1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 85
Текст из файла (страница 85)
разд. 17.1), беря след по переменным партнера,например:(︁)︁ ∑︁ = Tr |⟩⟨| =2 | ⟩⟨ |.(19.17)Редуцированная матрица плотности для второй подсистемы получается таким же образом и содержит те же числа 2 . Можно сказать, чтобазис разложения Шмидта есть собственный базис для обеих редуцированных матриц плотности и . Это напоминает ситуацию с симметриейчастица-дырка (разд. 12.8) в конфигурациях оболочечной модели, котораясправедлива независимо от размерностей взаимодополняющих пространствдля частицы и дырки.Замечательным свойством этого разложения является то, что энтропияШеннона состояния (разд.
18.9)∑︁[] = −2 ln(2 ) = −Tr ( ln ) = −Tr ( ln )(19.18)здесь совпадает с энтропией (фон Неймана) для ансамбля (разд. 18.6)редуцированных матриц плотности. Следовательно, эта величина можетбыть использована как мера степени запутанности. В случае двух подсистемс равными спинами = ≡ , сложенными в полный спин = 0,индекс суммирования в (19.18) — это проекция , размерности равны,√ = = 2 + 1, и все сингулярные значения равны = 1/ 2 + 1.
Этосоответствует максимальной энтропии[( = 0)] = ln(2 + 1) = ln = ln ,(19.19)что сигнализирует о максимальной запутанности.Задача 19.2Рассмотрите Бозе-газ двухуровневых атомов при нулевой температуре.Газ взаимодействует с резонансным лазерным полем, которое вызывает520Глава 19. Квантовые запутанные состоянияв атомах переходы между двумя внутренними состояниями.
Постройтередуцированную матрицу плотности и найдите энтропию запутанностимежду двумя атомными Бозе-конденсатами.Решение.Здесь удобно представление Швингера для угловых моментов (см. задачуII.5.2). Полный набор состояний всей системы, состоящей из = + атомов, может быть охарактеризован либо распределением ( , ) поатомным состояниям и , либо квантовыми числами углового момента = + , = − 1| , ⟩ ≡ | ⟩ = √︀(† )+ († )− |0⟩,( + )!( − )!(19.20)где † и † — операторы рождения атомов и соответственно. Эти состояния являются произведениями ортонормированных функций для парциальных конденсатов. Произвольная волновая функция двухкомпонентногоконденсата (для фиксированного числа частиц и потому = /2) имеетвид∑︁|⟩ = | ⟩.(19.21)Редуцированная матрица плотности даётся выражением =/2∑︁| |2 | ⟩⟨ |,(19.22) =−/2энтропия запутанности [] может быть записана как в (19.18); её максимумравен ln(2 + 1) = ln( + 1), как уже было упомянуто в (19.19).
Максимумсоответствует состоянию с однородным распределением атомных амплитудпо всем возможным заполнениям = 0, 1, ..., .19.4. Квантовые неравенства БеллаЗапутанная система двух спинов 1/2 может служить хорошим примеромдля иллюстрации существования корреляций между результатами измерений, выполненных над двумя партнерами по запутыванию. Эти корреляциипринимают форму особых неравенств. Мы рассмотрим простейшую формутакого неравенства.19.4. Квантовые неравенства Белла521()Предположим, что наша аппаратура способна измерять переменные ^для подсистем = 1, 2 (результаты могут быть обобщены на большее числоподсистем).
Можно считать, что эти операторы представляют компонентыспинов для определённой оси квантования, помеченной символом . Операторы, соответствующие различным подсистемам, ≠ ′ , коммутируют.Для простоты предположим, что собственные значения всех операторовравны ±1, как это имеет место для матриц Паули ; это означает, что(︁^())︁2= 1.(19.23)()Также можно предположить, что средние значения ⟨ ⟩ всех этих величинв обсуждаемом состоянии принимают произвольные значения (они всегдалежат между -1 и +1 и могут быть равными нулю).Выберем для двух подсистем независимо две пары операторов = 1, 2и построим специальным образом [134] четыре корреляционных функции(средние значения в данном состоянии полной системы):(2) = ⟨^(1) ^ ⟩,, = 1, 2.(19.24)Производя эксперименты над системой, мы можем определить среднеезначение = 11 + 12 + 21 − 22 .(19.25)Неравенство√|| 6 2 2(19.26)следует алгебраически из определения (19.25) и нормировки (19.23).
Действительно, из (19.23) следует, что∑︁ ∑︁≡(^() )2 = 4.(19.27)=1,2 =1,2Простые алгебраические выкладки с учетом коммутативности переменных,относящихся к разным подсистемам, дают⟨(︂)︂2 (︂)︂2 ⟩√11(1)(2)(2)(1)(2)(2)1 − √ [1 + 2 ] + 2 − √ [1 − 2 ].− 2=22(19.28)Поскольку выражение (19.28) неотрицательно, из (19.27) непосредственноследует неравенство (19.26). Теперь можно показать, что верхняя граница522Глава 19. Квантовые запутанные состояния√этого неравенства || = 2 2 может быть достигнута в корреляционныхэкспериментах со спином.Задача 19.3Рассмотрим систему со спином 0, распадающуюся на две частицы соспином 1/2 (19.1). Эксперименты 1 и 2, совершаемые над первой частицей,измеряют соответственно проекции её спина на оси, направленные подуглами 1 и 2 по отношению к оси .
