1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Мы обсудим это болееподробно в гл. 15Дополнительная литература: [8], [4], [74], [64], [72]Неисчислимое количество электрическихчастиц колеблются в каждом языкепламени и источнике света.П. Зееман «Нобелевская лекция», 1903Глава 14Излучение и поглощение фотонов14.1. Коэффициенты Эйнштейна; мазеры и лазерыЗависящее от времени электромагнитное поле может передавать энергиюсистеме зарядов, возбуждая систему (поглощение света).
То же поле способно принимать энергию от системы (индуцированное, или вынужденноеизлучение). Возбужденная система также может излучать энергию в видефотонов без стимуляции реальным квантом (спонтанное излучение). Всеэти процессы описываются гамильтонианом (13.112) взаимодействия междуполем излучения и веществом.В результате поглощения и испускания фотонов атомами среды системаможет прийти в состояние термодинамического равновесия. Равновесие какдля атомов, так и для фотонов достигается для каждой возможной в средечастоты перехода . В равновесии мы имеем стационарную заселённостьатомов в каждом квантовом состоянии |⟩ и стационарное распределениефотонов с плотностью энергии () для частоты .
Следуя А. Эйнштейну,1917, рассмотрим условия равновесия.Поглощая фотон с частотой , атом выполняет квантовый переход → в состояние | ⟩ с энергией = + ~. Скорость процесса поглощения должна быть пропорциональна числу имеющихся атомов в исходномсостоянии и числу подходящих фотонов˙ = ( ),(14.1)где является коэффициентом Эйнштейна.
Параллельно с этим идуттакже и обратные переходы → с излучением фотонов с той же частотой.Скорость излучения содержит индуцированный член, пропорциональныйчислу атомов в состоянии | ⟩ и количеству уже доступных фотонов, и спон-372Глава 14 Излучение и поглощение фотоновтанное излучение, которое не зависит от состояния фотонов и определяетсятолько структурой атома˙ = ( ) + ,(14.2)где введены ещё два коэффициента и .По очевидному смыслу, коэффициенты Эйнштейна являются скоростямиперехода в элементарных актах поглощения или излучения. Амплитудыэтих процессов были найдены в теории возмущений (10.12):∫︁∫︁ ′′, → = −() .(14.3)→ = − () ~~′ )* , мы находимТак как = − , и гамильтониан эрмитов, ′ = (соотношение между амплитудами:→ = −* → .(14.4)Таким образом, вероятности прямых и обратных процессов отличаютсятолько на плотность конечных состояний (принцип детального равновесия,который будет вновь обсуждаться в теории рассеяния, разд.
III.4.3). Этотпринцип справедлив и вне теории возмущений, как можно видеть, например,из второго порядка амплитуды (10.27) или полного выражения (10.31).Конечная плотность состояний включена в определение коэффициентовЭйнштейна, так что детальное равновесие требует = .(14.5)Условие равновесия есть равенство скоростей, ˙ = ˙ , и, вместе с(14.5), это даёт уравнение для равновесной плотности фотонов( ) =1. ( / ) − 1(14.6)Статистическая механика предсказывает, что в тепловом равновесии притемпературе (мы измеряем температуру в энергетических единицах,полагая постоянную Больцмана = 1) заселённость атомного состоянияс энергией пропорциональна exp(−/ ). Поэтому в равновесии= −( − )/ = ~ / .(14.7)14.1.
Коэффициенты Эйнштейна; мазеры и лазеры373Применяя тот же принцип Больцмана к фотонному газу, мы получаемравновесное число ¯ фотонов данной моды (k) с частотой :¯=∞1 ∑︁ −(+1/2),==0~,(14.8)где статистическая сумма есть нормировочный множитель=∞∑︁−(+1/2) .(14.9)=0Простое суммирование геометрической прогрессии ведёт к распределениюПланка для числа фотонов данного сорта¯=11=.−1exp(~/ ) − 1(14.10)С плотностью фотонных состояний на единичный интервал энергии (I.3.92),мы находим() = 21,23 ~ exp(~/ ) − 1(14.11)и уравнение (14.6) определяет соотношение между коэффициентами Эйнштейна 2= 2 3.
~(14.12)Мы видим, что этот результат, полученный до развития квантовой механики, полностью подтверждается квантовой теорией.В присутствии электромагнитной волны все три процесса — поглощение,спонтанное и вынужденное излучение, — происходят одновременно в системе. Таким путём устанавливается равновесие между веществом и излучением. Изменение интенсивности волны с большим средним числом квантов¯ при прохождении в среде определяется конкуренцией индуцированногоизлучения и поглощения. Вероятности обоих процессов пропорциональныдоступному числу фотонов, то есть интенсивности волны и заселённостиатомов в квантовом состоянии, которое необходимо для начала перехода.Для данного перехода между двумя состояниями атомов интенсивностьволны растет пропорционально > , числу атомов в верхнем состоянии, и374Глава 14 Излучение и поглощение фотоновинтенсивность уменьшается пропорционально < , числу атомов в нижнем состоянии, способных поглощать кванты.
Соотношения Эйнштейнапозволяют записать баланс простым образом:= const · (> − < ).(14.13)Проходящая волна может быть усилена средой, если > > < . Нормальноравновесные заселённости уровней падают с энергией уровня, см. (14.7).Например, для видимого света при комнатной температуре (~/ ) ≈ 102 и> ≪ < . Поэтому необходимо создавать инверсную заселённость.Квантовые приборы, создающие инверсную заселенность энергетическихуровней, позволяют получить генерацию и усиление электромагнитныхволн с уникальным сочетанием высокой мощности, монохроматичности, когерентности и малого углового разброса.
