1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Формула суммирования Эйлера—Маклорена363Используя интегрирование по частям, мы можем записать∫︁∫︁ () ≡∫︁ 0 =[︁]︁ ∫︁ 1′ = 1 − 1 ′ .(13.87)Этот процесс можно продолжать, вовлекая новые функции (13.80):∫︁[︁′′′ = 1 − 2 + 3 − 4 ′′′]︁∫︁+ 4 ′′′′(13.88)и так далее. Рассмотрим интервал = 0 и = 1. Тогда первый вклад даёт[︁]︁1 11 = [ (1) + (0)],20(13.89)так что1∫︁0∫︁ 111 ′′′ () = [ (1)+ (0)]− [ ′ (1)− ′ (0)]+[ (1)− ′′′ (0)]+ 4 ′′′′ .212720(13.90)Если интервал интегрирования разделён на малые равные части, что обычно делается в процессе численного интегрирования, операцию (13.87) можнопроделать для каждой части, а затем сложить результаты. В членах спроизводными () все вклады в промежуточных точках сокращаются,потому что краевые значения опорных функций одинаковы для всех интервалов.
Если → ∞ и () пренебрежимо мала при больших , как этоимеет место в случае (13.77), мы идем через целые точки и получаем∫︁0∞∞∑︁111 ′′′ () = (0)+ ()+ ′ (0)− (0)+212720=1∫︁∞ 4 ′′′′ , (13.91)0или, если мы хотим приближённо заменить сумму интегралом,∞∑︁=1∫︁∞ () − () =011 ′1 ′′′ (0) − (0) + (0) . . .212720(13.92)Если остаточный интегральный член в (13.91) пренебрежимо мал, мыприходим к формуле Эйлера—Маклорена (13.78). Дальнейшее разложениепойдет по нечетным производным, и следующий член равен − ′′′′′ (0)/30240.364Глава 13 Фотоны13.8. Лэмбовский сдвигАтом водорода является единственной системой, для которой имеетсяточное решение нерелятивистского уравнения Шредингера, а также релятивистского уравнения Дирака (для точечного протона).
Здесь нельзясписать расхождение между теорией и экспериментом на приближенный характер вычислений. Надежно установленное расхождение свидетельствуето наличии новых физических явлений.Как мы знаем из разд. 8.3, электронные уровни 21/2 и 21/2 в атомеводорода остаются вырожденными даже с учетом тонкой структуры. Внекоторых экспериментах, проведенных в 1930-х годах, были обнаруженыуказания, что уровень 21/2 находится выше 21/2 примерно на 0,03 см−1 .Однако соответствующий переход находится в радиочастотном диапазоне.В то время точные измерения в этом диапазоне были недоступны.
Только в1947 году, после успехов в развитии техники радаров, точные радиоспектроскопические измерения Лэмба и Ризерфорда [73] установили существованиесдвига:2 ≡ (21/2 ) − (21/2 ) = 0, 034 см−1 = 1057, 8 МГц.(13.93)Этот сдвиг, равный примерно 0,1 от тонкого расщепления между 23/2 и21/2 уровнями, называется Лэмбовским, или радиационным сдвигом.
Онрастет ∝ 4 в более тяжелых водородоподобных ионах.Открытие лэмбовского сдвига сыграло исторически важную роль, являясь по сути первым указанием на нетривиальный характер физическоговакуума как фактического основного состояния поля излучения. В соответствии с объяснением, данным Г. Бете, лэмбовский сдвиг обусловленнулевыми колебаниями электромагнитного поля, которые создают, в дополнение к кулоновскому полю ядра, флуктуирующее поле, влияющее наатомный электрон. Физический вакуум (состояние без реальных квантов)имеет определенные наблюдаемые свойства, как мы уже видели, хотя и приналичии материи, в эффекте Казимира.
Открытие и теория лэмбовскогосдвига дали мощный импульс для развития квантовой электродинамики,наиболее точной ветви современной физики.Не вдаваясь в формализм квантовой электродинамики, мы приводимниже полукачественную оценку лэмбовского сдвига, непосредственно основанную на действии флуктуирующего электрического поля ℰ на электрон.Для легких атомов ≪ 1 и поэтому для нерелятивистских электронов/ ∼ и можно пренебречь магнитным полем ℬ . Квантованное элек-13.8. Лэмбовский сдвиг365трическое поле создает и уничтожает виртуальные фотоны и приводитк дополнительному смещению электронов.
