1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Возбуждение и ионизация атомов333Для нерелятивистской налетающей частицы ядро может рассматривать(nucl)ся как точечное, q= , и эта константа не может вызывать никаких(nucl)атомных переходов. Ясно, что оператор ^qдействует только на внутренние переменные ядра и может вызывать возбуждение лишь ядерныхвнутренних степеней свободы. Но нерелятивистская частица не имеет дляэтого достаточной энергии, и единственная возможность для неё — возбуждение атомных электронных оболочек. В этом случае неупругое сечениеравно =(︂20 ~2 2)︂2′⃒⟨ ⃒⃒ ⟩⃒2⃒⃒∑︁⃒ ⃒⃒⃒⃒ ⃒−(q·^r ) ⃒ ⃒ .⃒ ⃒⃒⃒⃒ ⃒(12.48)=1Оператор^q =∑︁−(q·^r )(12.49)=1есть фурье-компонента полной электронной плотности (заряд ≡ убраниз плотности заряда (12.48)).
Это одночастичный оператор в том смысле,что он состоит из членов, каждый из которых действует на переменныеодного электрона и может изменить только ту часть волновой функции,которая зависит от этих переменных. Состояние | ⟩ поэтому имеет в каждой из своих компонент один электрон, перемещённый на другую орбиту,и дырку в прежде занятом состоянии. Это возбуждение мы называемодночастичным или возбуждением типа частица — дырка. Комбинацииодночастичных переходов могут быть когерентными (синхронное движениечастиц и дырок) и соответствовать коллективным возбуждениям (см. т.
1,разд. 10.8).Передаваемый импульс для неупругого рассеяния записывается, в отличие от (12.23), как 2 = 2 + ′2 − 2 ′ cos .(12.50)Минимальный переданный импульс при данной энергии возбуждения достигается при рассеянии вперёд:min ≈ − ′ = − ΔΔ∼=.~~~(12.51)334Глава 12 Рассеяние быстрых заряженных частицЕго величина удовлетворяет условию min at ≪ 1. Действительно, простые оценки из соотношения неопределённостей и справедливости теориивозмущений показывают, чтоmin ∼2atat atat 11∼∼≪.~ ~ atat(12.52)С другой стороны, для быстрых частицmax = + ′ ≈ 2 >1.at(12.53)Это значит, что параметр at меняется в широких пределах.При малых at можно разложить экспоненту (27.48) =(︂20 ~2 2)︂2⃒(︃)︃ ⃒⃒2⃒∑︁⃒⃒⃒ q·⃒ .r⃒⃒ ⃒ ⃒′(12.54)Вводя оператор дипольного момента (см.
уравнение (6.63)), мы получаем =(︂20~2 2)︂2′|q · d |2 .(12.55)т. е. дипольные переходы являются наиболее вероятными. Ниже мы увидим,что дипольные переходы являются также и наиболее интенсивными воптическом диапазоне излучения и поглощения атомами. При больших роль высших мультипольных переходов возрастает.Когда величина at становится больше единицы, экспонента в матричном элементе начинает быстро осциллировать в области интегрирования.Сечение может иметь заметную величину только если волновая функцияодного из электронов в конечном состоянии сокращает эту экспоненту.Это возможно, если один из электронов описывается плоской волной симпульсом близким к −q. В этом случае импульс приближённо сохраняетсятак, что налетающая частица передаёт почти весь импульс −q электрону,который переходит в непрерывный спектр и атом ионизуется.
Этот случайнапоминает классическое столкновение частицы массы 0 со свободнымэлектроном; импульс отдачи ядра здесь мал. Максимальный передаваемый12.6. Потери энергии335импульс при таком столкновении равен{︂20 2 , 0 ≫ ,=~max = 2 = , 0 = .0 + (12.56)12.6. Потери энергииБыстрая заряженная частица теряет в веществе свою энергию путёмвозбуждения и ионизации атомов. Пусть вещество содержит атомов вединице объёма. На длине падающая частица будет в среднем иметьчисло столкновений, сопровождаемых переходами → , равное ,где есть проинтегрированное по углам сечение для данного перехода.В каждом акте такого столкновения частица передаёт атому энергию − ′ = − . Полная потеря энергии на единицу длины выражаетсясуммой всех возможных переходов → :∑︁= − ( − ).(12.57)В случае дифференциального сечения (12.48), вычисленного по теориивозмущений, для потерь энергии получаем∑︁= −( − )(︂∫︁20 ~2 2)︂2′|(q ) |2 ,где, как и раньше,⃒ ⟩⟨ ⃒⃒⃒∑︁⃒−(q·r ) ⃒(q ) = ⃒⃒ .⃒ ⃒(12.58)(12.59)Для анализа этого выражения удобно перейти от интегрирования по углурассеяния к интегрированию по передаваемому импульсу .
