1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Элемент объема в этом пространстве может быть разложен на произведение элемента телесного угла ирадиальной части: = −1,2 =∑︁2 .(18.105)=1Интегрирование по углам дает полный телесный угол в измерениях, илиплощадь поверхности единичной сферы∫︁ =∫︁ =(︁)︁∑︁1 · · · 1 −2 .(18.106)=1В радиальном интеграле возникает множитель 1/2, так как вклад даётлишь положительный корень в дельта-функции или, если действоватьформально ( = 2 ),∫︁ ∞∫︁ ∞√︀ (1)2√ ( )(1 − ) = ()(1 − ) =.(18.107)22 00В итоге = 2/ .Таким образом, для компонент отдельной волновой функции распределение ГОА имеет вид∑︁ )︁2 (︁ (1 , ..., ) = 1−2 .=1(18.108)18.8.
Хаотические собственные функции505Задача 18.7Вычислите площадь поверхности единичной сферы в -мерном евклидовом пространстве.Решение.Простейший способ вычисления этой геометрической величины состоитв использовании дополнительного гауссова интеграла∫︁ ∞2 − −1 .(18.109) = 0Выражая через Γ-функцию, имеем = 1Γ(/2).2(18.110)С другой стороны, использование декартовых координат в -пространствеи тождества (18.105) даёт∫︁ =∫︁∞ −2 −1∫︁= exp[−0∑︁2 ].(18.111)=1Здесь интеграл в действительности есть произведение идентичных гауссовых одномерных интегралов(︂∫︁∞ = − 2)︂= /2 .(18.112)−∞Сравнивая (18.110) и (18.112), получаем =2 /2 /2=.Γ(/2)Γ(/2 + 1)(18.113)Откуда объем сферы = /2= .Γ(/2 + 1)(18.114)Отсюда следуют известные результаты: 1 = 2 (расстояние между концами линейного отрезка), 2 = 2 (площадь круга), 3 = (4/3)3 и т.
д.Интересно, что при фиксированном радиусе объем сначала растет с ,достигает максимума при = 4, а затем быстро падает. Максимум площа-506Глава 18. Квантовый хаосди сферы (18.113) отвечает = 7. Можно понять, почему так получается:представьте себе -мерный куб с ребром 2 и вписанной внутрьсферой;√каждая координата при больших в среднем равна / ≪ , т. е.куб в действительности оказывается почти пустым.Задача 18.8Найдите функцию распределения для отдельной компоненты -мернойволновой функции в ГОА.Решение.Все компоненты равновероятны.
Интегрируя (18.108) по 2 , ..., , мыполучаем функцию распределения для 1 ≡ ,21 () =∫︁(︁22 · · · 1 − −∞∑︁)︁2 .(18.115)=2Как и в предыдущей задаче, интегрируем по углам и радиусу в ( − 1)мерном пространстве:∫︁∫︁ ∞2 −1(1 − 2 )( −3)/2 .1 () = −1 −2 (1 − 2 − 2 ) =0(18.116)Эволюция этой функции распределения как функции показана наРис.
18.8. Распределение (18.116) для различных значений рис. 18.8.18.9. Сложность и информационная энтропия507На практике часто представляет интерес предел очень больших . Внейтронных резонансах тяжелых ядер типичным является ≈ 105÷6 . Вэтом пределе общее выражение ГОА (18.116) упрощается. Поскольку 2 всреднем ∝ 1/ , мы можем положить 2 = / ≪ и перейти в (18.116) кпределу → ∞:√︂(︁(︁ )︁ (︁ )︁−3/2 )︁( −3)/22 ( −3)/2=1−1−⇒(1 − )= 1−⇒ −/2 = − 2 /2.Нормируя, мы получаем гауссово распределение√︂ − 2 /21 () =2(18.117)(18.118)с ожидаемой дисперсией 2 = 1/ . Нормировка может быть также получена непосредственно из (18.116) и (18.113), если воспользоваться дляΓ-функции приближенной формулой Стирлинга (I.9.96).18.9. Сложность и информационная энтропияСтепень сложности индивидуальной волновой функции |⟩ в конкретной системе может быть охарактеризована информационной энтропиейШеннона:∑︁(︁ )︁2 (︁ )︁2 = − ln .(18.119)Эта величина не инвариантна по отношению к ортогональным преобразованиям базиса |⟩ — скорее, она выражает относительную сложностьсобственных состояний |⟩ по отношению к данному референтному базису.
