1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Развитие во времени суперизлучательного импульса в переходе междувращательными уровнями = 3 → = 2 молекулы HF [62], длинаволны 84 mсмотрящего вертикально вверх, = . Начинающееся спонтанное излучение заставляет маятник двигаться вниз, уменьшая = cos . Используябаланс внутренней энергии и интенсивности излучения, запишите классическое уравнение движения для вектора Блоха как функции времени ирешите это уравнение.РешениеЗависящая от времени интенсивность излучения (11.112) диполя ≈ 0 ( 2 − 2 ) = 0 2 sin2 (11.114)достигает максимума при поперечной ориентации, = /2. Интенсивностьравна скорости потери внутренней энергии ∘ = ,˙ = −˙ ∘ = − ˙ = sin · .(11.115)Поэтому уравнение движения для вектора Блоха имеет вид0 ˙ =sin ;(11.116)интенсивность (11.115) достигает максимума при = /2.
Угол меняетсякакtan0= (0 /)(−0 ) tan .22(11.117)320Глава 11 Периодические возмущенияМногочисленные эксперименты в квантовой оптике подтвердили механизм суперизлучения Дикке. Понятно, что полная теория эффекта гораздосложнее, поскольку должны быть учтены эффекты плотности, а такжедругие многочисленные факторы, порождающие некогерентные эффекты.В качестве примера мы показываем на рис.
2.9 одно из первых исследований [62] эффекта в оптически накачанном газе HF. «Запаздывающая»стадия некогерентного излучения завершается суперизлучающим пиком.Дополнительная литература: [56], [63], [61], [64], [65], [66], [59], [57]Теряется то, что передаётся другим.Плиний Старший «Естественная история»Глава 12Рассеяние быстрых заряженных частиц12.1.
Сечение рассеянияВ этом разделе результаты нестационарной теории возмущений будутприменены к важной проблеме взаимодействия пучка быстрых частиц ссистемой конечного объёма (атом, молекула, ядро).Падающий волновой пакет отклоняется от первоначального направленияв результате рассеяния. Система (рассеиватель, мишень) после взаимодействия может остаться в своём первоначальном состоянии (упругое рассеяние). В этом случае в системе центра масс процесс сводится к поворотуотносительного импульса мишени и налетающей частицы; кинетическаяэнергия относительного движения сохраняется, хотя некоторые внутренниеквантовые числа взаимодействующих систем, например ориентация спина,могут измениться, если эти состояния вырождены.
В процессе неупругогорассеяния внутренние состояния меняются вместе с кинетической энергиейотносительного движения. Если падающая частица и мишень были в своихосновных состояниях до рассеяния, то они могут возбуждаться. Энергиявозбуждения берётся из относительного движения, кинетическая энергиякоторого уменьшается.Рассмотрим упрощённую нерелятивистскую задачу, где налетающаяточечная частица (координата r)) взаимодействует с системой частиц (координаты r ) через потенциал, так что возмущение имеет вид∑︁^′ = (r − r ).(12.1)Интуитивно мы ожидаем, что для достаточно быстрых частиц (со скоростью больше, чем характерные скорости частиц в мишени) эффективное322Глава 12 Рассеяние быстрых заряженных частицРис.
12.1. Диаграмма рассеяниявремя взаимодействия будет малым, многократные процессы маловероятныи полная вероятность рассеяния будет невелика. В этой ситуации мы будемиспользовать золотое правило теории возмущений в виде, приведённом вразд. 11.1.Зависящая от времени сила, действующая со стороны системы на налетающую частицу, может быть разложена, как функция времени, в ряд Фурье.Каждая фурье-компонента частоты порождает соответствующий обменэнергией ~ между мишенью и налетающей частицей. В пределе большого энергия сохраняется: если и энергии, соответственно, начального иконечного состояний падающей частицы, а и энергии мишени, тосохранение энергии даёт − = ~ = −( − ).(12.2)Пусть мишень первоначально находится в состоянии |⟩, а падающаячастица имеет импульс p (процесс рассматривается в системе центра масс,поэтому все импульсы описывают относительное движение). Нас интересуетвероятность найти рассеянный волновой пакет с импульсом p′ вэлементе телесного угла , а систему в конечном состоянии | ⟩.
