1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 60
Текст из файла (страница 60)
15.4. Диаграммы второго порядка для процесса рассеяниядля перехода → , в соответствии с (11.16), включает прохождение черезпромежуточное виртуальное состояние (2) =′∑︁ ′ − ,(15.56)Здесь = + ~ – начальная энергия, а – полная энергия промежуточного состояния (система + фотоны).Начальное состояние содержит атом |⟩ и налетающий квант (k); конечное состояние содержит атом | ⟩ и квант (′ k′ ). Дважды действуя^ ′ , мы видим, что существуют два пути от начального к кооператором 1нечному состоянию (рис. 15.4).
Процесс a идет как поглощение начальногофотона с последующим излучением конечного фотона. Здесь промежуточное состояние не содержит фотонов, тогда как атом находится в состоянии()|⟩, так что = . Могут присутствовать фотоны – спектаторы, которые не меняют своего состояния и, таким образом, не меняют знаменатель(15.56). Во вкладе b атом сначала излучает конечный фотон, а затем поглощает начальный.
Здесь промежуточное состояние содержит атом |⟩ и()два фотона, = + ~ + ~ ′ . Теперь мы можем записать матричные√(,)элементы как = (2~2 )/[ ′ ], , где∑︀′∑︁ ⟨ | ∑︀ ( / )(e′* · p^ )(k·r ) |⟩^ )−(k ·r ) |⟩⟨| ( / )(e · p = + ~ − (15.57)и∑︀′′∑︁ ⟨ | ∑︀ ( / )(e · p^ )−(k ·r ) |⟩^ )(k ·r ) |⟩⟨| ( / )(e′* · p =.′)+~−(+~+~414Глава 15 Дисперсия и рассеяние света(15.58)Сумма этих вкладов описывается выражением(1)()() = + =(︁ =2 ∑︁ ∑︁√( + ), ′ )︁ (︁)︁′−(k ·r ) (^p · e′* )(k·r ) (^p · e) − (︁)︁ (︁)︁′(k·r ) (^p · e)−(k ·r ) (^p · e′* ) = ′ + (15.59),(15.60).(15.61)Теперь мы должны вспомнить, что гамильтониан взаимодействия фотонов с веществом содержит также квадратичный по A член (13.114).
Так каклинейный по A член учтен во втором порядке, в таком же приближениимы должны включить вклад первого порядка от квадратичного члена.Соответствующий матричный элемент (см. рис. 13.2, c) равен⃒ ⟩⟨ ⃒⃒∑︁ (︂ )︂2⃒2~′⃒⃒(2)(e · e′* ) ⃒(15.62) = √(k−k )·r ⃒ .′⃒⃒ Полная амплитуда дается суммой (15.59) и (15.62). Здесь мы ограничимсяприближением больших длин волн (дипольное приближение) (в противном^ ′ ,случае следует также включить зависящий от спина магнитный член уравнение (13.115)). В дипольном приближении мы пренебрегаем неоднородностью поля волны на атомных размерах и берем все экспоненты вточке R центра атома.
Вклад (15.62) тогда существует лишь для процессакогерентного рассеяния без изменений в системе, = . Следовательно, вдипольном приближении мы получаем амплитуду рассеяния в виде(1)(2) = + =×∑︁ 2′√(k−k )·R× ′{︃∑︁ [︂ (^p · e′ * ) (^p · e) − }︃]︂(^p · e) (^p · e′* )−+ ~(e · e′* ) . ′ + (15.63)15.9. Сечение рассеяния415Вероятность рассеяния определяется золотым правилом˙ =2| |2 ( + ~ − − ~ ′ ) ~ ′~(15.64)с плотностью конечных состояний фотонов (11.49).15.9.
Сечение рассеянияДифференциальное сечение рассеяния в единичном телесном угле можетбыть получено из (15.64) интегрированием по энергиям конечных фотонови делением на плотность потока налетающих фотонов / (один фотон наобъем ): 2 ′2 2 ′2=| |2 3 3= 2 2 4 | |2 .~8 ~ 4 ~ (15.65)Преобразуем это выражение к общепринятой форме с помощью коммутатора[(^p · e′* ), (^r · e)] = ′* , ^ ] = −~ (e · e′* ). [^(15.66)(2)Используя (15.66), вклад в амплитуду (15.63) от может быть представлен в виде суммы по промежуточным состояниям)︁∑︁(︁~ (e · e′* ) = (p · e′* ) (r · e) − (r · e) (p · e′* ) . (15.67)Если мы подставим данное выражение вместо последнего члена в уравнение(15.63) и, предполагая отсутствие сил, зависящих от скорости, введемс∑︀помощью (14.25) матричные элементы дипольного момента d = r ,то амплитуду можно преобразовать к виду =)︁∑︁(︁2′√(k−k )·R + , ′)︂ = (d · e )(d · e) −1 −, − (︂)︂ ′* = (d · e)(d · e ) +1 .
