1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 46
Текст из файла (страница 46)
11.7), характеризуемого коэффициентами суперпозиции(11.90). Предположим, например, что мы работаем точно в резонансе, Δ = 0.Зависящая от времени вероятность найти атом в основном состоянии описывается выражением () =∑︁2|() ()| =∑︁| |2 cos2| |,2(11.96)11.7. Взаимодействие с квантованным полем313Рис. 11.7. Эволюция начального когерентного состояния в модели Джейнса—Каммингса [60]; вертикальная ось показывает инверсную заселённостьатома как функцию безразмерного времени = ∑︀или, используя нормировку в (11.90), | |2 = 1,(︂√ )︂2| | 1 1 ∑︁2| | cos. () = +2 2 ~(11.97)После старта фотонный пакет проходит быструю стадию декогерентности(«коллапс»).
Можно оценить время возрождения пакета. Если фотонныйволновой пакет имеет максимум при среднем числе фотонов ¯ и с типичнойшириной (Δ) ≪ ¯ , то можно ожидать, что максимум ряда Фурье (11.97)будет достигаться при = , когда компоненты, соседние с центром пакета,будут находиться в фазе:(︂)︂√2| | | |= √ = 2.(11.98)~~ ¯=¯Это определяет время возрождения = 24¯~ √¯=.| |Ω¯(11.99)Задача 11.6Предполагая многофотонный√пакет гауссовым с большим средним числом фотонов ¯ ≫ 1 и (Δ) = ¯ , найти эволюцию волнового пакета на314Глава 11 Периодические возмущениямалых временах (до начала возрождения). Эти начальные условия соответствуют квазиклассическому когерентному состоянию (см.
т. 1, разд. 12.6),рассматриваемому вблизи максимума волнового пакета.РешениеВ этом случае| |2 = √12−(−¯) /2¯ .2¯(11.100)∑︀Подставивэто в (11.97) и заменив суммирование по , , интегрированием∫︀, а также распространив интегрирование до −∞, получаем, вычисливгауссов интеграл,√ )︂(︂1 12| | ¯ −| |2 2 /2 () = + cos.(11.101)2 2~Это уравнение описывает стадию начального коллапса (быстрое разрушение когерентности). Это приближение не описывает воскрешение пакета.11.8. Одетые состоянияКогда мы включаем, как в (11.86), источник электромагнитного поля внашу систему, полный гамильтониан не зависит от времени. Поэтому можноговорить о стационарных состояниях системы в целом, атом + поле.
Такиеодетые состояния возникают в сильных полях, когда теория возмущенийнеприменима.Мы рассмотрим только простейший случай двухуровневого атома ичастоты поля, близкой к резонансу. Сильное поле может рассматриватьсяклассически, так что в приближении вращающегося поля гамильтонианв представлении взаимодействия может быть опять записан с помощьюматриц Паули для атомных состояний как(︁)︁^ = ~Δ − 1 + + * − .22(11.102)Это стандартная двухуровневая задача, с которой мы встречались многораз. Решениями эффективного двумерного уравнения Шрёдингера^|±⟩= ± |±⟩(11.103)11.9. Сверхизлучение315являются два стационарных состояния |±⟩ с новыми энергиями ± .Задача 11.7Найти энергии ± и соответствующие стационарные состояния |±⟩.РешениеСтационарные энергии прямо связаны с частотой Раби± = ±1 √︀ 2 2~Ω≡±~ Δ + | |2 ,22(11.104)так что состояния раздвинуты по энергии на частоту Раби.
Волновыефункции равны√√)︂)︂(︂(︂11Ω√− Δ√/ Ω−Δ, |−⟩ = √. (11.105)|+⟩ = √*Ω−Δ2Ω − / Ω − Δ2ΩЕсли два атомных уровня, связанные сильным лазерным полем, могутиспускать фотоэлектроны, то в спектре электронов будет наблюдатьсяудвоение резонансов с расстоянием ~Ω между пиками. Подобная пара когерентно связанных состояний появляется и в квантовом рассмотрении полей.В модели Джейнса—Каммингса мы будем иметь полностью аналогичнуюпару одетых состояний для каждого числа фотонов > 1 с расщеплением,√растущим как (рис.
11.8).11.9. СверхизлучениеКак пример физического явления, возможного при взаимодействии интенсивной электромагнитной волны с веществом, мы обсудим явлениесверхизлучения или, если говорить точно, когерентное спонтанное излучение, предсказанное Р. Дикке [61]. Это предсказание нетривиально,поскольку из элементарной теории излучения известно, что спонтанноеизлучение − некогерентный процесс.
Однако могут существовать возбуждённые состояния системы атомов, в которых интенсивность излучения в 2 раз больше, чем у индивидуального атома. Ниже мы дадим упрощённоеобъяснение этого эффекта.Возвращаясь к спинорному описанию двухуровнего атома, обозначимэнергии возбуждённого и основного состояния как ±/2, так что гамильтониан (11.71) свободного атома есть∘^ at= ^ .(11.106)316Глава 11 Периодические возмущенияРис. 11.8. Схема расщепления одетых состояний при взаимодействии двухуровневой системы с квантовым гармоническим осцилляторомАмплитуды * и поглощения и излучения резонансного фотона комплексно сопряжены и 0 = ||2 есть мера интенсивности спонтанного излученияодиночного атома при его переходе вниз. Поместим тождественныхатомов в объём, стенки которого прозрачны для излучения резонанснойчастоты. Размер объёма выберем так, чтобы он был много меньше длиныволны обсуждаемого перехода, ≪ 1, и поэтому пренебрежём всемиразностями фаз, возникающих из-за различия расстояний, проходимыхволнами от разных излучателей.
