1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Показать, что этоследует также из вида матричного элемента в (14.46).РешениеПри выборе k вдоль оси квантования показатель экспоненты exp[(k · r)]не зависит от азимутального угла и поэтому не изменяет проекцию ^ ) содержит только поперечныеравную нулю для = 0. Но оператор (e* · pкомпоненты импульса, ^, , которые меняют | | на 1 и ведут к = ±1,что невозможно для = 0.Весь оператор в (14.46) не действует на спиновые переменные, поэтому аргументы задачи 14.7 могут быть использованы для = 0 → = 0 перехода, который также оказывается запрещён для любых значений , , , .Такие переходы, однако, могут быть индуцированы спиновым магнитнымвзаимодействием ′ , в то время как однофотонные = 0 → = 0 переходы запрещены абсолютно. Вместо этого возможно излучение двух фотоновво втором порядке теории возмущений или благодаря квадратичному члену∼ A2 .
В ядрах возможен альтернативный процесс внутренней конверсии,когда излучаемая энергия передаётся атомному электрону или тратитсяна рождение электрон-позитронной пары.Легко видеть, что коэффициенты Эйнштейна удовлетворяют соотношениям, установленным в разд. 14.1. Если монохроматическая электромагнитная14.6.
Дипольное излучение385волна частоты распространяется в среде, в которой атомы могут испытывать резонансный переход с той же частотой, то элементарные актыпоглощения и излучения будут происходить с вероятностями, установленными выше. Решающим отличием индуцированного и спонтанного излученияявляется то, что акты индуцированного излучения увеличивают интенсивность волны, поскольку испускаемые фотоны имеют те же квантовыечисла (k). При спонтанном излучении фотоны излучаются некогерентнопо всем направлениям k.
В общем случае направление k не совпадает с направлением падающей волны. Для волны с ¯ k ≫ 1 спонтанное излучениене влияет на интенсивность.14.6. Дипольное излучениеРассмотрим сначала спонтанное излучение. В дипольном приближении, ≪ 1,⃒ ⟩⃒2⃒⟨ ⃒⃒ ⃒⃒∑︁ 2 ⃒⃒⃒ ⃒⃒*^·p)(14.47)(ek =⃒ ⃒ .⃒⃒k3⃒ ⃒⃒2 ⃒Для системы с потенциальным взаимодействием, используя опять (14.25),находимk =4|(e*k · d )|2 .23(14.48)Этот результат для интенсивности дипольного излучения очень похожна классическую формулу [1, § 67]. Для того чтобы проинтегрировать поуглам и просуммировать по поляризациям излучённого фотона, выберемдействительные векторы поляризации e1k и e2k в поперечной плоскоститак, чтобы один из этих векторов был перпендикулярен к вектору d ,например (e2k · d ) = 0.
Если угол между векторами k и d равен ,вектор d имеет компоненты вдоль k (∝ cos ) и вдоль e1k (∝ sin ). Тогда|(e*k · d )|2 = |d |2 sin2 .(14.49)Угловая зависимость излучения, ∝ sin2 , по отношению к волновому вектору k такая же, как в классической электродинамике. Полная интенсивность386Глава 14 Излучение и поглощение фотоновво все направления даётся∫︁44 422 =|d|sin=|d |2 .2333(14.50)Мы получили классическую формулу =2 4|d()|233(14.51)для излучения осциллятора со средним квадратом дипольного момента|d()|2 .
Так это и должно быть согласно принципу соответствия междуклассической и квантовой теориями. Классический осциллятор может бытьпредставлен разложением в ряд Фурье,∞∑︁d() =d − ,d− = d* ,(14.52)=−∞где последнее равенство следует из того факта, что d() есть действительнаяфункция. Поэтому зависящие от времени компоненты даютd() =∞∑︁{d −=1+d* }=∞∑︁{2 cos()·Re d −2 sin()·Im d }.=1(14.53)При усреднении по времени cos() cos(′ ) = (1/2)′ и т. д., мы получаем|d()|2 = 4∞ {︁}︁∑︁(Re d )2 cos2 () + (Im d )2 sin2 ()=1∞∞∑︁∑︁{︀}︀22=2(Re d ) + (Im d ) = 2|d |2 .=1(14.54)=1В классическом пределе матричные элементы d переходят в фурьекомпоненты (I.15.80) d классической функции d(), и мы приходим крезультату (14.50) — только одна гармоника из суммы (14.54) даёт вклад вданный переход.Величина, обратная вероятности перехода в единицу времени, определяет время жизни возбуждённого состояния по отношению к спонтанному14.7.
Правила отбора и примеры387дипольному переходу → : = (˙ )−1 =13~3|d |−2 .= /(~)4 3(14.55)Для оптических переходов в атомах, ∼ / ∼ , и с оценкой матричных элементов |d|2 ∼ 2 2 мы получаем˙ ∼3|d|2 ∼ ()2 ∼ 3 ,~3∼1.3(14.56)Используя ∼ 1015 s−1 , мы находим ˙ ∼ 10(9÷8) с−1 и ∼ 10−(8÷9) с. Длянизколежащих ядерных возбуждений ∼ 1 MэВ, ∼ 1021 с−1 , ˙ ∼ 1015с−1 , ∼ 10−15 с.Задача 14.8Вычислить интенсивность спонтанного электрического квадрупольного(E2) и магнитно-дипольного (M1) излучения и сравнить с классическимирезультатами [1, § 71].14.7. Правила отбора и примерыОптические спектры атомов создаются переходами внешних электронов.Для них ∼ ≪ 1 и наиболее вероятны дипольные переходы с изменением чётности (правило Лапорта). В лёгких атомах спин-орбитальнаясвязь слаба, и спектры можно классифицировать по -связи (разд.