Среднее значение электрического поля в вакуумном состоянии исчезает, но его средний квадрат, всоответствии с (13.30), равен2~,ℰ 2 ⟩ =⟨ℰ(13.94)ℰ 2 ⟩( /8) =что соответствует половине нулевой энергии данной моды ⟨ℰ~/4.Флуктуационное смещение электрона подчиняется уравнению движенияℰ.¨ = ℰ(13.95)Только моды с длиной волны больше, чем типичное смещение , ≪ 1,(13.96)могут дать существенный вклад.
В противном случае эффект от различныхобластей флуктуационного поля компенсируется. Поэтому поле ℰ в уравнении (13.95) можно считать однородным, и для временной компонентыФурье получаемℰ .− 2 = ℰ(13.97)Среднее значение смещения ⟨ ⟩ исчезает, и мы находим для среднегоквадрата флуктуации⟨ 2 ⟩ =22~22ℰ⟨ℰ⟩=.2 4 2 3(13.98)Вклады различных мод поля некогерентны, так что полный среднийквадрат смещения определяется суммой по модам с плотностью состояний(), найденной в т.
1, уравнение (3.92),∫︁∫︁∫︁22~2222 ⟨ ⟩ = ()⟨ ⟩ = ⟨ ⟩=.(13.99)2323 Хотя результат формально расходится, нет реальной физической расходимости, так как есть факторы, обеспечивающие фактическое обрезание.Большие частоты не дают вклада из-за релятивистского роста инерцииэлектронов. Частоты, малые по сравнению с энергией первого возбужде-366Глава 13 Фотоныния (которая того же порядка величины, что и энергия связи ), даютмалый вклад в теории возмущений. Поэтому мы можем оценить пределы винтеграле (13.99) как~max ∼ 2 ,~min ∼ ∼ ()2 2 .(13.100)Во всяком случае, интеграл (13.98) только сравнительно слабо, логарифмически, зависит от этих пределов.Таким образом,max2~22~2lnln,=2323 min ()2⟨ 2 ⟩ =(13.101)где — число порядка единицы. Основной фактор в полученной амплитудедрожания электрона мал по сравнению с размером орбиты и даже посравнению с комптоновской длиной волны 2~2⟨ ⟩ ∼ 2 3 ∼ ~2(︂~)︂2= 2 ∼ 3 2 ∼ 10−6 2 .(13.102)В соответствии с оценкой в max , только поля осцилляторов с ~ < или с длиной волны ∼ 1/ > ~/ = являются эффективными.
Этопоказывает, что предполагаемое неравенство (13.96) выполняется: ∼ 3/2 < 3/2 √ = ≪ 1.(13.103)Усредняя потенциал, действующий на электрон, по этим флуктуациям, мыполучаем, как и в разд. 8.3 для дарвиновского члена, (r + ) ≈ (r) +1 2 2⟨ ⟩ ∇ (r).6(13.104)В первом порядке сдвиг уровня |ℓ⟩ для водородоподобных атомов можноопределить с помощью (13.101): =1 23 2⟨ ⟩ ⟨∇2 (r)⟩ℓ =ln⟨∇2 (r)⟩ℓ .63()2(13.105)В кулоновском поле =−2∇2 = 42 (r),(13.106)13.9. Взаимодействие излучения с веществом367Рис. 13.1. Схема уровней для лэмбовского сдвигатак что∫︁2⟨∇ (r)⟩ℓ =3 |ℓ |2 ∇2 = 42 |ℓ (0)|2 .(13.107)В этом приближении сдвиг существует только для -состояний, которыесмещены вверх от партнерских -состояний (рис.
13.1).Для ℓ = 0|0 |2 =3,3 3(13.108)и сдвиг быстро убывает с ростом , =3 2 4 4 2ln,3 3 3()2(13.109)в частности, для атома водорода =4 3 2 13 2 2 ln 2 ∼ln 2 .3 (13.110)Этот сдвиг содержит лишнюю степень по сравнению с тонкой структурой(см. разд. 8.2), но из-за большого логарифма ln(−2 ) сдвиг всего в10 (а не 100) раз меньше. Расчет КЭД [8] определяет точное значениепостоянной , а также другие поправки и приводит к хорошему согласиюс экспериментом. Для уровней с ℓ = 1 сдвиг на два порядка величиныменьше, чем для ℓ = 0.13.9. Взаимодействие излучения с веществомВ нерелятивистской теории взаимодействие с электромагнитным полемвключается по минимальному принципу: как и в т. 1, гл. 13, мы начинаем368Глава 13 Фотоныс гамильтониана частицы с зарядом и делаем минимальную подстановкуp ⇒ p − A(r), → − (r),(13.111)где поле описывается потенциалами и A.