Будем также пренебрегать прямыми взаимодействиями между атомами и перекрытием пространственных волновыхфункций различных атомов. Если все атомы возбуждены и излучают независимо, то полная интенсивность ∼ 0 . Тем не менее, даже в отсутствиепрямой связи между атомами возможно когерентное излучение с ∼ 2 0 .Если векторный оператор спина-кубита s() действует в двухуровневомпространстве атома , можно определить полный «спин», или квазиспинсистемы как^=S∑︁=1^s().(11.107)11.9.
Сверхизлучение317Базис невзаимодействующих спинов состоит из 2 конфигураций с различным распределением возбуждённых спинов. Обозначим заселённостидвух атомных уровней ± = (/2) + , где = + + − — полное числоатомов, а = = (+ − − )/2 — проекция полного спина (сравнитесо швингеровским представлением углового момента, гл. 7). Базис независимых спинов не слишком удобен для описания процессов излучения,которые фактически дают связь с континуумом. Эта связь описываетсяоператором∑︁∑︁^ ′ = *^+ () + ^− () ≡ * ^+ + ^− ,(11.108)где все амплитуды одинаковы в нашем длинноволновом пределе, так^ ∘ = ^ ,что в (11.108), как и в структуру внутреннего гамильтониана входят компоненты полного спина.
Квазиспин S в классическом пределеназывается вектором Блоха; в приближении (11.108) его величина сохраняется. Таким образом, вся динамика вектора Блоха разворачиваетсяна поверхности сферы. Полный гамильтониан, включающий связь с континуумом (11.108), диагонализуется в базисе полного спина и проекции.Задача 11.8Вычислить число состояний ( ) с заданной степенью возбуждения,даваемой полной проекцией , и число () мультиплетов со спином .Решение( ) =!,(/2 + )!(/2 − )! () = ( = ) − ( = + 1).(11.109)(11.110)При = /2 все атомы возбуждены, состояние единственное (максимальная проекция вектора Блоха на ось ), (/2) = 1, что возможнотолько для = /2. Следующая проекция, = /2 − 1, может бытьпостроена (/2 − 1) = способами переворотом одного из спинов.
Однакомбинация из этих состояний принадлежит тому же максимальномуспину = /2. Это симметричная линейная комбинация с одинаковымиамплитудами переворота для всех спинов, которая может быть получена действием коллективного понижающего оператора − ; другие − 1318Глава 11 Периодические возмущениякомбинаций состояний с одним перевёрнутым спином принадлежат новыммультиплетам с полным спином = /2 − 1.В процессе однофотонного излучения: описываемого гамильтонианом(11.108), сохраняется длина вектора Блоха, но меняется его ориентация,| ⟩ → | − 1⟩. В этом случае излучение не может быть отнесенок отдельному атому, мы имеем коллективный процесс излучения всейзапутанной системой. Амплитуда излучения пропорциональна√︀⟨ − 1|− | ⟩ = ( + )( − + 1).(11.111)Для одного атома, = 1/2, = 1/2, этот матричный элемент равен ;для многих тождественных атомов интенсивность излучения (11.111) равна = 0 ( + )( − + 1),(11.112)Если мы начинаем с выстроенного состояния = = /2, то мы можемиметь только некогерентное излучение = 0 .
Для состояний с однимперевёрнутым спином = /2 − 1 когерентная часть даёт = 2( − 1)0 ,в то время как остающиеся некогерентные комбинации дают = ( − 2)0 .Ясно, что по мере убывания при перевороте большего числа спиновинтенсивность излучения, испускаемого коллективной суперпозицией смаксимальным спином = /2, возрастает.Механизм усиления объясняется связью индивидуальных спинов черезконтинуум.
Виртуальное излучение спином и поглощение его спином создаёт когерентное суперизлучающее состояние. При этом не требуетсяпрямого спин-спинового взаимодействия. В состоянии с максимально ориентированным спином вдоль оси возможно только некогерентное излучение.Связь через виртуальный континуум максимальна в ситуации, когда половина спинов смотрит вверх, а половина вниз. Это происходит (для чётных ) при поперечной ориентации векторa Блоха, = /2, = 0, тогда(︂)︂ 0 2 = 0+1 ≈ ,(11.113)224интенсивность при больших пропорциональна 2 .
Состояния с < 0опять менее выгодны для излучения.Задача 11.9Классическая аналогия с вращающимся дипольным излучателем здесьвполне уместна. Если мы начинаем с вектора Блоха S, ориентированноговдоль оси , то эта ситуация подобна неустойчивому равновесию маятника,11.9. Сверхизлучение319Рис. 11.9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
