1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Длинноволновый предел377или, для системы частиц с тем же отношением /4 2 () = 2 ⃒ ⟩⃒2⃒⟨ ⃒⃒ ⃒⃒⃒∑︁⃒ ⃒⃒⃒(k·r )^(e·p)⃒⃒ ⃒ ⃒ ( − ),k⃒ ⃒⃒⃒(14.19)где = 2 /~. Для частиц со спином нужно таким же образом включитьвзаимодействие (13.115) с магнитным полем волны.Эти результаты отвечают бесконечно узкой линии поглощения. Но мызнаем, что в действительности возбуждённое состояние | ⟩ только квазистационарно (см. разд.
I.9.12); оно имеет конечное время жизни и, следовательно, неопределённость энергии — конечную ширину Γ. Если падающаяволна имеет энергетический разброс Δ > Γ, она может возбудить все монохроматические компоненты состояния | ⟩ с сохранением энергии внутринеопределённости. В стандартном приближении экспоненциального распада (см. разд. I.5.8) мы должны заменить ( − ) на резонансную кривуюЛорентца( − ) ⇒1,2 ( − )2 + 2 /4=Γ + Γ.~(14.20)Здесь мы учли также возможную конечную ширину Γ начального состояния. При → 0 мы приходим обратно к ( − ). Таким образом, мыимеем естественную форму линии поглощения4 2 () =~⃒⟨ ⃒⃒ ⟩⃒2⃒⃒∑︁ ⃒ ⃒ 1⃒⃒⃒ ⃒ (k·r )^ )⃒ ⃒(ek · p.⃒ ⃒⃒⃒ ⃒ ⃒ 2 ( − )2 + 2 /4(14.21)Если, как это часто случается, матричный элемент в (14.21) есть плавнаяфункция частоты , т.
е. приближённо константа внутри ширины линии ,мы можем найти интегральное сечение⃒⟨ ⃒⃒ ⟩⃒2∫︁⃒∑︁ ⃒ ⃒4 2 ⃒⃒⃒⃒ ⃒ (k·r )^ )⃒ ⃒ .(14.22) () =(ek · p⃒ ⃒⃒⃒ ⃒~ ⃒14.3. Длинноволновый пределДля нерелятивистской системы частиц в связанном состоянии разностифаз для разных частиц в экспоненте матричного элемента, как правило,378Глава 14 Излучение и поглощение фотоновнебольшие.
Это следует из простой цепи приближённых оценок, где естьразмер системы:(k · r ) ∼ =2 ~∼∼∼ .~~ (14.23)Поэтому для нерелятивистских систем, ≪ 1, размер, как правило, малпо сравнению с длиной волны излучения. В атомах, за исключением самыхтяжёлых, ∼ / ∼ ≪ 1. Неравенство ≪ 1 также справедливодля большинства возбужденных ядерных уровней.Пользуясь тем, что exp((k · r )) ≈ 1, мы упрощаем интегральное сечение(14.22) до∫︁4 2 () =~ ⃒⟨ ⃒⃒ ⟩⃒2⃒⃒⃒ ⃒∑︁ ⃒⃒⃒ ⃒^ )⃒ ⃒ .p⃒ ⃒(ek ·⃒⃒⃒ ⃒(14.24)В этом приближении вклады всех частиц когерентны, они излучают ипоглощают свет как целое.
Если силы внутри системы зависят толькоот координат частиц, ^r не коммутируют только с оператором кинетической энергии, и уравнение движения (I.7.89) устанавливает связь междунедиагональными матричными элементами,(^p ) = (^r ) .(14.25)Тогда сечение (14.24) определяется матричным элементом электрическогодипольного момента (6.63),∫︁ 4 2=~ ⃒ ⟩⃒2⃒⟨ ⃒⃒ ⃒⃒⃒∑︁4 2 ⃒⃒ ⃒⃒ r ⃒ ⃒ =|(ek ·d )|2 . (14.26)⃒ ⃒ek ·⃒ ⃒⃒⃒~Задача 14.1Показать, что результат (14.26) может быть получен из гамильтониана^′^ · ⃗ℰ)dip= −(d(14.27)для взаимодействия дипольного момента системы с электрическим полемволны (13.30), которое подразумевается однородным на размере системы.14.3.
Длинноволновый предел379Задача 14.2Вычислить интегральное сечение поглощения света линейным гармоническим осциллятором (с зарядом ) в -том стационарном состоянии, есливолна линейно поляризована под углом по отношению к оси колебаний.Решение∫︁2 ,+1 = 2 2cos2 ( + 1).(14.28)Для = 0 мы получаем классический результат [1].Переходы, генерируемые электрическим диполем, классифицируютсякак E1-переходы в терминологии разд.
