1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 58
Текст из файла (страница 58)
(15.5)Это приводит к дисперсии света аналогично расплыванию квантовоговолнового пакета (I.5.5). В зависимости от знака величины /, говорят о положительной (/ < 0, g > ph ) или отрицательной(/ > 0, g < ph ) дисперсии. В общем случае восприимчивость является комплексной величиной. Мнимая часть () отвечает за затуханиеволны в среде:(−) ⇒ [(/)−] = (/) Re −−(/) Im .(15.6)Нашей задачей является квантовое описание этой физики, которое позволит вычислять характеристики среды, такие как () и (), в терминахатомных и молекулярных свойств.15.2.
Линейный отклик39915.2. Линейный откликВ длинноволновом приближении гамильтониан возмущения может бытьзаписан (задача 14.1) в виде(︁)︁^ ,^ ′ = − ℰ () · d(15.7)^ — оператор дипольного момента атома, а ℰ () — классическое внешнеегде dполе (15.1). Теория линейного отклика может быть развита для любого^ где () — слабое внешнее поле (в теории возмувозмущения в виде (),щений все фурье-компоненты независимы, и, таким образом, достаточно^ — некоторый оператор системырассмотреть монохроматическое поле) и (не являющийся интегралом движения).Удобно модифицировать монохроматическую временную зависимость(15.1) в предположении, что поле медленно (адиабатически) включалось вудаленном прошлом, при → −∞.
Это допущение позволит нам избежатьрассмотрения реальных переходов, связанных с резким возникновениемполя в начальный момент времени, и позволит изучить стационарныйслучай. Для этого добавим множитель адиабатической эволюции^′ ⇒ ^ ′ , → −∞, → +0,(15.8)где — инфинитезимальная положительная величина, которую следуетположить равной нулю после всех вычислений наблюдаемых величин.
Когдавозможно, мы будем просто писать +0 вместо .Теперь используем обычную нестационарную теорию возмущений, описанную в разд. 10.2, для вектора состояния в присутствии поля (15.7),записывая вектор состояния в виде разложения по стационарным состояниям |⟩ невозмущенной системы с энергиями ∑︁|Ψ()⟩ = ()−(/~) .(15.9)Найдем коэффициенты для начального условия, отвечающего системе восновном состоянии |0⟩ при → −∞: () = −~∫︁−∞′′ 0 (′ )0 400Глава 15 Дисперсия и рассеяние света]︃[︃ℰ(+0 )−(−0 )= .(e · d0 )−2~ + 0 − 0 − 0 + 0(15.10)Зависящая от времени поляризация системы описывается средним зна^ в нестационарном состоянии (15.9).
В линейном причением оператора dближении по полю ℰ получим^⟨d()⟩ ≡ ⟨Ψ()|d|Ψ()⟩= d00 +∑︁ {︀}︀* ()0 d0 + ()−0 d0 .̸=0(15.11)Подставляя коэффициенты из (15.10), получим⟨d()⟩ = d00 −ℰ ∑︁2~̸=0{︂[︂]︂}︂−−d*0 (e · d0 ) + c.c. . − 0 + 0 + 0 − 0(15.12)Члены, пропорциональные ℰ, представляют собой квантовый аналог классических вынужденных колебаний с частотой возмущения .По аналогии со статическим случаем (I.24.8) введем тензор динамическойполяризуемости, как зависящий от времени коэффициент пропорциональности между фурье-гармониками дипольного момента и электрическимполем (15.1)⟨ ⟩ = () ℰ .Отбирая члены ∝ −+ в (15.12), получим}︂{︂ℰ ∑︁ d*0 (e · d0 )d0 (e · d*0 )⟨d ⟩ = −−~ − 0 + 0 + 0 + 0(15.13)(15.14)̸=0и тензор поляризуемости{︃}︃ )* ( )*∑︁1(0 000−.
() = −~ − 0 + 0 + 0 + 0(15.15)̸=0Отметим свойства симметрии этого тензора (сравните с (9.8)):(︁)︁* () = (−) .(15.16)15.3. Принцип причинности401Такое же выражение с соответствующими заменами матричных элементовможет быть получено для поляризуемости системы в начальном состоянии|⟩, отличном от основного. Естественным обобщением является поляризуемость системы, находящейся в тепловом равновесии, когда необходимодобавить суммирование по начальным состояниям |⟩ c больцмановскимивесами (1/)− / (разд. 5.1).15.3.