В задачах типа биллиарда таким естественным референтным базисомявляется координатное представление, так что соответствующая информационная энтропия собственной волновой функции (r) определяетсякак∫︁ = − | (r)|2 ln | (r)|2 .(18.120)В многочастичных системах обычно выбирается базис независимых частицв среднем (самосогласованном) поле исходя из того, что самосогласованноеполе по построению (гл. 13) включает в себя усредненные характеристикирегулярного движения, отделяя их от хаотических флуктуаций, поэтому508Глава 18. Квантовый хаосоно обеспечивает удобную меру сложности. Информационную энтропиюиндивидуального состояния не следует путать с энтропией ансамбля (18.49).Для самих базисных состояний = 0 (тот же результат отсутствиясложности мы бы получили в базисе собственных состояний, где каждоесобственное состояние имеет лишь одну компоненту).
В противоположномслучае, когда собственное состояние равномерно размазанопо всему бази√су, со всеми компонентами в точности равными 1/ , информационнаяэнтропия достигает своего максимума ln . Величина = (18.121)играет роль длины локализации, которая показывает раcпределённостьволновой функции по референтному базису. Начальные состояния полностью локализованы, тогда как равномерно размазанное состояние имеет равновеликих компонент, где — полная размерность пространства.Между ними имеются различные состояния |⟩ с < главных (позначимости) компонент и ∼ ln .Задача 18.9Вычислите среднее значение информационной энтропии в ГОА прибольших .Решение.Аппроксимируем сумму интегралом, распространив в нем интегрирование до бесконечности:∫︁ ∞∑︁ 1 () ();(18.122) ( ) ⇒ −∞√︀делая замену переменной на = /2 и используя распределение(18.118), получаем√︂∫︁2 ∞2 = −2 2 ln − /2 = ln( ),(18.123) 0где параметр локализации определяется численным интегралом(︂)︂∫︁ ∞812−2√ = exp − ln = 2−2 = 0, 482.(18.124)2 0Здесь c = 0,577 — так называемая константа Эйлера.
Таким образом,типичная локализационная длина ≈ /2. Меньшая величина, по срав-18.9. Сложность и информационная энтропия509нению с максимально возможным ее значением равным , объясняетсясуществующими в ансамбле флуктуациями и требованиями ортогональности различных собственных функций.Другой полезной мерой сложности индивидуальной функции |⟩ являетсятак называемая обратная доля участияΛ =[︁∑︁| |4]︁−1.(18.125)Сумма здесь выражает средневзвешенный квадрат амплитуды 2 с весовойфункцией, определяемой структурой состояния (вероятности даются темиже 2 ). Поскольку в хаотическом пределе 2 = 1/ , величина (18.125) порядка .
Эту величину можно интерпретировать как число существенныхкомпонент данной волновой функции |⟩ снова по отношению к исходномубазису |⟩. Для типичных хаотических функций гауссово распределениеамплитуд предсказываетΛ=.(18.126)3Во всяком случае, число главных (т. е. больших) компонент состояния |⟩можно оценить как = 3Λ . Обе меры, информационная энтропия и обратная доля участия Λ , характеризуют более или менее одну и туже физику, но более чувствительна к обилию малых компонент, тогдакак Λ — к главным компонентам. В пределе ГОА, как следует из (18.123,18.124) и (18.126), отношение этих независимых мер сводится для типичныххаотических функций к универсальному числуexp( )⇒ 1, 446,Λ(18.127)и зависимость от размерности исчезает.Практический пример вычисления информационной энтропии всех 3276состояний с определенными квантовыми числами = 2+ 0 в ядре 28 Siпоказан на рис.
18.9. Состояния получены полной диагонализацией реалистической гамильтоновой матрицы в -оболочечной модели (гильбертовопространство для 6 протонов и 6 нейтронов в 05/2 , 03/2 и 11/2 орбиталях). Начальный базис |⟩ отвечает приближению среднего поля, заданноготремя эмпирическими одночастичными энергиями.
