1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Во многихподобных случаях, кроме зависимости (), необходимо также учитыватьзависимость (k) — пространственную дисперсию диэлектрической проницаемости [5, § 103].15.5. Дисперсионные свойстваВернемся к рассмотрению системы слабо взаимодействующих атомов иболее внимательно исследуем зависимость от частоты. Типичное поведение вещественной части (15.31) показано сплошными линиями на рис.
15.2.Вблизи каждой резонансной частоты 0 , где функция () сингулярна,имеется область аномальной дисперсии. Среда прозрачна вплоть до частоты = 0 . При > 0 вещественная часть Re () отрицательна — средастановится непроницаемой (полное отражение). На рис. 15.2 дисперсиявсегда положительна, / > 0. Отрицательная дисперсия могла бы бытьвозможна, если бы атомы были в возбужденных состояниях, к примерув тепловом равновесии. В таком случае сила осциллятора (14.27) дляперехода в основное состояние отрицательна.Подобная картина неверна в непосредственной близости к резонансу.Здесь неизбежно присутствует затухание волны вследствие реальных переходов (15.26). В действительности для поглощения точное равенство = 0 не является необходимым. Как обсуждалось в разд.
14.2, возбуждённые состояния |⟩ обладают |⟩ естественной шириной Γ = ~ . Принимая это во внимание, мы должны произвести замену 0 → 0 − (/2) .Для конечных мы можем игнорировать → +0, и > 0 обеспечит15.5. Дисперсионные свойства407Рис. 15.2. Вещественная часть диэлектрической функции в резонансной областисоблюдение причинности. Вместо (15.29) получим() =2 ∑︁0.[0 − (/2) ]2 − 2(15.35)̸=0Если ширина мала, мы можем произвести дальнейшее разложение, сохраняя в знаменателе только линейные по члены:() ≈2 ∑︁0.20 − 2 − 0 (15.36)̸=0В таком случае вещественная часть (15.31) диэлектрической функциипримет вид:Re = 1 +2 − 2 )4 2 ∑︁(002 − 2 )2 + 2 2 .(00 (15.37)̸=0В отличие от (15.31), Re не обращается в бесконечность, хотя имеет пикширины ∼ вблизи резонансной области (см.
рис. 15.3).408Глава 15 Дисперсия и рассеяние светаРис. 15.3. Диэлектрическая проницаемость в резонансной области с учетом шириныЗаметное поглощение имеется в области ширины ∼ Im = 4 Im =4 2 ∑︁0 022 2 .(0 − 2 )2 + 0(15.38)̸=0В пределе исчезающе малых ширин , в силу (15.22) данное выражениепредсказывает набор бесконечно узких линий поглощения, соответствующих резонансным частотам.В непосредственной близости к резонансу преобладает один член суммы(15.38):Im ( → 0 ) ≈20 0 2 [( − )2 + 2 /4] , 400(15.39)или, с учетом явной формы силы осциллятора (14.27),Im ( → 0 ) ≈|0 |2 .2~2 [( − 0 )2 + 2 /4](15.40)Сравнивая данное выражение с сечением (14.19), полученным в дипольномприближении, мы видим, что сечение фотопоглощения системой атомовопределяется мнимой частью поляризуемости (например, для света, поля-15.6.
Квантовое затухание409ризованного вдоль оси ):abs (0 → ) =4 2 |0 |24=Im ( → 0 ). (15.41)222 ( − 0 ) + /4Данное выражение является одной из форм оптической теоремы, описанной в разд. 8.8.Задача 15.1Установите классический смысл оптической теоремы (сохранение светового потока).15.6. Квантовое затуханиеБолее точный вывод появления ширин в теории линейного отклика можнопровести, вернувшись к общему подходу (1.9) для описания нестационарныхвозмущений (теория квантового затухания, В.
Вайскопф, Е. Вигнер, 1930 ).Проиллюстрируем данный подход в простейшем случае, справедливомвблизи узкого резонанса.Амплитуда () обнаружения системы в нестабильном возбужденномсостоянии |⟩ уменьшается со временем как () = (0)−(1/2) (15.42)(за исключением короткого начального интервала, разд.
I.7.8). Тогда амплитуда 0 () основного состояния (или другого состояния, связанного ссостоянием |⟩ через излучение фотона) определяется выражением (1.9).Так как энергия основного состояния + фотон равна 0 + ~, по теориивозмущений получим^ ′ |⟩(/~)(0 +~− ) () = ⟨0|^ ′ |⟩(−0 + /2) (0). (15.43)~˙0 = ⟨0|Учитывая начальные условия (0) = 1 и 0 (0) = 0,^ ′ |⟩0 () = ⟨0|1 − (−0 )− /2.~( − 0 + /2)(15.44)410Глава 15 Дисперсия и рассеяние светаВероятность излучения в интервале на больших временах (бо́льшихчем время жизни 1/ ) описывается выражением0 =^ ′ |⟩|2|⟨0|.~2 [( − 0 )2 + 2 /4](15.45)При суммировании по поляризациям фотона и интегрированиипо плотно∫︀сти конечных состояний (помеченных ниже как ) мы можем использоватьстандартное золотое правило для скорости перехода (2.6), которое определяет ширину как полную вероятность распада в единицу времени:∫︁2^ ′ |⟩|2 .