Принцип причинностиЕсли частота не находится в резонансе с частотами переходов 0 ,можно пренебречь бесконечно малой добавкой 0 в знаменателях. Однаконеобходимо сохранять эту добавку в случае близости к резонансу. Этосвязано с физическим принципом причинности отклика.Пусть ̃︀ ( ) — зависящая от времени функция, для которой () является фурье-образом,∫︁ ̃︀ ( ) = ()− .(15.17)2Произведение (15.13) фурье-компонент в пространстве частот соответствуетсвертке функций во временной области∫︁ ∞⟨ ()⟩ =′ ̃︀ ( − ′ )ℰ (′ ).(15.18)−∞В соответствии с (15.18), ядро (̃︀ − ′ ) определяет влияние поля, прило′женного в момент времени , на отклик поляризации в момент времени .Как видно из (15.15), отклик системы состоит в виртуальном возбуждении 0 → и обратном переходе → 0, как и для переизлучения волныклассической антенной.
При виртуальных переходах (см. разд. I.5.10) энергия не сохраняется , Δ = − |0 | ≠ 0 на коротком временном интервале∼ ~/Δ. Для частот вблизи резонанса с частотой перехода 0 энергияпрактически сохраняется, что соответствует почти реальному переходуна массовой поверхности в долгоживущее промежуточное состояние. Этопроявляется в резонансном росте поляризуемости. Без мнимой добавки0 подынтегральное выражение в (15.17) не определено из-за сингулярностей в точках резонанса.
Добавление однозначно определяет значениеинтеграла посредством задания контура интегрирования в комплексной402Глава 15 Дисперсия и рассеяние светаРис. 15.1. Контуры интегрирования для < 0, сплошная дуга, и для > 0 —тонкая линия, для причинной восприимчивостиплоскости. Для ̸= 0 сингулярности в точках = ± 0 − (15.19)сдвигаются в нижнюю полуплоскость комплексной переменной . В верхней полуплоскости функция () аналитична.
При < 0 контур интегрирования в (15.17) может быть замкнут большой дугой в верхнейполуплоскости, поскольку подынтегральное выражение содержит−(Re +Im ) ∝ −Im | | , = −| | < 0,(15.20)которое экспоненциально падает на большой полуокружности с Im > 0.Вследствие аналитичности () имеем(̃︀ ) = 0, < 0.(15.21)Таким образом, в выражении (15.18) интегрирование производится только вобласти > ′ . Это означает, что поле ℰ(′ ) способно вызвать отклик средытолько для более поздних моментов времени, > ′ . Добавка +0, опреде-15.4.
Диэлектрическая проницаемость403ляющая правила обхода контура, отражает, следовательно, причинностьотклика.Как объяснялось в разделе (I.15.12), сингулярные знаменатели типа(15.15) должны пониматься как11= P.. ∓ (), ± → +0.(15.22)Разложение (15.22) разделяет виртуальные процессы вне массовой поверхности от реальных процессов на массовой поверхности, которые требуютсохранения энергии, выражаемого -функцией.15.4.
Диэлектрическая проницаемостьИспользуя правило (15.22), мы можем найти действительную и мнимуючасти поляризуемости (15.15). Предположим для простоты, что основноесостояние изотропно: () = ();(15.23)в более общем случае мы должны были бы построить тензорное разложение,подобно тому как мы делали это в (9.12.). (Добавочный вклад может бытьантисимметричен по индексам , , что приведёт к аксиальному вектору,как в разд. 1.9; подобные среды называют гиротропными.)В изотропном случае (15.23)(︂)︂1 ∑︁ 211() = −|0 |−.(15.24)~ − 0 + 0 + 0 + 0̸=0Разложение (15.22) даетRe () = −1 ∑︁ 220|0 | P.v.