Конечный размер пространства определяет симметричную картину, наиболее сложные состояния510Глава 18. Квантовый хаосРис. 18.9. Длина локализации (18.123), вычисленная в ядерной оболочечной модели [117] для класса состояний с угловым моментом = 2, положительной четностью и изоспином T = 0 в ядре 28 Si; состояния упорядоченыпо возрастанию энергиинаходятся в середине спектра при наибольшей плотности уровней. Двеособенности заслуживают упоминания: даже в максимуме информационнаяэнтропия не достигает значения ГОА; зависимость оказывается гладкойфункцией энергии возбуждения, что указывает на сильное смешивание,из-за чего смежные состояния изначально различной природы приобретаютпохожую структуру, или «выглядят одинаковыми» [129].
В этом заключается микроскопическое обоснование термодинамики: квантовый хаос делаетмакроскопические характеристики соседних состояний идентичными. Также показано, что в середине спектра отношение (18.127) близко к 1,44.18.10. Распределение Портера—Томаса и связанные с нимраспределенияВеса индивидуальных компонент = ( )2(18.128)могут быть извлечены из эксперимента, предназначенного для анализасложного состояния.
Например, вероятность захвата медленного нейтрона18.10. Распределение Портера—Томаса511тяжелым ядром в компаунд-состояние |⟩ пропорциональна перекрытиюсложной волновой функции компаунд-состояния с начальным простымсостоянием |⟩, которое в данном случае представляет собой нейтрон вконтинууме (в -волне при очень низкой энергии ) плюс ядро в основномсостоянии. Это перекрытие определяет нейтронную ширину Γ , котораявходит в сечение образования√ компаунд-ядра (разд.
4.11). Для -волныширина√ пропорциональна (см. разд. 4.4). Приведённая ширина =Γ / определяется весом (18.128) для конкретного компаунд-состояния|⟩. Поэтому мы ожидаем, что распределение приведённых нейтронныхширин будет близким к распределению () типичных весов одиночныхкомпонент в хаотической волновой функции нейтронного резонанса.Распределение () получается непосредственно из () заменой переменных (кем-то было сказано, что теория вероятности является на самомделе наукой о замене переменных): () = 2 (),(18.129)где множитель 2 возникает из-за того, что одно и то же соответствуетположительным и отрицательным амплитудам .
Вводя среднее значение¯ = 1/ , мы приходим к распределению Портера— Томаса (ПТ): () = √1−/2¯ ,2 ¯(18.130)совпадающему с 2 -распределением для одной степени свободы. Оно приближённо описывает распределение приведенных ширин нейтронных резонансов [10]. Распределение постепенно меняется с ростом энергии иуширением резонансов благодаря эффектам континуума [130], упомянутымв гл. 4.Задача 18.10Найдите совместное распределение двух компонент 1 и 2 для (однойи той же) хаотической волновой функции. Используя этот результат впределе → ∞, получите функцию распределения для средней ширины )2 .Γ = (1 + 2 )/2, 1,2 = (1,2Решение.Тем же способом, что и раньше, находим (1 , 2 ) =)︁/2−2 −2 (︁1 − 12 − 22.(18.131)512Глава 18.
Квантовый хаосВ пределе больших это сводится к произведению двух независимыхгауссовых распределений (18.118). Переходя к новым переменным Γ и = 1 − 2 , получим (Γ, )Γ =1 −Γ/¯√︀Γ,22 ¯Γ − 2 /4(18.132)где, как и раньше, ¯ = 1/ . Интегрируя по в пределах ±2Γ, приходимк чисто экспоненциальному распределению (2 -распределение для двухстепеней свободы):1(18.133)Γ (Γ) = −Γ/¯ .¯Дополнительная литература: [77], [114], [117], [119], [120], [123], [125],[126], [131], [132]Технические достижения последних лет дали возможность ставить эксперименты, о которых раньше можно было только думать. Реализация напрактике мысленных экспериментов подтверждает правильность законов квантовой механики.Эти новые эксперименты так или иначе связаныс существованием квантовой запутанности...С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