6.6. Интенсивность дипольногоперехода часто выражается в терминах сил осцилляторов, определяемыхдля каждого перехода как⃒⃒2⃒2( − ) ⃒⃒∑︁⃒ =()(14.29)⃒⃒ ,2⃒⃒~где предполагается, что все частицы, обычно электроны в атоме или в молекуле, имеют одинаковый заряд. Для системы, находящейся первоначальнов основном состоянии, все силы осцилляторов положительны. Согласноправилу сумм ТРК (I.7.138), в отсутствие зависящих от скорости сил,∑︁ = ,(14.30)числу электронов в атоме. Отсюда мы находим полное интегральное сечениепоглощения (сумма по всем возможным переходам 0 → )∫︁∑︁ ∫︁2 2 2 = 0 =.(14.31)Этот результат совпадает с классическим пределом [1], будучи независящимот типа потенциальных взаимодействий внутри системы.Выражение (14.31) справедливо также для нейтральных атомов, если мыограничим сверху частоты света, чтобы избежать ядерных возбужденийи рождения новых частиц.
Если система не является электрически нейтральной, она будет двигаться в поле волны как целое, что соответствуетклассическому томсоновскому рассеянию [1, § 78]. Если мы интересуем-380Глава 14 Излучение и поглощение фотоновся только внутренними возбуждениями, мы должны отделить движениецентра масс. Это было сделано в задаче I.7.10 для атомного ядра, гдев результате появились эффективные заряды (I.7.141) для протонов инейтронов.Задача 14.3Полагая справедливым правило сумм ТРК, найти полное интегральноесечение дипольного фотопоглощения ядром с протонами и нейтронами;разностью масс протона и нейтрона пренебречь, ≈ ≡ .РешениеИспользуя эффективные заряды (I.7.141), мы находим часть ядерногосечения поглощения, обязанную внутренним возбуждениям:∫︁ exc =)︁ 2 2 2 ~ 2 2 ~ (︁ eff 22( ) +(eff)== 0.06MeV·барн,(14.32)где 1 барн=10−24 см2 — единица площади, принятая в ядерной физике.Таким образом, эффективная сила осциллятора для дипольных ядерныхпереходов равна /.
Движение ядра как целого (массы ( + ) ≡ )определяется вкладом центра масс, R, в дипольный момент, которыйдавал бы силу осциллятора (/)2 · = 2 /. С этой добавкой полнаясила осциллятора восстанавливается в согласии с (14.30)2+= .(14.33)В действительности нельзя считать реалистические ядерные взаимодействия не зависящими от скорости, как это предполагается в правиле суммТРК.Задача 14.4Предположим, что в дополнение к обычным силам, зависящим от координат, имеются обменные силы типа^exch = − (|r − r |)^ ,(14.34)где ^ — оператор, превращающий протон в нейтрон и наоборот без изменения пространственных и спиновых характеристик частиц (рис.
14.2).Показать, что этот вклад увеличивает (для сил отталкивания ( ) > 0)14.4. Высшие мультипольные переходы381Рис. 14.2. Пионный механизм возможного обменного взаимодействияправило сумм (14.30), которое для сферически симметричного состояния|⟩ становится⃒ ⟩}︁{︁∑︁ ⟨ ⃒⃒∑︁ 2⃒ = 1 + 2 ⃒ ( )^ ⃒ .(14.35)3~Здесь сумма идёт по всем нейтрон-протонным парам.14.4.
Высшие мультипольные переходыНесмотря на то что дипольное приближение предыдущего раздела справедливо в длинноволновом пределе, ≫ , для полного сечения фотопоглощения нерелятивистской системой, может оказаться, что для данногоперехода → дипольный матричный элемент d мал или равен нулюиз-за правил отбора по угловому моменту и чётности, см. разд. 7.5. Дипольный оператор не может вызвать переход между состояниями одинаковойчётности или с изменением углового момента Δ > 1. В этих случаях необходимо рассмотреть следующие члены разложения exp[(k · r )] в (14.22)по степеням .Линейные по члены в матричном элементе могут быть переписаныкак^ )(k · r) =(e · p(+ + − ),2(14.36)382Глава 14 Излучение и поглощение фотоновгде^ )(k · r) ± (e · r)(k · p^ ).± = (e · p(14.37)Используя уравнение движения (I.7.89), мы получаем+ = (e · ṙ)(k · r) + (e · r)(k · ṙ) = )︁ (︁(e · r)(k · r) .(14.38)Так как (e · k) = 0,+ = )︁ (︁1( ) = − 2 = ˙ , (14.39)33где — тензор электрического квадрупольного момента (1.130) даннойчастицы; суммируя по всем частицам, мы получаем полный квадрупольныймомент системы.
