1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 79
Текст из файла (страница 79)
В этом случае хаос проявится скорее в гильбертовом, чем вобычном фазовом пространстве.18.2. Локальная спектральная статистика: распределениеПуассонаПростейшие проявления квантового хаоса видны в корреляциях и флуктуациях энергетических уровней. В соответствии с гипотезой [116], квантовыеспектры систем, хаотических в классическом пределе, имеют универсальные статистические свойства.18.2. Локальная спектральная статистика: распределение Пуассона479Рис.
18.2. Динамика уровней в зависимости от интенсивности взаимодействия (0соответствует невзаимодействующим частицам, 100 — реалистическойинтенсивности взаимодействий) в оболочечной модели ядра [117]Как обсуждалось в разд. I.10.5, энергетические термы одинаковой симметрии отталкиваются друг от друга в процессе эволюции как функцииплавно меняющихся параметров системы. На малых расстояниях типичным оказывается линейное расталкивание ∝ (I.10.45).Состояния разной симметрии не смешиваются, если гамильтониан имеетданную симметрию, соответственно в процессе параметрической эволюциитакие уровни могут пересекаться.
Возникновение хаоса является следствием разрушения в системе симметрий, которое смешивает уровни различныхсемейств и заставляет их избегать пересечения. В одночастичном движе-480Глава 18. Квантовый хаоснии (типа биллиарда) за смешивание уровней ответственны граничныеусловия. В многочастичной системе эти эффекты порождаются взаимодействиями, смешивающими конфигурации невзаимодействующих частиц.Парадоксально, но это означает, что в хаотических системах структурауровней выглядит более упорядоченной, «турбулентный» поток становится «ламинарным» (см. рис. 18.2).
Здесь фрагмент спектра (все состоянияимеют одни и те же квантовые числа = = 0) показан для оболочечноймодели [117] ядра 24 Mg, в зависимости от интенсивности взаимодействий.Все пересечения уровней подавлены.Как первый пример рассмотрим регулярную квантовую систему, где мыимеем независимые последовательности (семейства) уровней с различнымиточными квантовыми числами. Пусть -я последовательность имеет среднее расстояние между соседними уровнями , отвечающее парциальной∑︀плотности уровней = 1/ ; полная плотность уровней = . Длякаждой последовательности можно определить распределение расстояниймежду ближайшими уровнями, вероятность () обнаружения пары смежных уровней на расстоянии . Мы хотим найти полное распределение ()для всех пар соседних уровней, не ограничиваясь их принадлежностью кодному и тому же семейству.
Для удобства введем вероятность∫︁ ∞ () = ()(18.9)найти следующий уровень на расстоянии больше чем от уровня, расположенного в начале отсчета энергии.Для начала рассмотрим два семейства с соответствующими парциальными распределениями ближайших расстояний 1 () и 2 (). Так же, как и в(18.9), введем функции 1,2 (), подставляя в подынтегральное выражение1,2 () вместо (). Следующий (за исходным) уровень может принадлежать любому из семейств с относительной вероятностью 1,2 /. Если онпринадлежит семейству 1 и расположен на расстоянии > , то уровнисемейства 2 в интервале [0, ] отсутствуют.
Обозначим плотность вероятности такого отсутствия 2 (). Аналогичным образом можно определить и1 (). Тогда функция (18.9) удовлетворяет логическому тождеству1 () =∫︁∞2 1 ()2 () +∫︁∞ 2 ()1 ().(18.10)Введем условную плотность вероятности 2 () обнаружения ближайшегоуровня 2 в интервале [, + ] при условии, что уровень 1 расположен18.2. Локальная спектральная статистика: распределение Пуассона481в начале отсчета энергии.
Тогда предшествующий уровень семейства 2может находиться лишь где-то ниже нулевой точки, и расстояние междуэтими последовательными уровнями семейства 2 больше, чем . Поэтому2 () пропорционально 2 ():∫︁ ∞2 () = const 2 () = const 2 ().(18.11)Константа определена условием нормировки∫︁ ∞ 2 () = 1.(18.12)0(Предыдущий уровень может находиться где угодно ниже нулевой точки).Меняя порядок интегрирования аналогично тому, как это делалось привыводе хронологического произведения в уравнении (II.10.28), получим∫︁ ∞∫︁ ∫︁ ∞∫︁ ∞∫︁ ∞ 2 () = 2 () = 2 () = 2 , (18.13)0000среднее межуровневое расстояние в семействе 2. В результате∫︁ ∞2 () = 2 2 ().(18.14)Таким образом, уравнение (18.10) приобретает вид ( = 1/ — среднеемежуровневое расстояние в объединённой последовательности уровнейдвух семейств)[︁]︁ () = 1 ()2 () + 2 ()1 () .(18.15)Функции () и () связаны очевидным соотношением∫︁ ∞ () = ()(18.16)(если ближайший уровень находится на расстоянии > , он отсутствует винтервале [0, ]).
