1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Кроме этого, векторныекомпоненты Φ также преобразуются между собой. Генератором этого преобразования является спин фотона, определённый в точности так же, каки выше (см. разд. 1.2). Это определение отвечает спину = 1, так чтооператор полного углового момента равен^=L^ + S,^J(13.58)и возможные значения — неотрицательные целые числа = , ± 1.356Глава 13 ФотоныЗадача 13.5Показать, что состояние = 0 запрещено поперечным характером поля.РешениеСостояние с = 0 — скаляр относительно вращений. Единственная возможность для векторного поля Φ (k) быть инвариантным относительноповоротов — это иметь продольный (радиальный) характер, Φ (k) = k().Но такое поле не удовлетворяет условию (13.55); вспомним также задачу1.14.Поскольку фотон не имеет системы покоя, невозможно физически разделить орбитальную и спиновую части , они всегда связаны.
Очевидноеравенство (см. уравнение 6.14),^ · k) = 0,(L(13.59)показывает, что спиральность ℎ фотона, проекция полного углового мо^ · k)/. Формально, как обычномента на направление движения, равна (Sдля спина = 1, этот оператор может иметь собственные значения 0 и ±1,но спиральность 0 запрещена условием поперечности. Действительно, рольспина играют векторы поляризации ek , которые перпендикулярны k; ихсферические компоненты (13.15) аналогичны повышающим и понижающимкомпонентам спина, а продольная компонента отсутствует. В квантовойтеории поля доказывается, что любая безмассовая частица со спином может иметь только два значения спиральности ℎ = ± [68]. В самом деле,только углы 0 и инвариантны относительно преобразований Лоренца.13.5. Векторные сферические гармоникиВекторные сферические гармоники являются собственными функциямиполного углового момента .
Они отвечают определённым значениям , и = (спин = 1). По этой причине для них используется обозначение (n), где векторное сложение организовано обычным образом (см.раздел 7.6.), (n) =∑︁1 (n) ,n=k.(13.60)Здесь — собственные функции спина 1 с проекциями = = 0, ±1на ось квантования. Можно использовать явную форму матриц спина = 1 (уравнение 1.15), действующих на состояния, представленные трёх-13.5. Векторные сферические гармоники357компонентными столбцами ( уравнение 1.31) или векторами (уравнение1.32), которые совпадают с векторами поляризации e , = 0, ±1. Обычнопринято работать со сферическими векторами∑︁Y (n) =(13.61)1 (n)e .Для данной величины полного момента существуют три линейно независимых векторных функции с = , ± 1.
Исключение составляет случай = 0, где возможна только одна комбинация∑︁00Y010 (n) =1(13.62)1 1 (n)e .С коэффициентами Клебша—Гордана из задачи 7.5 и сферическими функциями ранга 1, (уравнение 1.98), получаем1 ∑︁1 ∑︁(−) 1 (n)e− = √(−) e− .Y010 (n) = √3 4 (13.63)В естественной системе координат с полярной осью вдоль k остаётся толькопродольная компонента = 0, = 0 ,11Y010 (n) = √ e0 = √ n.44(13.64)Это формальное доказательство утверждения задачи 13.5.Чётность векторных гармоник определяется чётностью (−) сферических функций, благодаря их k-зависимости, умноженной ещё на однуминус единицу, как характерно для векторного состояния Π = (−)+1 .Поэтому для = ± 1 чётность равна (−) , в то время как для = чётность равна (−)+1 .
Продольные состояния принадлежат к первомутипу. Соответствующая волновая функция имеет вид Y(k) = kΦ(k). Таккак радиальное поле k инвариантно относительно вращений, то угловоймомент этой функции = совпадает с Φ(k). Полный орбитальный моментиз-за присутствия вектора k равен = ± 1. Пространственная инверсия даёт −Y(−k) = −(−kΦ(−k)) = k(−) Φ(k), то есть чётность равна(−) = (−)+1 = (−) (первый тип). Но продольное состояние не соответствует реальному фотону.