Из (12.50)мы находим = ′ sin ,′′2 → 2 sin = 2 .(12.60)336Глава 12 Рассеяние быстрых заряженных частицС этой заменой переменных и используя = ~/, мы получаем из (12.58)= 2−(︂20 ~)︂2 ∑︁∫︁( − )maxmin|(q ) |2 .3(12.61)Вычисление суммы по конечным состояниям в (12.61) является сложнойзадачей, так как в согласии с законами сохранения пределы интегрированияmin и max различны для разных конечных состояний.Хорошую оценку суммы можно получить, если заменить точные пределыинтегрирования их некоторыми средними значениями ¯min и ¯max . В этомслучае мы можем поменять порядок суммирования по конечным состояниями интегрирования:≈ 2−(︂20 ~)︂2 ∫︁¯max¯min ∑︁( − )|(q ) |2 .3(12.62)Сумма в (12.62) вычисляется точно с помощью правила сумм (см. т.
1,уравнение (7.146)):∑︁~2 2( − )|(q ) |2 =,2(12.63)где — число электронов в атоме (атомный номер элемента). Теперь можнопровести интегрирование в (12.62) и получить−2 2¯max≈ 4 0 2 ln. ¯min(12.64)Результат (12.64) оправдывает приближение, сделанное в (12.62). Зависимость от пределов интегрирования достаточно слабая (логарифмическая).Более того, этот результат не содержит постоянной Планка и поэтомуявляется существенно классическим; как таковой, он может быть полученв классической электродинамике [67].
Тем не менее, квантовые аргументыважны при выборе пределов ¯.Согласно оценкам (12.53) и (12.56), для существенных переходов ~¯max ∼ . Максимальный передаваемый импульс отвечает минимальному прицельному параметру min ∼ (¯max )−1 ∼ ~/( ) порядка длины волныэлектрона в системе, связанной с налетающей частицей. Классическийрезультат (12.64) справедлив только для таких столкновений.
Что каса-12.7. Кулоновское возбуждение337ется нижнего предела передаваемого импульса, то, как видно из (12.51),¯¯ — некоторая средняя энергия порядка энергии связи~¯min ∼ /,где электронов в атоме. Эта оценка минимального передаваемого импульса отвечает максимальному прицельному параметру max ∼ (¯min )−1 ∼ (¯ /)−1 ,где ¯ — характерная атомная частота.
При еще бӧльших прицельных параметрах, > /¯ , мы приходим к столкновениям с эффективным временемвзаимодействия ∼ /, большим по сравнению с атомными периодами 1/¯.В этом случае налетающая частица действует на систему адиабатически(см. разд. 10.4), и вероятность возбуждения становится малой.На основании этих соображений мы приходим к формуле Бете:−2 2 2≈ 4 0 2 ln ¯ .
(12.65)Как видно из этой формулы, потери энергии зависят только от скоростичастицы и не зависят от её массы. Масса будет определять только среднийугол многократного рассеяния заряженной частицы в веществе. Этот уголвозрастает с уменьшением массы частицы.В практических применениях необходимо будет учитывать релятивистские эффекты, поляризацию среды налетающей частицей и (для электронов) обменные эффекты с электронами в среде (обмен для тождественныхчастиц будет обсуждаться позже).
Кроме того, роль других механизмовпотери энергии, таких как тормозное излучение в поле ядра, возрастает сэнергией падающей частицы. Методы квантовой электродинамики даютоценку [8] для отношения ионизационных потерь (обсуждаемых выше) ипотерь на тормозное излучение:(MeV)(/)rad≈.(/)ion600(12.66)В дополнение к этому для частиц с энергией несколько десятков МэВ процессы возбуждения и развала ядер вещества также становятся заметными.12.7. Кулоновское возбуждениеПодобный подход, использующий теорию возмущений, работает в задачео движении быстрой заряженной частицы по заданной квазиклассическойтраектории R() в кулоновском поле мишени (рис. 12.3). Это типичнаяситуация в ядерных экспериментах, где мы интересуемся слабыми возбуждениями, а траектория отбирается прицельными параметрами таким338Глава 12 Рассеяние быстрых заряженных частицРис.
12.3. Кинематика экспериментов по кулоновскому возбуждениюобразом, чтобы ядро налетающей частицы и ядро мишени не перекрывалисьи эффекты сильного, но короткодействующего ядерного взаимодействиябыли бы практически исключены. Такие эксперименты, в частности, даютвозможность обнаружения низколежащих возбуждённых состояний коротко живущих ядер используя их как налетающие частицы в последующихстолкновениях (обратная кинематика).В системе координат мишени частица с зарядом 0 , движущаяся потраектории R(), создает кулоновское поле, действующее на частицмишени с координатами r и зарядами :^ ′ = 0∑︁=1.|r − R()|(12.67)Предполагая, что траектория R() лежит вне мишени, мы используемразложение (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