Таким же образом эксперименты надвторой частицей измеряют её проекцию спина на оси, направленные подуглами 1 и 2 . Вычислите величину (19.25) и покажите, что предельноезначение (19.26) достигается для некоторых выборов углов и .Решение. · n) для данной частиКаждое измерение даёт значение ±1 оператора (цы и заданного направления анализатора n. Соответствующие вероятностив измерениях над обоими партнерами определят величины (19.24).
Амплитуда вероятности прохождения через фильтр анализатора с углом для частицы, поляризованной вдоль оси , равна cos(/2) (разд. II.5.3).Для прохождения двух частиц находим}︂{︂1−−1−⟨(1)(2)|00 ⟩ = √− coscos= √ sin.cos cos2222222(19.29)Таким образом, вероятность измерения обоих спинов вдоль соответствующих направлений равна ( ↑, ↑) =1−sin2.22(19.30)Таким же образом мы получим то же значение для ( ↓, ↓) =1−sin222(19.31)и1−cos2,(19.32)22так что сумма четырех возможных исходов складывается в единицу.
Поскольку произведения двух измеряемых результатов, нормированных условием (19.23), равны для четырех возможных случаев +1, +1, −1, −1, корреляционная функция (19.24) принимает вид ( ↑, ↓) = ( ↓, ↑) =(, ) = ( ↑, ↑) + ( ↓, ↓) − ( ↑, ↓) − ( ↓, ↑) =19.5. Парадокс ЭПР(Б) и скрытые переменные−−− cos2= − cos( − ).22Беря различные комбинации углов, находим величину (19.25):= sin2 = − cos(1 − 1 ) − cos(1 − 2 ) − cos(2 − 1 ) + cos(2 − 2 ).523(19.33)(19.34)Выбирая, например, значения углов в эксперименте1 = 0,2 =,21 =,42 = − ,4(19.35)получим предельное значение = −3 cos√3+ cos= −2 2.44(19.36)19.5.
Парадокс ЭПР(Б) и скрытые переменныеКвантовые неравенства Белла демонстрируют замечательную особенность квантовой механики, а именно — невозможность введения локальныхскрытых переменных , которые «исправили» бы вероятностный характерквантовомеханических утверждений и придали бы этой теории классическидетерминистское содержание.Кажущаяся парадоксальность природы квантовой механики была подчеркнута в известной статье Эйнштейна, Подольского и Розена [135]. Парадокс был впоследствии облечен в более прозрачную форму в терминахзапутанных спиновых состояний в работе Бома [136] и получил новыйакроним (ЭПРБ).
Проблема связана с неизбежностью корреляций междусобытиями, разделёнными пространственно таким образом, что исключается возможность связи между ними посредством обмена каким-либофизическим сигналом. Возвращаясь снова к эксперименту, рассматривавшемуся в задаче 19.3, мы можем установить независимо направления и в измерительной аппаратуре на краях установки, которые мы можемвыбрать сколь угодно далеко друг от друга.
Запутанность спинов эволюционирует во времени согласно уравнению Шрёдингера. Если на левом краюзарегистрированный спин направлен вверх, и оси в анализаторах выбраныодинаковым образом на обоих краях, можно утверждать с определенностью, даже до любого измерения, что второй спин будет направлен вниз.Само по себе это утверждение означает лишь сохранение полного спина,524Глава 19. Квантовые запутанные состоянияравного нулю. Однако ориентация оси левого анализатора может бытьустановлена лишь в самый последний момент — тем не менее, при получении положительного результата можно немедленно предсказать результатизмерения в правом анализаторе.Это выглядит как невидимая связь, информирующая удаленный спин овыбранном эксперименте с бесконечной скоростью.
Более того, поскольку вторая частица «не знает», какой тип эксперимента будет произведен,кажется, что она заранее имеет определенные значения проекции спинана различные оси, «некий элемент физической реальности», по терминологии ЭПР. Но это находилось бы в очевидном противоречии с квантовой механикой, поскольку соответствующие операторы не коммутируют.Квантовомеханический результат не согласуется с какой-либо локальнойпричинностью, исходящей из предположения, что оба спина после распаданачального состояния приобретают определенные направления, и эксперимент лишь обнаруживает их предопределенные значения.
Ситуация ближек «копенгагенской» интерпретации Бора, согласно которой измеренныезначения динамических переменных не существуют до момента измерения,а, скорее, создаются в результате взаимодействия с измеряющим прибором. Локальность могла бы быть спасена, если бы квантовое состояниев действительности определялось бы посредством некоторых скрытыхпеременных, которые определяли бы реально существующую ориентациюобоих спинов в каждом конкретном измерении. Тогда квантовая механикастала бы статистической теорией, соответствующей вероятностному усреднению по лежащим в основе процессов скрытым параметрам.
К счастью,вопрос может быть разрешен с помощью конкретных экспериментов. Такиеэксперименты действительно были выполнены, и их результаты полностьюподтвердили наличие квантовых нелокальных корреляций.Следуя Беллу [137], можно показать, что определённые наблюдаемыекорреляции между измеряемыми результатами в квантовой механике отличаются от предсказаний любой локальной теории, основанной на существовании скрытых параметров, обеспечивающих надлежащие исходыизмерений во взаимно удаленных точках.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