22 ,~ − 0(15.25)̸=0Im () = ∑︁ 2|0 | ( − 0 ).~(15.26)̸=0Здесь мы приняли > 0 и предположили, что основное состояние невырождено, т. е. 0 > 0 и ( + 0 ) обращается в нуль при ̸= 0. Приненулевой температуре оба слагаемых в уравнении (15.24) будут даватьненулевой вклад, поскольку будут возможны также и переходы на более404Глава 15 Дисперсия и рассеяние светанизкие энергетические уровни вследствие тепловой заселённости возбужденных состояний.Каждый член в мнимой части (15.26) имеет простой смысл, будучи пропорционален выражаемой «золотым правилом» вероятности перехода вединицу времени для реального дипольного возбуждения 0 → вследствие возмущения (15.7). Диэлектрическая проницаемость может бытьопределена как() = 1 + 4 (),(15.27)где — количество атомов в единице объема.
Легко увидеть, что этосовпадает со стандартным макроскопическим определением [5, § 77] связи = ℰℰ = ℰ + 4(15.28)между напряженностью электрического поля ℰ , электрической индукцией и поляризацией единицы объема в среде слабо взаимодействующихатомов (например, газ).
Поскольку мы не определили, что является источником электрического поля в гамильтониане возмущения (15.7), предположим,что ℰ — это результирующее электрическое поле, действующее в системе,и отождествим его с макроскопическим полем в (15.28). Как следует из(15.26), Im > 0. Следовательно, Im тоже положительно и, учитываяопределение (15.2), Im > 0. Таким образом, в соответствии с (15.6), волна,распространяющаяся в среде, постепенно затухает.
Квантовое рассмотрениепоказывает, что причиной затухания волны являются потери энергии нарезонансное возбуждение атомов.Можно переписать действительную часть (15.25) в терминах сил осцилляторов 0 (14.29):Re () = −2 ∑︁02 , 2 − 0(15.29)̸=0где мы полагаем, что дипольные моменты создаются электронами (массы) и сингулярности следует рассматривать в смысле главного значения.Это выражение в точности совпадает по форме с поляризуемостью в классической электронной теории, где 0 — собственные частоты атомныхосцилляторов, а 0 — их эмпирические «силы» (отсюда происхождениеэтого термина). В пределе частот, много больших атомных, применяя15.4.
Диэлектрическая проницаемость405правило сумм ТРК (14.29), получаем:Re () → −2 ∑︁2=−,0 2 2(15.30)̸=0где — число электронов на один атом. В этом пределе справедливо классическое решение для свободных зарядов, как и должно быть для электроновпри таких больших частотах, когда можно пренебречь связью электроновв атоме.Для диэлектрической проницаемости (15.27) получаем из (15.29):Re () = 1 + 4 Re () = 1 −4 2 ∑︁02 ,2 − 0(15.31)̸=0что в пределе больших частот (15.30) даетRe () → 1 −024 2≡1−. 22(15.32)Мы пришли к классическому выражению для диэлектрической проницаемости электронного газа, где02 =42(15.33)— плазменная частота, = — полная плотность электронов. Здесьнеявно предполагается присутствие компенсирующего ионного фона, который обеспечивает электростатическую стабильность всей системы.В действительности полученные выражения (15.30) и (15.32) справедливыдля любых систем в приближении → ∞ [5], § 59 (все еще предполагается,что частоты нерелятивистские).√︀ Для больших показатель преломления√среды = ведет себя как 1 − 02 / 2 .
Мнимое выражение при < 0соответствует полному отражению света средой. При > 0 коэффициентпреломления действителен, что согласуется с ультрафиолетовой прозрачностью металлов, для которой модель свободных электронов может бытькачественно применима.Обратный предельный случай может быть получен из (15.15) и (15.24)при → 0. Результат для статического случая ( = 0) естественнымобразом совпадает с полученным в разд. 9.1. В этом случае диэлектрическая406Глава 15 Дисперсия и рассеяние светапроницаемость равна(0) = 1 +4 2 ∑︁ 02 .0(15.34)̸=0Среда, состоящая из слабо взаимодействующих атомов, приобретает свойства диэлектрика (0) > 0.
Для плотных сред рассмотрение, основанноена (15.27), уже неприменимо, поскольку нельзя просто складывать поляризуемости отдельных атомов. Локальное поле в среде отличается отмакроскопического вследствие наличия поля поляризованных атомов. Подобные коллективные эффекты могут также приводить к пространственнойнеоднородности системы. Например, свободно перемещающиеся зарядымогут экранировать внешний источник поля, как в задаче I.1.8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