В зависимости от диапазона частотэти устройства называются мазеры или лазеры, от сокращений MicrowaveAmplification by Stimulated Emission of Radiation или Light Amplification..., cоответственно. В формальном смысле можно сказать, что среда с инверсной заселённостью имеет отрицательную температуру относительноизлучения данной частоты. Обсуждение современных устройств квантовойоптики находится за пределами рамок нашей лекции.
Приведем тольконесколько простых примеров.Оригинальный способ генерации отрицательных температур был использован в молекулярном генераторе на молекулах аммиака. Специальноеустройство отклоняло от молекулярного пучка молекулы на более низкомуровне. В оставшемся пучке тогда мы имеем > > < . Конечно, время жизни верхнего уровня относительно спонтанного излучения должнобыть достаточно большим. Приготовленный пучок с инверсной заселённостью доходит до резонаторной полости с собственной частотой резонанса0 = (> − < )/~.
Тепловое излучение с той же частотой, что всегдаприсутствует в полости, индуцирует излучение фотонов молекулами пучка,которые, в свою очередь, усиливают собственную моду резонатора. Частьэнергии может быть использована, в то время как оставшаяся часть действует на новые входящие молекулы, стимулируя новое излучение, чтообеспечивает высокую стабильность генерируемых частот.В лазерах нет такого сортирующего устройства.
Хорошо известной схемой работы является схема на основе трех уровней, рис. 14.1. В равновесиинаибольшее число атомов находится в состоянии 1. Внешнее поле с частотой31 оптической накачки возбуждает атомы до уровня 3. Если скоростьперехода ˙ 23 перехода 3 → 2 высока по сравнению с ˙ 13 , по истечении вре-14.1. Коэффициенты Эйнштейна; мазеры и лазеры375Рис. 14.1. Трёхуровневая лазерная система−1мени 3 ∼ ˙ 23атомы будут испытывать переход на уровень 2.
Состояние 2−1должно быть метастабильным (долгоживущим , 2 ∼ ˙ 12≫ 3 ) . Такимобразом, мы накапливаем атомы в состоянии 2. При высокой мощностинакачки можно получить долгоживущую инверсную заселённость для парыуровней 1 и 2, 2 > 1 . Типичные значения могут быть 3 ∼ 10−(7÷8) ;хорошо иметь широкий уровень 3, который помогает получить интенсивнуюнакачку 1 → 3.
Спонтанное излучение 2 → 1 порождает волну требуемойчастоты 12 . Распространяясь вдоль среды, эта волна стимулирует излучение других атомов в состоянии 2. Множественные отражения от зеркал,заменяющих резонаторную полость для оптических частот ∼ 5 · 10−5 см,усиливают волну из-за индуцированного излучения.
Если усиление превосходит потери на отражение, интенсивность растет как лавина. Одноиз зеркал является полупрозрачным для излучения, выходящего наружу.Волны, распространяющиеся не точно по оси, испытывают меньшее число отражений и имеют меньше времени для усиления, что приводит кмалому угловому разбросу основного излучения. Таким образом, лазерыпреобразуют энергию накачки с относительно широким разбросом частотв монохроматическое излучение частоты 21 . Трехуровневая схема используется, например, в широко известном рубиновом лазере, где переходыпримесных атомов хрома дают красную линию 694,3 нм.Новые эффекты появляются при высокой плотности фотонов в лазерномпучке.
Например, вполне вероятно иметь одновременное взаимодействиедвух фотонов с тем же атомом. Если их суммарная энергия удовлетворяетусловию резонанса1 + 2 = ,(14.14)376Глава 14 Излучение и поглощение фотоноввозможно поглощение с двухфотонным переходом → .
Здесь мы выходимза рамки первого порядка теории возмущений и должны принимать вовнимание нелинейные (многофотонные) процессы. Они формально появляются в высших порядках по отношению к полю A, а соответствующиеамплитуды содержат больше операторов рождения и уничтожения, см.разд. 11.2. В частности, возможна многофотонная ионизация атома, когдаэнергия одного фотона ниже порога ионизации.14.2. ФотопоглощениеТеперь мы рассмотрим квантовую механику излучения и поглощения света более детально. Элементарный акт поглощения фотона (k) квантовойсистемой, испытывающей переход → , описывается золотым правилом(11.6) с матричным элементом (13.112)˙ ⃒⟨ ⃒⃒ ⟩⃒2⃒⃒∑︁ ⃒ ⃒2 2~⃒⃒⃒(k·r ) ⃒=k ⃒ ⃒(^p · ek )⃒ ⃒ ( − −~).
(14.15)⃒⃒ ⃒ ⃒~ В каждом акте энергия системы возрастает на ~ = − , и средняяскорость поглощения энергии находится из⃒⟨ ⃒⃒ ⟩⃒2⃒∑︁ ⃒ ⃒4 2 ¯ k ⃒⃒⃒⃒ ⃒~ ˙ =(^p · ek )(k·r ) ⃒ ⃒ ( − ), (14.16)⃒ ⃒⃒⃒⃒ ⃒где мы использовали правило (I.3.26), переходя к -функции от частот, иввели среднюю заселённость фотонов ¯ k .Поток энергии фотонов, падающий на атом в секунду, равен(density) × (velocity) × (energy) =¯ k ~.(14.17)Отношение поглощённой энергии к падающему потоку даёт сечение поглощения, сравните с сечением рассеяния (разд. 12.1), для данной частоты и конкретного перехода → в системе⃒⟨ ⃒⃒ ⟩⃒2⃒∑︁ ⃒ ⃒4 2 ⃒⃒⃒⃒ ⃒ (k·r )^ () =(e·p)(14.18)⃒⃒ ⃒ ⃒ ( − ),k⃒ ⃒⃒~ ⃒14.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
