляется как∑︁|Ψ⟩ = | ⟩| ⟩,(19.12)где каждое состояние первой подсистемы имеет во второй лишь одногопартнера, обозначаемого тем же символом |⟩. Поскольку фазы новыхбазисных состояний произвольны и партнеры принадлежат к различнымподсистемам, мы всегда можем подбором этихненулевые числа ∑︀ фаз2сделать вещественными и положительными; = 1. Обычно удобнорасположить ненулевые числа в убывающем порядке, 1 > 2 > ...
> ,где 6 — ранг (иногда называемый рангом Шмидта) запутанности.Оставшиеся числа равны нулю. Запутанность имеет место при > 1.Вспомним опять пример векторной связи угловых моментов двух подсистем. Для определённых квантовых чисел , системы в целом имеетсяоднозначное взаимное соответствие между состояниями с определенными значениями 1 , 1 и состояниями второй подсистемы с квантовыми518Глава 19. Квантовые запутанные состояниячислами 2 , 2 . Здесь механизм запутывания подчиняется требованиюинвариантности по отношению к общим поворотам подсистем, безотносительно к их индивидуальным размерностям.
Фазы коэффициентов Клебша—Гордана можно включить в определение соответствующих состояний, оставляя лишь их абсолютные значения так же, как это сделано в (19.12) длякоэффициентов разложения > 0.Этот результат основан на сингулярном разложении. Любая (не обязательно эрмитовая и не обязательно квадратная) матрица ^ с строками и столбцами и, в общем случае, с комплексными матричными элементамивсегда может быть представлена в виде произведения трех матриц:^ ^^† ,^ = (19.13)^ и × матрица ^ унитарны, тогда как ^ —где × матрица диагональная матрица с упорядоченными положительными элементами 6 6 и нулевыми оставшимися.
Ненулевые диагональные элемен^ называются сингулярными значениями. Сингулярныеты матрицы значения определены единственным образом, хотя имеется свобода вы^ и ^ . Разложение (19.13) является обобщениембора преобразований приведения эрмитовой матрицы к диагональному виду; однако в случаедиагонализации пространства и совпадают, так что унитарные преоб^ = ^ , рангразования базиса должны быть одни и те же для и , равен размерности, = = , и знак вещественных собственныхзначений определяется исходной матрицей.Для формального доказательства (19.13) мы можем рассмотреть эрмито^ имеющую действительных неотрицательныхву × матрицу ^ † ,собственных значений.
Мы можем диагонализовать эту матрицу унитарнымпреобразованием ^:^ =^ diag ,^† (^ † )(19.14)^ diag диагональна, и мы упорядочим сначала неотрицательные матгде ричные элементы в убывающем порядке, затем нулевые значения. Неотри^ diag есть ^ 2 . Соответствующеецательный (левый верхний) угол матрицы разложение матрицы преобразования ^ в верхней ^ и в нижней ^ частяхприводит к^ 2 , ^ ^ = 0 = ^† ^ † .^† ^ † ^ ^ = (19.15)^ 2 имеет хорошо определённую матрицу квадратного корня ^Матрица −1−1^ .
Теперь мы можем ввести ^ = ^ ^ ^ такими обратную матрицу 19.3. Математика запутанности519образом, что^ ^† = .^^ (19.16)^ , мы удовлетворим (19.15) и все следствия (строОтождествляя ^ с го говоря, эти матрицы должны быть дополнены нулевыми строками истолбцами для обеспечения их унитарности в полном гильбертовом пространстве).Если мы интересуемся лишь одной из запутанных подсистем, мы построим сначала полную матрицу плотности = |⟩⟨|, а затем редуцированнуюматрицу плотности (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