В результате для каждого ̸= 0 имеются двапоперечных состояния с противоположной чётностью (для = 0 нет состояний вообще). В принятой терминологии излучённый фотон с угловым358Глава 13 Фотонымоментом и чётностью (−) называется электрическим мультиполемс мультипольностью 2 , в то время как дополнительный тип с тем жемоментом и чётностью (−)+1 называется магнитным мультиполем.Можно напомнить из т. 1, разд. 7.5, что электрические мультипольныеоператоры ℳ(E) системы зарядов имеют правила отбора по чётности(−) . А для магнитных мультипольных операторов, ℳ(M), правило отбора по чётности есть (−)+1 , что находится в согласии с вышеприведённойклассификацией.Задача 13.6Используя результаты задачи 1.14, доказать, что векторы, определённыекак(long)Y= n ,(13.65)∇n(el) ,Y = √︀( + 1)(13.66)где ∇n есть угловая часть градиента ∇k , умноженная на , и(magn)Y(el)= [n × Y ],(13.67)дают общую форму для продольных, электрических и магнитных сферических векторов.
Показать, что они ортогональны и нормированы на сфереединичного радиуса∫︁(′ )*() Y ′ ′ · Y = ′ ′ ′ ,(13.68)где обозначает тип вектора.РешениеПравильные квантовые числа следуют из задачи 1.14. Идентификация типа поперечного оператора следует из чётности, (−) для электрического типа (13.66) и (−)+1 для магнитного типа (13.67). Ортонормированность проверяется непосредственно, используя интегрирование почастям там, где встречается градиент. При этом возникает |∇n |2 — угловаячасть оператора Лапласа, умноженная на 2 .
Действуя на , она даёт( + 1) .Можно также определять сферические волны фотона, разлагая экспоненту в выражении для векторного потенциала по сферическим функциям13.6. Эффект Казимира359Бесселя. Подробности можно найти в литературе по квантовой электродинамике [8].13.6. Эффект КазимираТеперь мы рассмотрим два знаменитых эффекта, где квантование электромагнитного поля и наличие вакуумной энергии приводят к важнымэкспериментальным следствиям.Энергия нулевых колебаний (13.32), будучи формально бесконечной, зависит от спектра собственных частот электромагнитного поля. Этот спектр,в свою очередь, определяется граничными условиями. До сих пор мы рассматривали свободное электромагнитное поле в большом вспомогательномобъёме .
Но ничто не мешает испльзовать этот подход в реальном объёмес физическими границами. Мы всё равно должны найти нормальные моды поля излучения, представить произвольную конфигурацию поля каксуперпозицию нормальных мод и объявить коэффициенты суперпозицииоператорами рождения и уничтожения. Изменение граничных условий влияет на спектр и, следовательно, на энергию нулевых колебаний. Изменениеэнергии нулевых колебаний оказывается конечным и может быть измереноэкспериментально [69].
Это так называемый эффект Казимира [70].Рассмотрим простейшую геометрию, в которой реальные граничныеусловия накладываются на двух параллельных пластинах, расположенныхпри = 0 и = < 0. В такой постановке были проведены успешныеизмерения [71]. Изменение положения , как мы увидим, меняет энергиюнулевых колебаний. Это значит, что существует реальная физическая сила,сила Казимира, действующая между двумя пластинами и зависящая отрасстояния между ними.
Для простоты мы предполагаем, что пластинысделаны из идеального металла с нулевыми граничными условиями дляэлектрического поля. Нормальными модами являются плоские волны сволновым вектором q вдоль -плоскости и стоячие волны ∝ sin() междупластинами, где волновое число квантовано: ⇒ =, = 1, 2, ...(13.69)Волновое уравнение (13.4) определяет спектр частот, зависящих от расстояния :√︀ (q) = q2 + (/)2 .(13.70)360Глава 13 ФотоныПредполагая, что внутри резонатора имеется вакуумное состояние поля(нет реальных квантов, температура = 0), мы находим силу, действующую между пластинами, как градиент энергии нулевых колебаний: =−0~ ∑︁ =−.2(13.71)В этом выражении сумма идёт по всем квантовым числам мод, включаяполяризацию (фактор 2 ниже), двумерный вектор q и квантовое число волнового вектора (13.69).
