1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Мы предположим, что впределе → ∞1^ ∘ () ∘ () ≡Tr (18.76)имеет асимптотически значение, не зависящее от . Второй член в (18.75)имеет порядок 1/ , и в асимптотике им можно пренебречь. Тем самым вобсуждаемом пределе мы получаем вклад, не зависящий от :(2)12 =2 ∘ ∘ ∘ ( )12 .4(18.77)Для ГУА этот результат является точным, поскольку член с перекрёстнымисвёртками в этом случае отсутствует.Теперь становится понятным, что в пределе → ∞ в разложении (18.67)мы должны удерживать все члены, которые содержат число независимыхследов, компенсирующее обратные степени , возникающие из элементарных сверток.
В порядке 2 мы имеем сверток, дающих множитель(2 /4 ) ; откуда видно, что для его компенсации нам нужно произведение следов произведений функций Грина. Если из-за перекрестных свертокчисло следов меньше требуемого, получающимся вкладом в асимптотическом пределе можно пренебречь.18.7. Полукруговой закон499Задача 18.6Рассмотрите член четвёртого порядка и найдите вклады, которые выживают в пределе → ∞.Решение.Нам надо усреднить(4)12 = ∘13 ∘45 ∘67 ∘89 ∘10,2 34 56 78 9,10 ,(18.78)где по повторяющимся индексам подразумевается суммирование. Двенадцать членов отвечают шести различным способам спаривания матричныхэлементов , в результате которых выживают только два (рис.
18.6, , ).Аналитически и для ГОА, и для ГУА(4)12(︂=24)︂2 {︂}︂∘ ∘ ∘∘ 2∘ ∘∘ 1∘∘^ ^ ) .( )12 ( ) + ( )12 Tr((18.79)Граф на рис. 18.6 является итерацией вклада второго порядка , тогдакак граф представляет вставку диаграммы второго порядка в самогосебя.При ближайшем рассмотрении становится ясно, что в асимптотике выживают лишь блоки «радуга», содержащие концентрические штриховыелинии без пересечений. Для суммирования всех соответствующих вкладовмы введём усредненный массовый оператор , который в каждом порядкепропорционален следу функции Грина()12 =2^ () ) 12 .Tr(4(18.80)Тогда наши результаты для второго и четвертого порядков записываютсякак^ (2) = ^ ∘^ ∘^ ∘,(18.81)^ (4) = ^ ∘^ ∘^ (2) + ^ ∘^ (2) ^ ∘^ ∘^∘ + ^ ∘^ (2) ^∘ = ^ ∘^ ∘.^ ∘(18.82)Рис.
18.7. Уравнение Дайсона для средней функции Грина и среднего массовогооператора500Глава 18. Квантовый хаосОбозначим полную усредненную функцию Грина толстой линией (рис.18.7). Любой граф (глядя, например, слева направо) начинается с тонкой^ ∘ . После этого идет неприводимая часть, охватываемая следом.линии Неприводимость в данном случае означает, что эту часть нельзя разорвать,разрезав лишь одну функцию Грина, так как она замкнута следом.
После^ какэтого имеется полный набор графов, которые составляют ту же ,видно из первого члена в (18.82). Второй член в (18.82) дает следующее^ ∘ . Этоприближение для массового оператора, вставленного после левого логическое тождество называется уравнением Дайсона^=^∘ + ^ ∘^ .^(18.83)Такие уравнения всегда могут быть написаны для оператора типа резольвенты (18.66) в виде разложения (18.61). Отсюда непосредственно видно,^ → ^ .что разложение (18.70) может быть представлено в виде (18.83) с Но это не то, что мы подразумевали здесь, — наше уравнение (18.83) записано для средних величин, и массовый оператор (18.80) в этом случаепредставляет собой единичный оператор с коэффициентом, являющимсяфункционалом от усредненного оператора Грина.
Собирая все порядкивместе, получим2^ () = Tr ().^(18.84)4Формальное решение уравнения Дайсона может быть записано как[︁]︁−1^= ^ ∘ −1 − ^(18.85)[︂]︂−12∘ −1^^^= −Tr .4(18.86)или, в нашем случае,Усредненный по гауссовому ансамблю оператор Грина в базисе регулярной^ 0 диагонален.части гамильтониана В результате получаем нелинейное уравнение для числовой функции(18.84):[︁]︁−12^ ∘ −1 () − () () =Tr .(18.87)4^ ∘ () известна (в терминах собственЕсли невозмущенная функция Грина ^ 0 ), массовый оператор может быть получен из этой функцииных значений соответствующим сдвигом → − () значения ее аргумента посредством18.7.
Полукруговой закон501функционального уравнения Пастура: () =)︁]︁[︁ (︁2^ ∘ − () .Tr 4(18.88)^ 0 при энергии 0 приводит к квадратичОсобый случай вырождения ному уравнению21 () =(18.89)4 − 0 − ()с решениями]︁√︀1 [︁ () = − 0 ± ( − 0 )2 − 2 .(18.90)2Это отвечает ГОА или ГУА с центроидом спектра (18.33) в = 0 . Дляследа оператора Грина аналогично (18.76) получим() ≡14^Tr ()= 2 (),(18.91)и, следовательно, знаменитую формулу Вигнера—Пастура:() =]︁√︀2 [︁2 − 2 ,−−(−)002(18.92)где нами выбран знак минус в (18.90) для обеспечения правильного поведения () ∝ 1/ при || → ∞, следующего из определения (18.76) длясистем с конечной спектральной областью.Полученный с помощью разложения (18.70) результат можно продолжитьаналитически из асимптотической области на вещественную ось.