′ + ′*(15.68)(︂(15.69)(15.70)416Глава 15 Дисперсия и рассеяние светаМожно добиться дальнейшего упрощения, используя сохранение энергии(имея в виду, что матричный элемент будет умножаться на -функцию отэнергии): = − ′ .Применяя (15.71), находим)︂(︂= − = −1 − − − )︂(︂)︂(︂ − ′−1= − 1 += − − и(︂)︂ + ′ 1 + ′= ′= + + )︂(︂)︂(︂′′′= − ′+1 .= ( + ) 1 − ′ + + (15.71)(15.72)(15.73)Следовательно, выражения (15.69) и (15.70) преобразуются к виду[︂]︂′*(d · e)(d · e′* )′ (d · e )(d · e) = −,(15.74) − ′ + [︀]︀ = − (d · e′* )(d · e) − (d · e)(d · e′* ) .(15.75)Но вклад от (15.75) исчезает, поскольку сводится к коммутатору:∑︁ [︀]︀^ · e′* ), (d · e)]|⟩ = 0.(d · e′* )(d · e) − (d · e)(d · e′* ) = ⟨ |[(d(15.76)В конечном итоге на энергетической поверхности (15.71) [︂]︂2 √ ′ (k−k′ )·R ∑︁ (d · e′* )(d · e) (d · e)(d · e′* ) −.= − ′ + (15.77)15.10.
Когерентное рассеяние417Задача 15.5Получите такой же результат (15.77), с самого начала используя дипольный гамильтониан (14.27).Теперь сечение (15.65) дается дисперсионной формулой Крамерса—Гейзенберга, 1925,⃒]︂⃒2[︂ ′3 ⃒⃒∑︁ (d · e′* )(d · e) (d · e)(d · e′* ) ⃒⃒= 2 4⃒−⃒ . (15.78)⃒~ ⃒ − ′ + Этот результат справедлив для рассеяния в оптическом и ультрафиолетовом диапазонах и для мягких рентгеновских лучей, когда ~ < 2 иможно пренебречь релятивистскими эффектами, а длина волны начального и конечного фотонов больше атомных размеров. Как известно изтеории дисперсии, подход теории возмущений в подобном виде справедливтолько для частот, далеких от резонанса; иначе необходимо учитыватьестественную ширину квазистационарных состояний.15.10. Когерентное рассеяниеВ случае когерентного (упругого, несмещенного) рассеяния атомы остаются в начальном состоянии = и частота фотона не изменяется, ′ = .Дисперсионная формула дает⃒[︂]︂⃒2 4 ⃒⃒∑︁ (d · e′* )(d · e) (d · e)((d · e′* ) ⃒⃒(15.79)= 2 4⃒−⃒ .⃒~ ⃒ − ′ + Сравнение с выражением (15.15) показывает, что сечение когерентногорассеяния полностью определяется тензором поляризуемости в данномсостоянии |⟩:42= 4 | ′* ()| ,(15.80)или, для изотропного состояния |⟩, в соответствии с (15.23),4= 4 |()|2 (e · e′* )2 .(15.81)Этот результат имеет классический вид: наведенный дипольный момент ра⃗ а сечение пропорционально |d̈|2 ∝ 4 ||2 .
Квантовые свойствавен d = ℰ,418Глава 15 Дисперсия и рассеяние светасконцентрированы в поляризуемости, определяемой квантовой структуройатомов.Если частота велика по сравнению с атомными частотами (но длинаволны все еще больше размеров атома), то рассеяние происходит такимже образом, как на свободных зарядах. Используя асимптотическое значение поляризуемости (15.30), мы приходим к результату классическойэлектронной теории [1, § 78], томсоновскому рассеянию,(︂)︂→∞4→ 4(︂2 2)︂2(e · e′* )2 = 2 02 (e · e′* )2 ,(15.82)где введен классический радиус частицы (I.1.40).