= 2|⟨0|(15.46)~В конечном итоге получим вероятность (15.45) в виде0 =1,2 ( − 0 )2 + 2 /4(15.47)где -функция сохранения энергии заменена функцией Лорентца. Еслиу состояния |⟩ есть другие каналы распада, то знаменатель в (15.47)должен содержать полную ширину, тогда как числитель представляетсобой парциальную ширину →0 , соответствующую излучению |⟩ → |0⟩.Задача 15.2Покажите, что для перехода между состояниями |′ ⟩ и |⟩, имеющимиширины ′ и соответственно, в том же приближении теории затуханияформа спектральной линии для перехода ′ → дается выражением (15.47)с заменой → + ′ , как это предполагалось в (14.20).РешениеПусть ширина обусловлена резонансным переходом в основное состояние |0⟩ с частотой ′ ≈ 0 .
Тогда, по теории возмущений, аналогично(15.47), для двойного перехода ′ → → 0 получим =1′ ′ . (15.48)24′22(2) ~ [( − 0 ) + /4][( + ′ − ′ 0 )2 + 2′ /4]Теперь проинтегрируем по ′ , например, замыкая контур в верхней полуплоскости комплексной переменной ′ и суммируя вычеты при ′ =0 + /2 и ′ = ′ 0 − + ′ /2. Результатом свертки двух функций15.7. Дисперсионные соотношения411Лорентца будет функция Лорентца с суммарной шириной = + ′1.2 ( − ′ )2 + (′ + )2 /4(15.49)15.7.
Дисперсионные соотношенияПринцип причинности математически основывается на аналитичностивосприимчивостей, таких как динамическая поляризуемость (), в верхнейполуплоскости комплексной частоты. Из этого свойства вытекают важныесоотношения между вещественной и мнимой частями функции отклика.Применяя тождество (15.22) к поляризуемости, получим∫︁ ∞∫︁ ∞( ′ )( ′ )′ ′= P.v. ′ ′− ().(15.50) − + 0 −−∞−∞С другой стороны, интеграл (15.50) равен нулю. Действительно, мы можемзамкнуть контур интегрирования большой дугой в верхней полуплоскости,так как вдоль этой дуги вклад в интеграл обращается в нуль вследствиебыстрого уменьшения поляризуемости (15.30) на больших частотах. Внутри полученного таким образом контура подынтегральное выражение неимеет сингулярностей – в соответствии с (15.24) полюсы поляризуемостирасположены в нижней полуплоскости.
Здесь мы видим важность причинного адиабатического включения поля. Таким образом, выражение (15.50)показывает, что∫︁ ∞( ′ )() = − P.v. ′ ′.(15.51) −∞ −Разделяя вещественную и мнимую части, мы приходим к дисперсионнымсоотношениям Крамерса—Кронига:∫︁1 ∞Im ( ′ )Re () = P.v. ′ ′,(15.52) −∞ −∫︁1 ∞Re ( ′ )Im () = −P.v. ′ ′.(15.53) −∞ −Несложно явным образом убедиться, что функция (15.24) удовлетворяетдисперсионным соотношениям.412Глава 15 Дисперсия и рассеяние светаЗадача 15.3Соотношения (15.52) и (15.53) совместимы, только если∫︁ ∞ ′P.v.= 2 ( − ′′ ).′′′′−∞ ( − )( − )(15.54)Докажите это утверждение.Поскольку принцип причинности имеет очень общий характер, любаяфункция отклика должна удовлетворять дисперсионным соотношениям.Тем не менее их конкретный вид может изменяться в зависимости отасимптотического поведения восприимчивости при → ∞, как мы виделив доказательстве, рассмотренном выше.Задача 15.4Получите дисперсионные соотношения для диэлектрической функции идокажите, что∫︁ ∞ Im () = 02 ,(15.55)20где 0 — плазменная частота (15.33).15.8.
Описание рассеянияРассеяние света квантовой системой тесно связано с явлением дисперсии,рассмотренным выше. Можно интерпретировать рассеяние в терминах виртуального поглощения и излучения фотонов. В данном разделе нас большеинтересует рассеянная волна, нежели свойства отклика среды. Рассеянная(вторичная, переизлученная) волна в общем случае имеет параметры (частота, направление распространения, поляризация), отличные от первичнойволны. Рассеяние возможно также на свободной частице, когда реальноепоглощение запрещено законами сохранения.Процесс рассеяния включает как минимум два элементарных действия:поглощение первичного фотона (k, = , ) и излучение вторичного(k′ , ′ = ′ , ′ ).
Соответствующий матричный элемент содержит оператор^k , уничтожающий начальный фотон, и оператор рождения конечногофотона ^†′ k′ . Рассмотрение взаимодействия волны с атомами в рамках^ ′ ( см.теории возмущений требует второй порядок по гамильтониану 1′^ в (13.115). Матричный элемент второго порядка(13.113) и (13.114)) или 15.8. Описание рассеяния413Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
