1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Другой удобный выбор базисных векторов — два комплексных вектора вэтой плоскости1e±k = ∓ √ (e1k ± e2k ).2(13.15)Скалярное произведение этих векторов должно быть определено с дополнительным комплексным сопряжением левого вектора±(e±*k · ek ) = 1,∓(e±*k · ek ) = 0.(13.16)Этот выбор, совпадающий с собственными векторами спина 1 для проекций±1 (уравнение 1.32), отвечает циркулярной (левой или правой) поляризации.В любом случае поперечная амплитуда может быть представлена каксуперпозиция двух независимых поляризаций∑︁bk =ek k ,(13.17)̸=0где векторы ek и амплитуды k в общем случае комплексные. Теперькаждая степень свободы поля в объёме (нормальная мода) характеризуется волновым вектором и поляризацией и все моды дают независимые348Глава 13 Фотонывклады в энергию=∑︁k ,kk = 2k *k .2Координаты и импульсы нормальных мод определяются как√︂√︂*(k + k ), k = −(k − *k ).k =2442(13.18)(13.19)Уравнение (13.5) показывает, что эти переменные удовлетворяют стандартным уравнениям движения для гармонических осцилляторов˙ k = k ,¨ k = − 2 k .˙k = (13.20)Энергия поля (13.18), выраженная в терминах координат и сопряжённыхим импульсов, есть классическая функция Гамильтона=∑︁kk ,1 2+ 2 2k ).k = (k2(13.21)Классические уравнения Гамильтона, найденные с использованием (13.21),совпадают, конечно, с (13.20).
Таким образом, классическое электромагнитное поле излучения представлено набором независимых гармоническихосцилляторов.13.3. Квантование поля излученияМы постулируем, что квантованное поле должно иметь стандартныйвид набора осцилляторных нормальных мод, в которых классические пе^ k и ^k сременные k и k заменены эрмитовскими операторами каноническими коммутационными соотношениями:^ k , ^ ′ k′ ] = [^k , ^′ k′ ] = 0,[^ k , ^′ k′ ] = ~′ k,k′ .[(13.22)Амплитуды k и *k становятся операторами ^k и ^†k , которые взаимноэрмитовски сопряжены. Уравнения (13.19) определяют√︂√︂(︂)︂(︂)︂22^k = ^ k + ^k , ^† = ^ k − ^k . (13.23)k13.3. Квантование поля излучения349Коммутационные соотношения этих операторов:[^k , ^′ k′ ] = [^†k , ^†′ k′ ] = 0,2~2[^k , ^†′ k′ ] =′ kk′ . (13.24)Сравнивая эти результаты с разделом 11.8 первого тома, видим, что можноввести стандартные операторы рождения и уничтожения квантов√︂√︂ ^ ^††^k =k , ^k = ,(13.25)22~2~2 kс нормированными коммутаторами[^k , ^†′ k′ ] = ′ kk′ .(13.26)Наша цепочка преобразований заканчивается записыванием квантовогогамильтониана в виде^ =∑︁^ k ,k2^ k = (^† ^k + ^k^† ) = ~ (^^k + ^k ^†k ),†k k42 k2(13.27)или, используя коммутаторы (13.26),(︂)︂(︂)︂11†^k = ~ ^k ^k += ~ ^ k +.22(13.28)Теперь поле характеризуется операторами ^ k чисeл квантов, фотоновтипа (k).
Эти операторы имеют в качестве собственных значений любыенеотрицательное целые числа.Окончательное выражение для векторного потенциала (13.2) в терминахквантованных операторов рождения и уничтожения фотонов имеет вид√︃)︁∑︁ 2~2 (︁^ ) =A(r,ek (k·r) ^k () + e*k −(k·r) ^†k () .(13.29) kЗависимость от времени операторов уничтожения даётся уравнением (13.5),а у операторов рождения она комплексно сопряжена, как это и должнобыть у гейзенберговских операторов для гармонических осцилляторов (см.т. 1, уравнение 12.60). Соответственно, операторы квантованных полей350Глава 13 Фотоныравны√︂ℰ^ (r, ) = −∑︁k)︁2~ (︁ek (k·r) ^k () − e*k −(k·r) ^†k ()(13.30)и√︃^ (r, ) = ℬ∑︁k)︁]︁(︁2~2 [︁^†k () .