Такимобразом, тождество (18.67) свяжет след (18.92) с плотностью уровней∑︁^() =( − ) = Tr ( − ).(18.93)Плотность уровней описывается мнимой частью следа () в пределе ,стремящегося к вещественной оси:1^ + 0).() = − Im Tr ((18.94)Плотность уровней, усредненная по ансамблю, определяется следом усредненного оператора Грина (18.91)1^ + 0) = − Im ( + 0).() = − Im Tr ((18.95)502Глава 18. Квантовый хаосДля ГОА или ГУА в уравнении (18.92) мнимая часть появляется приизвлечении квадратного корня, когда | − 0 | < :√︀√︀( − 0 )2 − 2 ⇒ 2 − ( − 0 )2 .(18.96)В итоге мы приходим к полукруговому закону (см. Wigner [120, с.
145]):() = 2 √︀ 2 − 2 (2 − 2 ),2(18.97)где начало отсчета энергии выбрано при 0 = 0, и ступенчатая функция отражает появление резких границ усредненного энергетического спектрапри → ∞. Величина , введенная при определении корреляционныхфункций (18.35) или (18.64), есть радиус полукруга.
Отметим, что несколько по-разному связана с дисперсией исходных матричных элементов в ГОА2 = (2 /4 )(1 + ) для ГОА и | |2 = 2 /4 для ГУА,и ГУА: имеем где нет разницы между диагональными и недиагональными элементами.Интересные физические результаты могут быть получены из двухточечных корреляторов, таких как, например, ()( ′ ). Здесь в принципеснова можно было бы воспользоваться методом 1/ -разложения. Однакоэтот метод работает лишь при условии, что | ′ − | ≫ 1. На очень малых расстояниях между интересуемыми энергиями, при Δ ∼ 1/ (т. е.порядка среднего межуровневого расстояния) разложение отказывает, инеобходимо развитие более мощных и, очевидно, более сложных математических методов [126].
Стоит, однако, заметить, что в практических случаяхпри высокой плотности уровней столь малые межуровневые расстоянияредко представляют интерес. Исключительным является случай низкоэнергетических нейтронных резонансов в тяжёлых ядрах (долгоживущие состояния, возбуждаемые при захвате медленных нейтронов сложными ядрами),которые индивидуально наблюдаемы как квазистационарные состояниякомпаунд-ядер. Эмпирически регулярные и хаотические биллиарды моделируются микроволновыми резонаторами, соединёнными с передающими ипринимающими антеннами.
В таких установках [127] уравнения Максвелладля электромагнитного поля внутри резонатора эквивалентны двумерномууравнению Шрёдингера. Сверхпроводящий материал резонатора сильноподавляет [128] диссипацию в его стенках.18.8. Хаотические собственные функцииУравнение (18.42) отражает однородность ГОА-распределения для двумерных случайных матриц по отношению к углу : вероятность не за-18.8. Хаотические собственные функции503висит от ориентации базиса в параметрическом пространстве. Стартовавс произвольного базиса и меняя угол, можно тем самым перебрать всеортогональные базисы.В случае матриц 2 × 2 ориентация параметризована одним углом, иединственным ограничением, налагаемым на амплитуды собственныхвекторов |⟩, = 1′ , 2′ в базисе |⟩, = 1, 2,′11 = cos ,′′21 = − sin ;12 = sin ,′22 = cos ,(18.98)остается их нормировка∑︁( )2 = 1.(18.99)В этом случае совместная вероятность полного набора вещественных амплитуд для любого собственного вектора |⟩ определяется уравнением(︁)︁ ({ }) = 1 − (1 )2 − (2 )2 ,(18.100)где — нормировочная константа.Для нахождения вероятности определенной компоненты, например 1 ,нужно совместное распределение проинтегрировать по оставшейся компоненте 2 :1 (1 ) =∫︁1−12 (1 , 2 ) = 2∫︁1(︁)︁2 1 − (1 )2 − (2 )2 .
(18.101)0Используя правила для интегралов с -функциями, разд. I.3.3, получаемвыражение (здесь Θ — опять ступенчатая функция)1 () = √Θ(1 − 2 ),1 − 2(18.102)справедливое для каждой из амплитуд . Наконец, последнее интегрирование определит константу = 1/. Получившееся распределение имеетинтегрируемые особенности в точках = ±1. Среднее значение каждогоиз весовых множителей 2 равно∫︁1 1212 = √= ,(18.103) −121 − 2504Глава 18. Квантовый хаосчто следует из нормировки (18.99) и равной вероятности для каждой издвух амплитуд.В общем -мерном случае мы ожидаем, что подобным образом среднеезначение весов ( )2 будет порядка 1/ .
Амплитуды для каждогособственного вектора |⟩ распределены равномерно по сфере единичногорадиуса в -мерном евклидовом пространстве(︁ (1 , ..., ) = 1 −∑︁)︁2 .(18.104)=1Для нормировки этого распределения нужно вычислить -мерный интеграл в правой части уравнения (18.104).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