Для вектора q мы предполагаем стандартныеискусственныеусловия на границах большой площади пластин∑︀ граничные2, так что q → /(2)2 . Наблюдаемой величиной является давление,сила на единицу площади пластин∫︁∫︁~2 ∑︁ (q)~2 ∑︁ 22 == −2=.(13.72)2(2)2 4 3 (q)Используя2 = 2 =2,2(13.73)мы приходим к∫︁~ ∑︁ 2 ∞, =(min)2 3=1(min) =.(13.74)Сумма по нормальным модам в (13.74) расходится. Но в реальности приочень высоких частотах металл становится прозрачным и волны распостраняются как в вакууме, не замечая стенок, так что нормальные модыперестают зависеть от .
Конечный ответ для давления получится, еслисравнить наш случай со случаем отсутствия пластин ( → ∞). В этомслучае нет условия квантования (13.69), и переменная становится непрерывной, так что при → ∞∫︁ ∞∫︁ ∞~2 .(13.75)0 =(min)2 3 0Задача 13.7Показать, что вакуумное давление (13.75) может быть интерпретированокак результат отражения свободных фотонов от пластины с изменением13.7. Формула суммирования Эйлера—Маклореназнака импульса фотонов.∑︁ ∫︁ 3 0 =k 2~ ,(2)3361(13.76)где k — плотность фотонов (= 1/2 для всех мод в нашем случае) и =2 / .Наблюдаемой величиной является дополнительное притяжение на единицу площади[︃∫︁ ∞ ]︃ ∫︁ ∞~ ∑︁.(13.77) 20 − = −−(min)2 30=1Дополнительная сила возникает от низких частот, когда длина волныпоперечных волн порядка расстояния между пластинами.
Вклады высокихчастот сокращаются, так как проводник и вакуум одинаково прозрачныдля этих частот.Чтобы вычислить разность (13.77), мы воспользуемся формулой суммирования Эйлера—Маклорена для плавной функции (), вывод которойприведён ниже:∞∑︁∫︁ () −=10∞11 ′1 ′′′ () = − (0) − (0) + (0) . . .212720(13.78)В нашем случае (13.77) члены (0) и ′ (0) исчезают и ненулевой вкладидёт от ′′′ (0) = −6/ (не забудьте продифференцировать нижнийпредел интеграла). Это даёт окончательный результат для сил Казимирана больших расстояниях0 − = 2 ~.240 4(13.79)Теория и экспериментальные подробности эффекта Казимира обсуждаютсяв [72].13.7.
Формула суммирования Эйлера—МаклоренаМы следуем процедуре,∫︀ которая может быть полезной в численномвычислении интегралов () для гладких функций (). В качествеопорного базиса мы введем набор полиномов специального вида (связанных362Глава 13 Фотоныс полиномами Бернулли ) (), которые определяются рекуррентнымсоотношением ()= −1 ()(13.80)вместе с дополнительным условием, которое фиксирует произвольнуюпостоянную, допускаемую в в соответствии с (13.80): мы предполагаем,что функции , > 0, имеют нулевое среднее значение на интервале (, )нашего интегрирования∫︁ () = 0, > 0.(13.81)Начиная с 0 = 1, мы находим1 () = −2 () =3 () =4 () =+,2(13.82)1 2 +2 + 2 + 4 −+,2212(13.83)(︂)︂1 3 + 2 2 + 2 + 4( + )1+ − +−= (−)(−) −,64121262(13.84)1 4 + 3 2 + 2 + 4 2 ( + )( − )4 − 302 2 − + −−, ...24122412720(13.85)Значения этих функций на концах интервала равны:1 () = −1 () = −−,22 () = 2 () =( − )2,12( − )4;720в силу условия нормировки (13.81), () = () для > 1.3 () = 3 () = 0,4 () = 4 () = −(13.86)13.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