(13.31)k × ek (k·r) ^k () − e*k −(k·r) Как для любого гармонического осциллятора, имеется вклад нулевыхколебаний: полная энергия основного состояния, которое определяетсякак вакуумное состояние, в котором отсутствуют кванты, все k = 0,бесконечна:∑︁ 1~ .(13.32)0 =2kРасходимость возникает просто из-за бесконечного числа степеней свободы.Для свободного электромагнитного поля эта расходимость несущественна, так как 0 может быть взята за начало отсчёта энергии. Но в этомсодержится зародыш серьёзных расходимостей, возникающих в квантовой электродинамике и в общей квантовой теории поля. В то же времяизменение этой величины при взаимодействии полей с веществом являетсянаблюдаемым эффектом.Задача 13.1^ для свободного электромагнитного поля.Построить оператор импульса PРешениеПоток энергии классического поля даётся вектором Пойнтинга:S=ℰ × ℬ ].[ℰ4(13.33)Полный импульс поля пропорционален интегралу по объёму от вектораПойнтинга [1, § 32]:∫︁∫︁11ℰ × ℬ ].3 [ℰ(13.34)P = 2 3 S =413.3.
Квантование поля излучения351Подставим локальные поля из (13.30) и (13.31) и проинтегрируем по объёму,как в (13.9). Вспоминая, что = , получаем)︂∑︁∑︁ (︂1^ =1^ k k =P.(13.35)~k ^ k +2kkЭтот результат показывает, что импульс свободного поля сохраняется.Представления (13.28) и (13.35) находятся в полном согласии с идеей(см. т. 1, разд. 1.3) фотонов как квантов электромагнитного поля — частиц,имеющих нулевую массу покоя и характеризующихся квантовыми числами — волновым вектором и поперечной поляризацией. Энергия и импульсфотона равныk = ~ = ~,pk = ~k.(13.36)Полный импульс поля (13.35) также содержит вклад нулевых колебаний,который исчезает в силу изотропии вакуумного состояния.В базисе состояний |{k }⟩ с определённым числом фотонов операторывекторного потенциала (13.29), электрического поля (13.30) и магнитногополя (13.31) имеют ненулевые матричные элементы только при изменениичисла фотонов на Δ = ±1. Диагональные матричные элементы, а следовательно, средние значения по состояниям с определённым числом фотонов,равны нулю.
Грубо говоря, такие состояния имеют большую неопределённость в фазе поля (см. обсуждение в т. 1, разд. 12.6) и усреднение по фазедаёт нулевое среднее значение. Для перехода к классическому полю можнопостроить когерентные состояния (см. т. 1, разд. 12.4).Задача 13.2Построить когерентное состояние для фотонной моды (k) и найти среднеквадратичную флуктуацию линейно поляризованного электрическогополя в этом состоянии.РешениеКогерентное состояние |⟩ есть собственное состояние оператора уничтожения,^k |⟩ = |⟩.(13.37)352Глава 13 ФотоныСреднее значение электрического вектора поля (13.30) в этом состоянииравно√︂)︁2~ (︁ [(k·r)− ]^⟨|ℰ (r, )|⟩ = −ek− (c.c.) .(13.38)С = || exp(),√︂⟨|ℰ^ (r, )|⟩ = −2ek(︁)︁2~|| sin (k · r) − + .(13.39)Таким же способом находим(︁)︁}︁22~ {︁1 + 4||2 sin2 (k · r) − + .⟨|ℰ^ (r, )|⟩ =(13.40)Среднеквадратичная флуктуация не зависит ни от координат и времени,ни от амплитуды , фазы и поляризации:√︂√︀2~(Δℰ 2 ) =.(13.41)Относительная флуктуация (Δℰ)2 /⟨ℰ 2 ⟩ мала для большого числа фотонов||2 .Следует также отметить, что операторы полей в разных точках пространства-времени в общем случае не коммутируют.
Поэтому они не могутодновременно иметь определённые значения. Как показали Н. Бор и Л.Розенфельд, 1933, любые две компоненты ℰ и ℬ , усреднённые по одному итому же пространственно-временному объёму, всегда измеримы. Для разных областей, которые могут быть связаны световым сигналом, измерениев одной области меняет состояние поля во второй области; тогда и возникает соотношение неопределённостей, которое исчезает в классическомпределе ≫ 1, или формально ~ → 0.Задача 13.3Показать, что операторы поля в двух пространственно-временных точках(r, ) и (r′ , ′ ) не коммутируют только, если эти точки могут быть связанысветовым сигналом:|r − r′ | = ( − ′ ).(13.42)13.3.