Поэтому () = −,(18.17)482Глава 18. Квантовый хаоси из (18.15) следует(︂ () = −122 +1)︂= −)︁ (︁1 2 .(18.18)Для большего числа семейств те же соображения позволяют получить, () = −∏︁≡ .(18.19)=1Из смысла W (s), определённой в (18.9), имеем () = 2 .2(18.20)С другой стороны, из уравнений (18.16) и (18.14) следует∫︁ ∞∫︁ ∞∫︁ ∞∫︁ ∫︁ ∞ () = () = () = (−) ().(18.21)Для малых расстояний < , с учетом определения среднего межуровневого интервала и нормировки , это дает)︂∏︁ (︂ () ≈ 1 −≈1−.(18.22)Если все одного порядка, ∼ , то для большого числа накладывающихся друг на друга семейств ≫ 1 приходим к экспоненциальномуповедению(︁ )︁∼ −/ .(18.23)∼ 1− ≫1Следовательно, распределение по расстояниям между соседними уровнями(18.20) ведет себя как1 −/.(18.24) () ≈Хотя наш вывод не позволяет предсказать предельное поведение () при ≫ , при больших функция () заведомо быстро стремится к нулю.Выражение (18.24) применительно ко всем называют распределениемПуассона.
Оно хорошо согласуется с численным моделированием суперпозиций нескольких независимых семейств уровней, когда для данного уровнянаиболее вероятный ближайший сосед принадлежит другим семействам. В18.2. Локальная спектральная статистика: распределение Пуассона483Рис. 18.3. Распределение интервалов между ближайшими уровнями для круглогобиллиарда радиуса (распределение Пуассона) и его эволюция припомещении внутри биллиарда на радиусе точечного -рассеивателя[118]этом случае отталкивания между смежными уровнями нет, распределениемежуровневых интервалов максимально для малых интервалов, а большиефлуктуации ведут к заметным пустотам в спектре.
Известно, что распределение Пуассона описывает во времени случайную последовательностьактов радиоактивного распада. В нашем случае распределение Пуассонадля расстояний между соседними уровнями может рассматриваться какпризнак регулярной динамики (см. рис. 18.3).Предыдущее рассмотрение неявно базировалось на предположении, чтосуществует функция (), которая не зависит от абсолютного положенияизучаемых уровней на шкале энергии. Это свойство спектральной эргодичности имеет место лишь тогда, когда средние характеристики спектров —такие, как парциальные плотности , фиксированы.
В реальных системахплотность уровней быстро растет с энергией. Поэтому применительно кспектральной статистике мы подчеркиваем слово «локальная». Глобальные, или секулярные свойства спектров не универсальны. Универсальностьможет быть восстановлена посредством масштабирования спектров [119]путем измерения межуровневых интервалов в единицах локального среднего межуровнего расстояния . Это позволяет сравнивать между собой484Глава 18. Квантовый хаосразличные участки спектров, принадлежащие даже разным системам. Часто этим пользуются для того, чтобы увеличить объем данных и повыситьстатистическую надежность результатов.18.3. Гауссов ортогональный ансамбльТеперь мы попытаемся описать хаотическую квантовую систему. Рассмотрим набор квантовых состояний, возникающих в результате процессаперемешивания, превращающего волновые функции в очень сложные комбинации исходных «простых» базисных состояний.
Предположим, что всесостояния принадлежат к одному и тому же классу по отношению к имеющимся точным симметриям — т. е. они могут смешиваться.Ключевым является вопрос о такой формулировке критерия предельногохаоса, которую можно было бы взять в качестве отправной точки. Огромнаяматрица гамильтониана в исходном «простом» базисе весьма сложна. Однако предположение об эргодичности открывает возможность рассматриватьразличные подматрицы как новые копии некоторого ансамбля матриц.Выясним, каким должно быть распределение вероятности () матриц для случая предельного хаоса.
Поскольку после перемешивания связьс первоначальным базисом теряется, его в определенном смысле можносчитать случайным — любой другой базис был бы столь же хорош. Темсамым мы приходим к формулировке основного требования предельногохаоса: вероятность () должна быть инвариантна по отношению к преобразованиям базиса.
Матричные элементы гамильтониана в произвольновыбранном базисе предполагаются независимыми и некорелированными, иискомая вероятность () сводится к произведению вероятностей ( )индивидуальных матричных элементов. Сформулированные условия достаточны для определения явного вида функции (). Ниже мы последуемспособу, предложенному в [10].Прежде всего определимся с классом описываемых систем. Мы рассмотрим ансамбль систем, инвариантных по отношению к обращениювремени. Как мы знаем из разд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