С использованием гейзенберговских уравнений движения^ соответствующий матричный элемент может быть представлен вдля виде1^ , ∘ ]) = − 1 ( ) .(+ ) = (˙ ) = ([266~6(14.40)Этот член ответственен за квадрупольные переходы.Задача 14.5Показать, что этот результат может быть выведен из взаимодействия^ ′ (9.32) квадрупольного момента системы с градиентами электрическогополя волны.Оператор − в уравнении (14.36) равен(︁)︁(︁)︁^ ] = ~ [k × e] · ℓ^ .− = [k × e] · [r × p(14.41)Вектор [k × e], согласно (13.31), определяет направление b магнитногополя падающей волны. Таким образом, − отвечает за взаимодействиеорбитального магнитного момента с магнитным полем~ ^− =(ℓ · b) = ~ ℓ (ℓ^ · b).22(14.42)14.5. Индуцированное и спонтанное излучение383Задача 14.6′Показать, что вместе со спиновым членом spin(13.110) результат (14.42)может быть выведен из взаимодействия′^magn= −( ^ · ℬ),^ = ~( ^s + ℓ ^ℓ),(14.43)полного магнитного момента частицы с магнитным полем волны (13.31) впредположении однородности поля на размере атома.Мы получили в одном приближении по отношению к параметру () ∼/, квадрупольные (E2) и магнитные дипольные (M1) переходы.
Этипереходы имеют вероятности в среднем на фактор ()2 ∼ (/)2 меньше,чем дипольные (E1) переходы. В общем случае высшие мультипольные(E) переходы и магнитные (M − 1) переходы имеют одинаковый порядоквеличины:(E) ∼ (M − 1) ∝ ()2(−1) (E1).(14.44)Магнитные мультиполи, по природе магнитного взаимодействия, содержат дополнительную степень / ∼ по сравнению с электрическимимультиполями. В ядрах специфические особенности структуры ведут кбольшому усилению Е2-переходов. Мы не будем здесь углубляться в деталимультипольного разложения, которое требует разложения фотонного поляпо сферическим волнам [8].14.5. Индуцированное и спонтанное излучениеМатричный элемент излучения фотона отвечает уменьшению энергииатома на = и увеличению фотонных чисел заполнения, k →k + 1. Соответствующий матричный элемент оператора рождения фотона√k + 1 порождает индуцированное (∝ k ) и спонтанное (не зависящееот числа имеющихся до акта излучения фотонов) излучения.Золотое правило определяет дифференциальную вероятность излученияв единицу времени, которая включает умножение на плотность состояний излучённого фотона (3.92) в элемент телесного угла ˙ 2= 2 2~ ⃒⟨ ⃒⃒ ⟩⃒2⃒ ⃒ 2~2⃒⃒∑︁ ⃒⃒⃒ ⃒ −(k·r ) *^(e·p)(k + 1) =⃒⃒ ⃒ ⃒k⃒⃒ ⃒ ⃒384Глава 14 Излучение и поглощение фотонов=2~3⃒⟨ ⃒⃒ ⟩⃒2⃒⃒∑︁ ⃒ ⃒⃒⃒⃒ ⃒ −(k·r ) *^ )⃒ ⃒ (k + 1).(ek · p⃒ ⃒⃒⃒ ⃒ ⃒(14.45)Как и должно быть, нормировочный объём исчез из ответа.
Интенсивность излучения (энергия в данной моде (k), излучённая в единицувремени в угол ), описывается выражениемk = ~ ˙ 2=23⃒⟨ ⃒⃒ ⟩⃒2⃒ ⃒⃒⃒∑︁ ⃒⃒ ⃒⃒ −(k·r ) *^ )⃒ ⃒ (k + 1).(ek · p⃒ ⃒⃒⃒ ⃒⃒(14.46)Если состояние поля не имеет определённого числа фотонов, то k должнобыть заменено на среднее значение ¯ k , как, например, в случае тепловогоравновесия (14.10).Задача 14.7Мы знаем (см. задачу 13.5), что фотон не может находиться в состояниис полным угловым моментом = 0. Поэтому сохранение углового моментазапрещает излучение одиночного фотона из = = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