Квантование поля излучения353РешениеКоммутатор двух декартовых компонент (13.30) электрического полявычисляется с использованием основных коммутаторов (13.26)4~ ∑︁ [ℰ^ (r, ), ℰ^ (r′ , ′ )] =k k sin(k · R − ),(13.43)kгде, в силу трансляционной инвариантности в пространстве и времени,результат зависит только от разностей R = r − r′ и = − ′ . Сумма пополяризациям при данном k не есть условие полноты, так как продольныйвектор k/ в сумме отсутствует. Поэтому∑︁k k = − .2(13.44)С помощью дифференциального оператора^ = 1 − 2 ′ ′(13.45)коммутатор(13.43) после перехода к непрерывному пределу∫︀→ 3 /(2)3 может быть представлен как^ Δ(R, ),[ℰ^ (r, ), ℰ^ (r′ , ′ )] = −4~2 ∑︀k→(13.46)где введена универсальная функция распространения (пропагатор)∫︁sin(k · R − ).(13.47)Δ(R, ) = 3 Таким же путём можно найти, что коммутатор компонент магнитного полясовпадает с (13.46), в то время как[ℰ^ (r, ), ℬ^ (r′ , ′ )] = −4~ Δ(R, ).′ (13.48)Переходя∫︀к сферическим∫︀координатам, интегрируя по углам k, записывая∞∞интеграл 0 как (1/2) −∞ , так как подынтегральная функция чётная,354Глава 13 Фотоныи используя стандартное определение -функции, мы получаемΔ(, ) =1[( − ) − ( + )].4(13.49)Это означает, что поля некоммутативны только в точках на световом конусе,поскольку их измерения не являются независимыми.13.4.
Волновая функция фотонаНаиболее общее однофотонное состояние может быть представлено какпроизвольная суперпозиция операторов рождения, действующих на вакуум,∑︁|Φ⟩ =Φk ^†k |0⟩.(13.50)kНабор коэффициентов Φk может быть интерпретирован как волноваяфункция ∑︀фотонного волнового пакета. Состояние может быть нормированосогласно k |Φk |2 = 1.Электромагнитные поля, ассоциированные с таким состоянием фотона,определены какℰ (r, ) = ⟨0|ℰ^ (r, )|Φ⟩,^ (r, )|Φ⟩.ℬ (r, ) = ⟨0|ℬ(13.51)Эти матричные элементы вычисляются с помощью квантованных полей(13.30), (13.31):√︂ℰ (r, ) = ∑︁k∑︁2~Φk ek (k·r)− ≡ √︂k2~Φ (k)(k·r)− (13.52)и√︃ℬ (r, ) = ∑︁k√︃≡∑︁k2~2Φk [k × ek ](k·r)− ≡ 2~2[k × Φ(k)]ei(k·r)−ik t , (13.53)13.4.
Волновая функция фотонагде введена векторная волновая функция∑︁ek ΦkΦ (k) =355(13.54)с очевидным свойством поперечности(k · Φ (k)) = 0.(13.55)Вектор поляризации ek указывает, как это стандартно принято, на направление электрического поля (13.52) в каждой монохроматической компонентеволны.Задача 13.4Показать,что вычисленная классически энергия поля, определённого в(13.52) и (13.53), равна∫︁(︁)︁3 *=~Φ(k)·Φ(k).(13.56)(2)3Векторная волновая функция фотона Φ (k) должна преобразовыватьсяпри поворотах как любая векторная функция (см. разд. 1.2 и 1.3). Здесь мыработаем в импульсном представлении, так что преобразование поворота,действующее на явную зависимость от переменных, k в нашем случае, генерируется оператором орбитального момента, взятым также в импульсномпредставлении^ = −[k × ∇k ].L(13.57)Собственными функциями оператора орбитального момента с определён^ 2 = ( + 1) и ^ = (проекция на ось , произвольными значениями Lно фиксированную в пространстве), являются стандартные сферическиефункции (k), зависящие только от углов k.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