Еслисостояние | ⟩ принадлежит дискретному спектру, то плотность конечныхсостояний определяется правилами разд. 11.5 для налетающей частицы.Согласно золотому правилу, вероятность перехода в единицу времени под12.1. Сечение рассеяния323действием стационарно приходящего пучка есть˙ =2 ′ 2 3 ′| | ( + − − ).~(2~)3(12.3)Для нерелятивистской налетающей частицы, вводя плотность конечных состояний и интегрируя по , получаем для вероятности перехода в единицувремени ˙ ( — приведённая масса)˙ = ′ | ′ |2 .4 2 ~4 (12.4)Сама по себе вероятность перехода в единицу времени не годится длясравнения с экспериментом — она зависит от нормировки в непрерывномспектре.
Наблюдаемой величиной является эффективное дифференциальное сечение рассеяния — отношение числа частиц, попадающих в единицувремени в расположенный под определённым углом детектор, к плотности падающего потока. Если падающий пучок приносит частиц всекунду, то скорость счёта детектора будет ˙ . Плотность падающегопотока равна произведению плотности пучка на относительную скорость, = (/ ) = (/ )/. Поэтому дифференциальное сечение равно = ˙ = ˙ ,(/ )(/)(12.5)и, согласно (12.4), = 2′ 2| ′ |2 .
4 2 ~4 (12.6)Фактор 2 в действительности сокращается в сечении (12.6), так какволновые функции падающей частицы в континууме нормированы на тотже объём. Матричный элемент амплитуды перехода зависит от переменныхкак мишени, так и падающей частицы:^ ′ |; p⟩.′ = ⟨ ; p′ |(12.7)Используя для падающей частицы плоские волны p (r), нормированныена объём, находим′ =∫︁^ ′ (r)|⟩p (r) =3 p* ′ (r)⟨ |1∫︁′^ ′ (r)|⟩,3 (/~)(p−p )·r ⟨ |324Глава 12 Рассеяние быстрых заряженных частиц(12.8)^ ′ (r)|⟩ — матричный элемент взаимодействия (27.1) по состояниямгде ⟨ |мишени, который всё ещё зависит от координаты r налетающей частицы.Сечение характеризует элементарный акт взаимодействия независимо отинтенсивности пучка или нормировки на бесконечности.
Полное сечение∫︁ (12.9) = получается интегрированием по всем углам рассеяния.Векторq=p′ − p= k′ − k~(12.10)определяет передаваемый импульс от системы к налетающей частице.Матричный элемент (12.8) есть фурье-компонента амплитуды перехода^ ′ (r)|⟩ с соответствующим волновым вектором q,⟨ |∫︁1^ ′ (r)|⟩,(′ )q =3 −(q·r) ⟨ |(12.11)и окончательное выражение для сечения (12.6) имеет вид ⃒∫︁⃒2⃒′ (︁ )︁2 ⃒⃒3−(q·r)′^= ⟨ | (r)|⟩⃒⃒ ,⃒2 2~(12.12)где зависимость от нормировочного объёма уже отсутствует.12.2. Резерфордовское рассеяниеВ случае потенциального взаимодействия (12.1), матричный элемент в(12.12) может быть записан как∫︁∑︁^ ′ (r)|⟩ =3 −(q·r) ⟨ |⟨ |−(q·r ) ( )q |⟩,(12.13)где введены фурье-компоненты потенциалов взаимодействия (мы используем переменную x = r − r ),∫︁( )q = 3 −(q·x) (x).(12.14)12.2.