8.4),когда и являются хорошими квантовыми числами стационарных состояний. Дипольный оператор, как и любой электрический мультиполь, недействует на спиновые переменные, что даёт правило отбора Δ = 0. Мыможем теперь сформулировать правила отбора для E-переходов, которыесправедливы, если возможно пренебречь спин-орбитальной связьюΠ Π = (−) ,Δ = 0,| − | 6 6 + ,| − | 6 6 + .(14.57)Существование тонкой структуры проявляется в расщеплении спектральных линий. В водородоподобных атомах, в пренебрежении сверхтонкой структурой, полный угловой момент обеспечивается электронами, J = j = ⃗ℓ + s.
Поэтому для дипольных («разрешённых ») переходов,Δ = 0, ±1 и Δℓ = ±1; здесь чётность Π = (−)ℓ изменяется, Π Π = −1, и388Глава 14 Излучение и поглощение фотоновРис. 14.3. Разрешённые и запрещённые дипольные переходы → ′ переходы с Δℓ = 0 невозможны; рис. 14.3 показывает разрешённые переходы → ′ . Для серии Лаймана, → ′ = 1, разрешены два перехода,1/2 → 11/2 , и 3/2 → 11/2 . Поэтому все линии серии Лаймана — дублеты. Расстояние между компонентами дублета определяется расщеплениемверхнего -уровня, которое быстро падает с ростом (см.
разд. 8.3).Наибольшее расстояние имеет место для = 2 (лаймановская -линия вультрафиолете).Для серии Бальмера, → ′ = 2, конечными состояниями могут быть21/2 , 21/2 и 23/2 . Разрешены семь дипольных переходов: 1/2 → 21/2,3/2 ;1/2 → 21/2 ; 3/2 → 21/2 ; 3/2 → 21/2,3/2 ; 5/2 → 23/2 . На практике наиболее важной является так называемая -линия, = 3 → ′ = 2.Игнорируя лэмбовский сдвиг, мы имеем пять различных спектральныхлиний (рис. 14.4). Расщепление между верхними уровнями мало, и мы получаем две группы близких линий на расстоянии (23/2 ) − (21/2 ) ≈ 0, 36cм−1 . Этот бальмеровский дублет с почти одинаковым расщеплением длявсех начальных был открыт Майкельсоном в 1887 г.Тонкая структура спектров сложных атомов генерирует мультиплетыспектральных линий → . Более детальный анализ, основанный на величинах коэффициентов Клебша—Гордана, показывает, чтонаиболее интенсивными являются главные линии с Δ = Δ; остальныелинии называются сателлитами.
Из-за сверхтонкой структуры (см. разд.14.7. Правила отбора и примеры389Рис. 14.4. Разрешённые дипольные переходы для = 3 → ′ = 28.6) единственным точным правилом отбора остаётся правило отбора пополному моменту атома F = J + I:| − | 6 6 + .(14.58)Тем не менее, в силу слабости сверхтонкого взаимодействия, чисто электронные правила отбора выполняются с высокой точностью. Дипольныепереходы между уровнями тонкой или сверхтонкой структуры одного электронного терма запрещены, так как все эти уровни имеют одинаковуючётность.Для атомных переходов между далеко раздвинутыми уровнями (разностьэнергий Δ порядка энергии связи ), вероятности E2- и M1-переходовоказываются одного порядка величины.
Для меньших частот, Δ ≪ ,параметр уменьшается, в то время как / остаётся того же порядка; тогда M1-переходы становятся более вероятными, чем E2, например,между компонентами тонкой структуры данного электронного терма. Соператором магнитного момента атомных электронов^ + 2S)^ = (J^ + S),^ = (L(14.59)390Глава 14 Излучение и поглощение фотонов^ поскольку J^ сохраняется, коM1-переходы индуцируются оператором S,гда не учитывается сверхтонкое взаимодействие. В -схеме состоянияхарактеризуются квантовыми числами , и , которые не меняютсяпод действием оператора . Только может измениться, и мы получаемправило отбора для M1-переходов: = ,Δ = Δ = ΔΠ = 0, = , ± 1.(14.60)M1-переходы возможны также между компонентами тонкой структурыданного терма, в то время как E2-переходы здесь практически невероятны из-за очень низкой частоты, см.
(14.42). Здесь излучение идёт вмикроволновом диапазоне.Задача 14.9В результате лэмбовского сдвига (см. раздел 13.8.) электронный 2уровень в атоме водорода лежит выше, чем 21/2 -уровень. Оценить вероятность перехода 2 → 21/2 .РешениеИз-за малой выделяемой энергии вероятность спонтанного 2 → 21/2дипольного излучения очень мала; она соответствует времени жизни приблизительно 20 лет.Время жизни метастабильного 21/2 -состояния в атоме водорода действительно аномально велико [20].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