Возвращаясь к начальному матричному элементу (15.63), видим, что рассеяние на свободных^ ′ , посколькузарядах полностью определяется квадратичным членом 2выражение в квадратных скобках в (15.63) обращается в нуль в пределе → ∞.Для описания упругого рассеяния можно ввести амплитуду рассеяния ,которая зависит от угла рассеяния и поляризации начального и рассеянногофотонов.
Амплитуда рассеяния имеет размерность длины и нормированатаким образом, что дифференциальное сечение упругого рассеяния равно= | |2 .(15.83)Уравнение (15.81) показывает, что для изотропной системы=2()(e · e′* ).2(15.84)15.11. Резонансная флуоресценцияПри приближении к резонансу, → , сечение (15.78) неограниченнорастет. Как и при рассмотрении эффектов дисперсии, неограниченныйрост происходит из-за того, что мы пренебрегли затуханием возбужденныхатомных состояний.Вблизи резонанса необходимо учесть естественную ширину линии.
Этогоможно достичь заменой → − (~/2) . Основной (резонансный) член15.11. Резонансная флуоресценцияв дисперсионной формуле принимает тогда вид⃒⃒2(︂)︂⃒ ′3 ⃒⃒∑︁1⃒= 2 4 ⃒ (d · e′* )(d · e)⃒,⃒ ( − )2 + 2 /4 res~ ⃒419(15.85)∑︀где означает суммирование по всем состояниям с энергией резонанса , например по проекциям полного углового момента, если ≠ 0. Формалинии, предсказанная в (15.85), совпадает с формой в процессе спонтанногоизлучения фотона энергии возбужденным атомом в состоянии |⟩, есливозможно пренебречь шириной состояния |⟩.
Результат (15.85) применимв случае широкого разброса по частоте падающей волны, который долженпревысить ширину . Для падающей волны с очень узким разбросомчастот линия рассеяния будет более узкой, чем естественная ширина, есливспомнить наши качественные рассуждения в разд. I.5.8 и I.5.9. Там жемы обсуждали возможность резонансной флуоресценции атомов и ядер всвязи с эффектом Мёссбауэра.Наглядное представление процесса (см. рис.
15.4) изображает резонансноевозбуждение промежуточного состояния |⟩ и спонтанное снятие возбуждения. Полностью когерентный процесс резонансной флуоресценции, когда = , ′ = и e′ = e, может быть связан с интенсивностью спонтанногоизлучения (14.48) или с естественной шириной промежуточного состояния и его средним временем жизни : =14 3=|d |2 .=~3~3(15.86)В эксперименте без регистрации поляризации света и проекций угловогомомента атомов среды наблюдаемое сечение должно быть усреднено поэтим параметрам начального состояния электромагнитного поля и атомов,а так же просуммировано по конечным параметрам.Задача 15.6Покажите, что сечение резонансной флуоресценции, определенное описанным способом и проинтегрированное по направлениям k′ конечногофотона, равноres =где = /.2 + 1 2,2(2 + 1) 2 ( − )2 + 2 /4(15.87)420Глава 15 Дисперсия и рассеяние светаВ соответствии с (15.87), сечение непосредственно в резонансеres =2 + 1 42(2 + 1) 2(15.88)по порядку величины равно квадрату длины волны фотона и не зависитот особенностей системы.
Как мы увидим в гл. III.4, это максимальновозможное квантовое сечение рассеяния.Взаимосвязь (15.81) между сечением рассеяния и поляризуемостью ()верна так же и в присутствии резонансов. Однако поляризуемость, наряду самплитудой (15.84), становится тогда комплексной. В то же время мнимаячасть () определяет реальное поглощение света системой. Сравнение(15.84) и (15.41) демонстрирует примечательную связь между поглощениемфотонов, которое дается полным сечением всех процессов ослабленияпадающего пучка, и мнимой частью упругой амплитуды для излучениявперед без изменения характеристик фотона, e′ = e,=4Im .(15.89)Мы вернёмся к этой оптической теореме в общем рассмотрении (гл.
III.4)задачи рассеяния с точки зрения квантовой унитарности.15.12. Рассеяние на многих центрахСостояние с определенным числом фотонов, такое как наш одиночныйрассеянный фотон, не отвечает колебаниям с определенной фазой. Состоянием с определённой фазой является когерентное состояние (гл. I.12.4),которое не обладает фиксированным числом квантов. Тем не менее, в присутствии нескольких центров рассеяния разность фаз волн, рассеянных наразных центрах, может принимать определенные значения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