Резерфордовское рассеяние325Для кулоновского взаимодействия между нерелятивистской падающейчастицей (заряд 0 ) и частицей в системе (заряд ), (r − r ) = 0 (r − r ) =0 ,|r − r |(12.15)фурье-образ легко вычисляется, используя уравнение Пуассона, связывающее электростатический потенциал с плотностью заряда ch , создающегоэтот потенциал,∇2 (x) = −4ch (x).(12.16)Переходя к фурье-компонентам, находимq =4 ch .2 q(12.17)В случае точечного заряда ch (r) = (r − r ))−(q·r )ch,q = (12.18)и матричный элемент (12.13) становится∑︁4040 ⟨| (q), −(q·r ) |⟩ ≡22где - полный заряд мишени,∫︁∑︁ = 3 ch (r) = ch ,q=0 =(12.19)(12.20)и введён зарядовый форм-фактор (q) =∑︁11⟨ |ch|⟩=⟨| −(q·r ) |⟩.q(12.21)Собирая все уравнения, мы приходим к дифференциальному сечениюдля мишени, испытывающей переход → , и частицы, попадающей втелесный угол в результате кулоновского взаимодействия ′=(︂20 ~2 2)︂2| (q)|2 .(12.22)326Глава 12 Рассеяние быстрых заряженных частицРис.
12.2. Форм-фактор и интерференция волн, рассеянных разными элементамиобъёмаРассмотрим сначала упругое рассеяние, ′ = , = , ≡ . В этомслучае квадрат переданного импульса равенq2 = (k′ − k)2 = 2 2 (1 − cos ) = 4 2 sin2 ,2(12.23)где - угол рассеяния между начальным и конечным относительнымиимпульсами. В кулоновском случае результат равен(︂ )︂(︂ )︂=| (q)|2 .(12.24) el RuthКлассическое сечение Резерфорда для частицы с энергией = 2 /2,рассеянной на точечном заряде (см. т.1, уравнение (1.129)),(︂)︂(︂=Ruth20 ~2 2)︂2(︂=0 22~ 2 sin2 (/2))︂2(︂=0 4модифицировано статическим зарядовым форм-фактором∫︁11 (q) =⟨q ⟩ =3 −(q·r) ⟨ch (r)⟩,)︂21,sin (/2)(12.25)4(12.26)который есть нормированный фурье-образ статической плотности заряда.12.3. Статический форм-факторСмысл статического форм-фактора становится ясным из рис.
12.2. Рассмотрим12.3. Статический форм-фактор327интерференцию волн, рассеянных элементом объёма в начале координат(опорная волна) и произвольным элементом объёма 3 в точке r. Каквидно на рис. 12.2, эти волны идут под определённым углом к детектору сразностью фаз (k′ ·r)−(k·r) = (q·r). Форм-фактор (q) есть суперпозициявсех волн, рассеянных различными элементами объёма на данный угол,корректно учитывающая их относительные фазы.
При этом нужно помнить, что в рассматриваемом приближении подразумевается, что толькооднократное рассеяние имеет заметную вероятность.Форм-фактор (12.26) удобно нормирован так, что (0) = 1.(12.27)Для точечной мишени⟨ch (r)⟩ = (r)(12.28)форм-фактор (q) ≡ 1 и сечение (12.24) возвращается к формуле Резерфорда. В этом пределе вся система зарядов действует как единое целое.В реальной ситуации распределение зарядов в конечном объёме с неизбежностью порождает интерференцию, | (q)| < 1, и упругое сечениеуменьшается по сравнению с резерфордовским.Если сделать обратное фурье-преобразование форм-фактора, извлечённого из экспериментального сечения, то можно получить информациюо распределении плотности заряда внутри мишени.
Для этой цели важно измерять сечение до максимально возможных передач импульса. Напрактике это трудно выполнимо, поскольку абсолютная величина сечения(12.24) определяется сечением Резерфорда, которое очень быстро падает сростом . Тем не менее, такие эксперименты были проведены с электронами,рассеивавшимися на атомных и ядерных мишенях.Предел → 0, когда справедливо уравнение (12.27), отвечает малымуглам рассеяния .
В терминах классической механики такое слабое рассеяние имеет место при больших прицельных параметрах, когда налетающаячастица не проникает внутрь мишени и чувствует только полный заряд. В этом случае справедлива формула Резерфорда. Малая передачаимпульса означает, что ≪ 1,(12.29)где — характерный размер системы. В этом случае разности фаз междуволнами, взаимодействующими с разными частями системы, пренебрежимо328Глава 12 Рассеяние быстрых заряженных частицмалы; налетающая частица неспособна разрешить пространственную структуру мишени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