Мы знаем, что результирующая теория калибровочно инвариантна. В современной релятивистскойтеории ситуация обратная [68], требование калибровочной инвариантностиопределяет форму взаимодействия.Для поля излучения в калибровке (13.1) гамильтониан взаимодействияимеет вид^′ = ^′ + ^′ + ^ ′,12(13.112)где три члена (два орбитальных и один спиновый) похожи на то, что былорассмотрено в т.
1, гл. 13, для классического внешнего поля:)︁)︁∑︁ (︁∑︁ (︁^ )+ A(r^ )· p^ ) . (13.113)^ 1′ = −^ · A(r^ = −^ · A(rpp2 ^^^ );Здесь мы учли, что в поперечной калибровке (13.1) (^= (A(r)·pp · (r))^ 2′ =∑︁2 ^ 2A (r ),2 2(13.114)и^′ = −∑︁^ (r ).~ ^s · ℬ(13.115)Здесь — гиромагнитное отношение частицы , которое не предсказывается минимальным принципом из-за возможных эффектов сильноговзаимодействия.Разница по сравнению со случаем внешнего поля состоит в операторномхарактере поля.
Это приводит к процессам с изменением числа квантов.Члены 1′ и ′ меняют число фотонов на ±1 и отвечают за излучение илипоглощение квантов. Член 2′ имеет правила отбора Δ = ±2 или 0. Онответственен за двухфотонные переходы или рассеяние света, излучение споследующим поглощением или наоборот. В процессах рассеяния такжеразрешено двойное применение однократных процессов (второй порядок).Запишем в явном виде матричные элементы для нескольких типичных^ ′:физических процессов (рис.
13.2) в первом порядке по 13.9. Взаимодействие излучения с веществом369a) излучение фотона в моде (k) с переходом системы из состояния |⟩в состояние | ⟩√︃^ 1′ |k ; ⟩ = −⟨k + 1 ; |∑︁ 2~(^p · e*k )−(k·r ) |⟩;(k + 1) ⟨ | (13.116)b) поглощение системой фотона (k) с переходом → √︃∑︁ ^ 1′ |k ; ⟩ = − 2~ k ⟨ |⟨k −1 ; |(^p ·ek )(k·r ) |⟩; (13.117) c) двухфотонный переход → с излучением кванта (k ̸= ′ k′ )^ 2′ |k , ′ k′ ; ⟩ =⟨k + 1, ′ k′ + 1; |=2∑︁ 2√︀~ −(k+k′ )·r|⟩,(k + 1)(′ k′ + 1) (e*k · e*′ k′ )⟨ |√ ′(13.118)^где фактор 2 возникает из-за двух эквивалентных операторов A;d ) поглощение квантов (k) и излучение квантов (′ k′ ) с переходомсистемы → (рассеяние электромагнитной волны)^ ′ |k , ′ k′ ; ⟩ =⟨k − 1, ′ k′ + 1; |2=2∑︁ 2√︀~ −(k−k′ )·r(′ k′ + 1)k (ek ·e*′ k′ )⟨ ||⟩.
(13.119)√′ Похожие события рассеяния также генерируются во втором порядке опе^ 1 . Зависимость от времени гейзенберговских операторов быларатором опущена, так как она будет учитываться при использовании золотого правила для вероятности перехода.Если бы эти процессы происходили со свободными заряженными частицами, и в начальном и в конечном состоянии имелась бы плоская волна симпульсами p и p соответственно. Тогда матричные элементы содержали370Глава 13 ФотоныРис. 13.2. Типичные диаграммы для электромагнитных процессовбы -функции, выражающие сохранение импульса:a) (p − p + ~k);b) (p − p − ~k);c) (p − p + ~k + ~k′ );d) (p − p + ~k′ − ~k);Для системы многих тел сохраняющейся величиной является суммарныйимпульс всех частиц.
Но в реальных процессах также должна сохранятьсяполная энергия, как подразумевается по золотому правилу. Для свободнойчастицы два закона сохранения не могут быть выполнены одновременно.Поэтому излучение и поглощение света свободной частицей (без измененияеё массы) запрещены, они могут иметь место только виртуально как частьболее сложного процесса; это будет видно при обсуждении фотоэффекта,в разд. 14.8. Рассеяние света, процесс d (13.119), также возможен длясвободного заряда (томсоновское рассеяние в нерелятивистском случаеили эффект Комптона в релятивистском случае).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
